复变函数-2-3-精品文档资料整理.ppt

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1、第三节 初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂 ab 与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考2一、指数函数一、指数函数1.指数函数的定义指数函数的定义: )( 个条件个条件在复平面内满足以下三在复平面内满足以下三当函数当函数zf;)( (1)在复平面内处处解析在复平面内处处解析zf);()( (2)zfzf ).Re(,)( ,0)Im( (3)zxezfzx 其中其中时时当当)sin(cosexp ,yiyezzx 记为记为的指数函数的指数函数此函数称为复变数此函数称为复变数3指数函数的定义等价于关系式指数函数的定义等价于关系式: )(,2)(expArg,

2、|exp|为任何整数为任何整数其中其中kkyzezx . exp 来表示来表示可以用可以用指数函数指数函数zez)sin(cosyiyeexz . exp , 的符号的符号只是代替只是代替没有幂的意义没有幂的意义注意注意zez42. 加法定理加法定理)exp(expexp2121zzzz 证证 , , 222111iyxziyxz 设设21expexpzz 左端左端)sin(cos)sin(cos221121yiyeyiyexx )sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx )sin()cos(212121yyiyyexx .)exp(2

3、1右端右端 zz52= zk ie考虑？exp2,zk i因此为周期函数，并且周期是22 .zk izk izeeee)(为任何整数为任何整数其中其中k . xe注：该性质是实变指数函数所没有的例例1 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求设设解解 (cossin )zx iyxiyxeee eeyiy因为 .cos)Re( , yeeeexzxz 实部实部所以其模所以其模6zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiy

4、xxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 7例例2 解解求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值:22 3(1); (2)iiee )sin(cos 的辐角的辐角因为因为yiyeeexiyxz )(2Arg为整数为整数kkyez .,(- arg 内的一个辐角内的一个辐角为区间为区间其辐角主值其辐角主值 ze)1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie)2( ,23Arg32 kei; 3arg32 ie8例例3 的周期的周期求函数求函数. )( 5zezf 解解,2ikez 的周期是的周期是5)(zezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函数故函数.10

5、 )( 5ikezfz ),10(ikzf 9二、对数函数二、对数函数1. 定义定义.ArglnLn , )( )0( zizzwzfwzzew 记为记为称为对数函数称为对数函数的函数的函数满足方程满足方程 .2 , )( , Arg的整数倍的整数倍并且每两值相差并且每两值相差也是多值函数也是多值函数所以对数函数所以对数函数为多值函数为多值函数由于由于izfwz 10,arg Arg ArglnLn zzzizz取主值取主值中中如果将如果将 . Ln ln Ln 的主值的主值称为称为，记为记为为一单值函数，为一单值函数，那末那末zzz.arglnlnzizz 其余各值为其余各值为), 2, 1

6、(2lnLn kikzz. Ln , , 的一个分支的一个分支称为称为上式确定一个单值函数上式确定一个单值函数对于每一个固定的对于每一个固定的zk特殊地特殊地, .,lnln Ln , 0 是实变数对数函数是实变数对数函数的主值的主值时时当当xzzxz 11例例4 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及与它们相应的主值以及与它们相应的主值求求 ,22ln2Ln ik 因为因为 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因为因为 )()12(为整数为整数kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以注意注意: 在实变函数中在实变函数中, 负数无对数负

7、数无对数, 而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数函数是实变数对数函数的拓广.12例例5解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因为因为)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k13例例6解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k14.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1,

8、0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln152. 性质性质,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且处处可导处处可导和其它各分支处处连续和其它各分支处处连续主值支主值支的复平面内的复平面内包括原点包括原点在除去负实轴在除去负实轴 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 16证证 (3) , iyxz 设设,0时时当当 x,arglim0 zy,arglim0 zy. ln , ,处处连续处处连续在复平面内其它点在复平面内其它点除原点与负实轴除原点与负实轴所以所以z , ln arg是单值

9、的是单值的内的反函数内的反函数在区域在区域zwzezw wezzwdd1dlnd 证毕证毕.1z 17实数的乘幂 ba另一种表示方法ln0,1bbaaeaa18三、乘幂三、乘幂 与幂函数与幂函数ba1. 乘幂的定义乘幂的定义 , , , Lnabbeaba定义为定义为乘幂乘幂复数复数为任意一个为任意一个为不等于零的一个复数为不等于零的一个复数设设 . Lnabbea 即即注意注意: :. , )2arg(lnLn 也是多值的也是多值的因而因而是多值的是多值的由于由于bakaiaa , )1(为整数时为整数时当当b Lnabbea )2arg(ln kaiabe19ikbaiabe 2)arg(

10、ln ,lnabe .具有单一的值具有单一的值ba ,0) ,( )2(时时为互质的整数为互质的整数与与当当 qqpqpb)2arg(ln kaiaqpbea)2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp , 个值个值具有具有 qab .)1( , 2 , 1 , 0 时相应的值时相应的值即取即取 qk20特殊情况特殊情况: ,)( )1时时正整数正整数当当nb Lnannea LnLnLnaaae ) (项项指数指数 n LnLnLnaaaeee ) (个个因子因子 n.aaa ) (个个因子因子 n ,)( 1 )2时时分数分数当

11、当nb Ln11annea nkainkaean2argsin2argcos ln121 nkainkaan2argsin2argcos 1,na . )1( , 2 , 1 , 0 nk其中其中22例例7 7 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中答案答案课堂练习课堂练习.3)( 5 计算计算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik232. 幂函数的解析性幂函数的解析性 , )1(的的在

12、复平面内是单值解析在复平面内是单值解析幂函数幂函数nz .)(1 nnnzz . , )2(1个分支个分支具有具有是多值函数是多值函数幂函数幂函数nzn它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的, nnzz1 zneLn1.111 nzn24它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的, ,) 1 ( (3)也是一个多值函数也是一个多值函数两种情况外两种情况外与与除去除去幂函数幂函数nnbzwb .)(1 bbbzz ., 是无穷多值的是无穷多值的为无理数或负数时为无理数或负数时当当b

13、25例例8 8 . )(1 的辐角的主值的辐角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的辐角的主值为的辐角的主值为故故ii 26四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数1. 三角函数的定义三角函数的定义,sincos yiyeiy 因为因为,sincos yiyeiy 将两式相加与相减将两式相加与相减, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变现在

14、把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况数取复值的情况.27,2cos izizeez 我们定义余弦函数为我们定义余弦函数为.2sin izizeez 正弦函数为正弦函数为.cos , sin ,是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数容易证明容易证明zz.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .2 为周期的为周期的是以是以正弦函数和余弦函数都正弦函数和余弦函数都 28例例9 9 . 5sin)( 的周期的周期求求zzf 解解,sin)2sin( zz 因为因为,5sin)25sin( zz 所以所以 525sin)25sin( zz又

15、因为又因为,5sin525sin zz 所以所以 .52 5sin)( 的周期是的周期是故故zzf29有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.sin)(cos,cos)(sinzzzz 30 , 时时为纯虚数为纯虚数

16、当当yiz,cosh2cosyeeyiyy .sinh2sinyiieeyiyy .sinhcoscoshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos()3(yxiyxyixyxiyxyix .cos ,sin , yiyiy时时当当( (注意：这是与实变函数完全不同的注意：这是与实变函数完全不同的) )31其他复变数三角函数的定义其他复变数三角函数的定义,cossintan zzz 正切函数正切函数,sincoscot zzz 余切函数余切函数,cos1sec zz 正割函数正割函数.sin1csc zz 余割函数余割函数 . , , , cos sin 解析性解析性奇偶性奇偶性周

17、期性周期性我们可以讨论它们的我们可以讨论它们的类似类似和和与与zz32例例1010 . tan 的实部与虚部的实部与虚部确定确定z解解zzzcossintan , iyxz 设设)cos()sin(yixyix yxiyxyxiyxsinhsincoshcossinhcoscoshsin yxyxyyixx2222sinh)cos1(coshcossinhcoshcossin .sinh2cos22sinhsinh2cos22sin2222yxyiyxx )Re(tanz )Im(tanz 33例例1111 . )3tan( )1(cos 的值的值和和求求ii 解解2)1cos()1()1(i

18、iiieei 211iiee )1sin1(cos)1sin1(cos211ieie 1sin)(211cos)(2111ieeee . 1sinh1sin1cosh1cosi )3cos()3sin()3tan(iii iiiisin3sincos3cossin3coscos3sin 341sinh3sin1cosh3cos1sinh3cos1cosh3sinii 22)1sinh3(sin)1cosh3(cos)1cosh3sin1cosh3)(cos1sinh3cos1cosh3(sin ii1sinh3sin1cosh3sin1cosh3sin1cosh3cos1sinh1cosh3c

19、os3sin22222222 i.)3(sin2)1(cosh22sin6sin22 i352. 双曲函数的定义双曲函数的定义,2cosh zzeez 为为我们定义双曲余弦函数我们定义双曲余弦函数,2sinh zzeez 双曲正弦函数为双曲正弦函数为.tanh zzzzeeeez 双曲正切函数为双曲正切函数为. , 的定义完全一致的定义完全一致函数函数它与高等数学中的双曲它与高等数学中的双曲时时为实数为实数当当xz36.cosh , sinh ,是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数容易证明容易证明zz它们的导数分别为它们的导数分别为,cosh)(sinhzz 并有如下公式并有如下公式:,cosco

20、shyyi .sincoshcossinh)sinh(,sinsinhcoscosh)cosh(yxiyxyixyxiyxyix它们都是以它们都是以 为周期的周期函数为周期的周期函数,i 2.sin)(coshzz .sinsinhyiyi 37五、反三角函数和反双曲函数五、反三角函数和反双曲函数1. 反三角函数的定义反三角函数的定义.cosArc , ,cos zwzwwz 记作记作的反余弦函数的反余弦函数为为那么称那么称设设,2cos iwiweewz 由由, 012 2 iwiwzee得得, 1 2 zzeiw方程的根为方程的根为两端取对数得两端取对数得).1Ln(cosArc2 zzi

21、z38 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤重复以上步骤, 可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:),1Ln(Arcsin2ziziz .11Ln2Arctaniziziz 2. 反双曲函数的定义反双曲函数的定义),1Ln( Arsinh2 zzz反双曲正弦反双曲正弦),1Ln(osh Ar2 zzzc反双曲余弦反双曲余弦.11Ln21 Artanhzzz 反双曲正切反双曲正切39六、小结与思考六、小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基它既保持了后者的某些基本性质本性质, 又有一些与后者不同的特性又有一些与后者不同的特性. 如如: 1. 指数函数具有周期性指数函数具有周期性) 2 (i周期为周期为2. 负数无对数的结论不再成立负数无对数的结论不再成立3. 三角正弦与余弦不再具有有界性三角正弦与余弦不再具有有界性4. 双曲正弦与余弦都是周期函数双曲正弦与余弦都是周期函数