第五章（3） 向量空间与内积空间.pptx

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1、5.1 向量组的线性组合5.2 向量组的线性相关性5.3 向量组的秩5.4 线性方程组解的结构5.5 向量空间5.6 向量的内积、长度与正交性CHAP5 向量组的线性相关性向量组的线性相关性5.5 向量空间一、 向量空间的概念定义5.5.1 设V是一个非空的向量组，并且满足：则称向量组V是(实数域R上的)向量空间.RkV , （2）都有kV （1）都有,V V注：定义中的(1)(2)表明：对向量加法和数乘向量运算满足封闭性的向量组就叫做向量空间.5.5 向量空间一、 向量空间的概念例 5.5.1 下列向量组中哪些是向量空间? 121(,) |,nTnnRxxxxxxR |0nm nSxRAx

2、22(0,) |,TnnVxxxxxR 22(1,) |,TnnVxxxxxR 5.5 向量空间一、 向量空间的概念12,m 给定m个n维向量 构成的向量组A,考虑由组A的所有线性组合构成的向量组： 11|,1,2,mmiLyxxxR im可以证明L对向量加法和数乘向量满足封闭性，因此向量组L是一个向量空间，称L为由向量组A生成（张成）的向量空间,记作1(,)mL|mLyAx xR注：若将以向量组A作为列向量组的矩阵记作A,那么由向量组A生成的向量空间123101011(,)101A 例如：5.5 向量空间一、 向量空间的概念123112233(,)|,1,2,3iLyxxxxR i 3|yA

3、x xR若将 看作一个映射（原象是三维向量x，象是三维向量y），我们又把由矩阵A的列向量组生成的向量空间叫做矩阵A的值域.3,yAx xR注意到312112233yAxxxx 123101011(,)101A 上面的式子表明:在这个例子中：因此131232()()xxxx1122cc 5.5 向量空间一、 向量空间的概念12312(,)(,)LL 那么：一般地：nmR ,21设nsR ,2112121212(,)(,),( )( )( ,)msmsLLR AR BR A B 与与等等价价5.5 向量空间二、 向量空间的基与维数定义5.5.2：设V是一个向量空间，则V的一个最大无关组叫做V的一组

4、基，基中包含的向量个数(向量组V的秩)叫做向量空间V的维数,记作dim(V)例如，在向量空间 中，3R1231000 ,1 ,0001eee 就是该向量空间的一组基，3dim()3R 注：显然若dim( )Vr 则V中任意r个线性无关的向量都是向量空间V的一组基.5.5 向量空间二、 向量空间的基与维数例5.5.2 (),|0dim( )m nm nR ArSx AxSnr 设设令令，则则0.m nAxS 且且的的任任意意一一个个基基础础解解系系就就是是的的一一组组基基例5.5.310122113,21042005.AA 给给定定矩矩阵阵求求 的的列列向向量量组组生生成成的的向向量量空空间间的

5、的一一组组基基和和维维数数所以141012101221130111(,)2104003120130000rA 解：41234(,)|LyAx xR 是3维向量空间并且123, 就是它的一组基.一般地，nmR ,21设那么的一个最大无关组就是L的一组基.m ,21并且),(dim21mRL 5.5 向量空间三、 坐标设V是一个r维向量空间，并且r ,21 是V的一组基.那么对于V ，存在唯一一组数rxxx,21 ，使得rrxxx 2211称rxxx,21为向量 在基r ,21下的坐标. 1212,rrxxx 设V是n维向量空间，n ,21与n ,21是V的两组基.并且nnccc 12211111

6、 nnccc 22221122 nnnnnnccc 2211即Cnn),(),(2121 其中nnijcC )(称C是从基n ,21n ,21到基的过渡矩阵.5.5 向量空间四、 基变换与坐标变换5.5 向量空间四、 基变换与坐标变换定理5.5.1 设V是n维向量空间，C是从基n ,21n ,21到基的过渡矩阵, 那么C可逆.那么V 在基n ,21下的坐标为nxxx,21在基下的坐标为nyyy,21n ,21若向量 nyyy21 nxxx211 C坐标变换公式证明（#）12,n 又又因因为为线线性性无无关关12,n 而而也也是是线线性性无无关关的的，1212(,)(,)nnC 12( )(,)

7、nR CR 12( )(,)nR CRn C可可逆逆. .112212121212(,)(,)(,)(,)nnnnnnxyxyxyC 11221212(,)(,)nnnnxyxyCxy 12,n 又又因因为为线线性性无无关关1122nnxyxyCxy11221nnyxyxCyx 例5.5.45.5 向量空间四、 基变换与坐标变换设 221212122),(321 A123111(,)011001B (1)证明这两个矩阵的列向量组都是123, (2)求从基3R的基;在这两组基下的坐标.的过渡矩阵C;140342 123, 到基(3)求矩阵5.5 向量空间向量空间小结本节重点及要求：1、了解向量空

8、间及其基与维数的概念2、会求向量在给定基下的坐标3、理解过渡矩阵的概念，会求过渡矩阵，会用过渡矩阵求坐标变换问题本节难点及要求：了解矩阵的列向量组生成的向量空间（矩阵的值域）的概念，会求矩阵值域的基与维数.5.6 向量的内积、长度与正交性一、 向量的内积定义5.6.1（两个向量的内积的定义）TnTnyyyyxxxx),(,),(2121 设设是两个实向量是两个实向量x与与y的内积（的内积（inner product）定义为：）定义为：1122nnx yx yx y记做记做,yx例如： TTyx012,121 , 1 22 ( 1)( 1) 00 x y 则则按照定义显然有：按照定义显然有：,T

9、Tx yxyy x 定理定理5.6.1：内积的基本性质：内积的基本性质,xyyx （2）（1）0, xx并且并且00, xxx,yxyx （3）设设zyx,是是3个个n维实向量，维实向量， 是实数是实数 ，则下列结论成立（5）,2yyxxyx CauchySchwarz不等式5.6 向量的内积、长度与正交性一、 向量的内积,zyzxzyx （4）24 , 4 , , 0 x yx xy y 证明：只证明(5) 其余留作练习.,2yyxxyx 注意到下面的不等式,zxyR 令令其其中中2 , , , 2 , , 0z zxyxyx xx yy yR 对对都都恒恒成成立立因此必有：即：,2yyxx

10、yx 5.6 向量的内积、长度与正交性一、 向量的内积定义定义5.6.2设设 是实向量，是实向量，则则 x 的长度（范数）的长度（范数）定义定义为：为：Tnxxxx),(21 12,xx x 特别地当特别地当1 x时，称时，称x为单位向量。为单位向量。5.6 向量的内积、长度与正交性二、 向量的长度（范数） 22212Tnxxxxx x 显显然然：向量长度的性质向量长度的性质（5）yxyx ,CauchySchwarz不等式：不等式：5.6 向量的内积、长度与正交性二、 向量的长度（范数） （1）0 x并且并且00 xx非负性：非负性：（2）xx 其中其中R 齐次性：齐次性：三角不等式：yxy

11、x （3）xx是与是与x同向的单位向量同向的单位向量（4） 若若x是非零向量，那么是非零向量，那么定义定义5.6.3（正交的概念）：（正交的概念）：为为规规范范正正交交向向量量组组。则则称称都都是是单单位位向向量量为为正正交交向向量量组组，且且每每个个若若向向量量组组为为正正交交向向量量组组；中中没没有有零零向向量量，则则称称并并且且，中中任任意意两两个个向向量量都都正正交交若若向向量量组组正正交交与与向向量量向向量量njnnnnyxyx ,)3(,)2(;0,)1(2121212121 Note1：零向量与任意向量都正交；：零向量与任意向量都正交；Note2：几何上，正交向量组中的向量是两两

12、垂直的。：几何上，正交向量组中的向量是两两垂直的。5.6 向量的内积、长度与正交性三、正交性 例如：例如： 212100,212100,002121,0021214321 就是一个规范正交向量组。就是一个规范正交向量组。5.6 向量的内积、长度与正交性三、正交性 例例5.6.1：求与向量：求与向量TT)2 , 1, 1(,)0 , 2 , 1(21 都正交的单位向量。都正交的单位向量。 02,02,)2 , 1, 1(,)0 , 2 , 1(321221121321xxxxxxxxTTT 都都正正交交，则则：与与假假设设 124c 程组的通解为：程组的通解为：容易求出此齐次线性方容易求出此齐次

13、线性方就符合要求。就符合要求。）单位化（单位化（将将 124211:0124cc 5.6 向量的内积、长度与正交性三、正交性 定理定理5.6.2： 正交向量组一定是线性无关的向量组。正交向量组一定是线性无关的向量组。（反之，线性相关的向量组不可能是正交组）（反之，线性相关的向量组不可能是正交组）5.6 向量的内积、长度与正交性三、正交性 证明：证明：12,m 假假设设是是正正交交向向量量组组12,m 为为了了考考察察的的线线性性相相关关性性，令令11220mmxxx (1)iim 上上式式两两端端同同时时和和做做内内积积运运算算，可可得得,0iiix 0(1)ixim 所所以以12,m 即即向

14、向量量组组线线性性无无关关. .定义5.6.4（规范正交基）假设dim(V)=n，则向量空间Vn ,21一个规范正交基.中任意n个向量构成的规范正交组叫做V的5.6 向量的内积、长度与正交性三、正交性 例5.6.2：证明向量组 TTT 21210,21210,001321 是R3的一组规范正交基，并求向量 T111 在这组基下的坐标。分析：因为dim(R3)=3,所以只要证明,321 是规范正交组即可。求向量 在基下的坐标，等价于解线性方程组332211 xxx nnnnxxxxxxVVn 22112121,即即在这组基下的坐标为：在这组基下的坐标为：规范正交基，并且规范正交基，并且的一组的一

15、组维向量空间维向量空间是是一般地，设一般地，设), 2 , 1(,111nkxxxxknikiiknnk 那么：那么：向量在规范正交基下的坐标5.6 向量的内积、长度与正交性三、正交性 Gram-Schimidt正交化（正交化（GSM）问题的提出：问题的提出：给定一个线性无关组给定一个线性无关组A：n ,21一个与组一个与组A等价的规范正交组等价的规范正交组C：n ,21如何构造出如何构造出令令11 ,),(),(1111222 （1）先正交化）先正交化222231111333),(),(),(),( 111122221111),(),(),(),(),(),( nnnnnnnnn 1111)

16、,(),( nkkkkknnn（2）再单位化）再单位化令令niiii, 2 , 1, 则组则组C：就是与组就是与组A等价的规范正交组。等价的规范正交组。n ,21例例5.6.3：向量组：向量组 001,011,111321 利用利用Schimidt正交化过程，将其化为规范正交向量组。正交化过程，将其化为规范正交向量组。Gram-Schimidt正交化（正交化（GSM）解：解：T)1 , 1 , 1(11 取取 2113111132011,1112122 05 . 05 . 02116111131001,222321113133 再单位化：再单位化：令令3 , 2 , 1, iiii 可得：可得

17、： 01121,21161,11131321 001,011,111321 正交矩阵的性质正交矩阵的性质（1）A是正交矩阵的充要条件是是正交矩阵的充要条件是TAA 1（2）A是正交矩阵的充要条件是是正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量组的列（行）向量组是规范正交组。是规范正交组。（3）若若A是正交矩阵，那么是正交矩阵，那么*1,AAAT 都是正交矩阵。都是正交矩阵。（4）若）若A、B都是都是n阶正交矩阵，那么阶正交矩阵，那么AB也是正交矩阵。也是正交矩阵。（6）若）若A是是n阶正交矩阵，阶正交矩阵，x是是n维向量，且维向量，且y=Ax，那么，那么向量向量y和向量和向量x的长度相同。的长度相同。

18、（5）若）若A是正交矩阵，那么是正交矩阵，那么det(A)=1。若方阵若方阵A满足满足EAAT 则称则称A是正交矩阵。是正交矩阵。定义定义5.6.5：5.6 向量的内积、长度与正交性四、正交矩阵 1213121121312111 .9794949491989498912 例4.6.4 判断下列矩阵是否为正交矩阵例4.6.5 假设组A：321, 与组B：321, 规范正交基。证明：从基A到基B的过渡矩阵一定是正交阵。是R3的两组5.6 向量的内积、长度与正交性四、正交矩阵 例5.6.6 不不是是正正交交矩矩阵阵。也也是是正正交交矩矩阵阵；是是正正交交矩矩阵阵，证证明明：设设三三阶阶矩矩阵阵2312231321,)2(,)1(, CBA5.6 向量的内积、长度与正交性四、正交矩阵 5.6 向量的内积、长度与正交性本节小结1、向量的内积的概念与性质；向量长度的概念（计算）与性质2、正交向量组、规范正交向量组的概念；Schmidt正交化方法3、正交矩阵的概念与性质