高级中学数学立体几何题型与方法.doc

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1、-!高中数学立体几何题型与方法(理科)经典例题剖析例1、已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？解析：要证明平面，只要证明向量可以用平面内的两个不共线的向量和线性表示答案:证明：如图，因为在上，且，所以同理，又，所以又与不共线，根据共面向量定理，可知，共面由于不在平面内，所以平面点评：空间任意的两向量都是共面的与空间的任两条直线不一定共面要区别开.例2、如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点，（I）求证：ACBC1；（II）求证：AC1/平面CDB1；解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间

2、想象能力和推理论证能力.答案：（1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形，（4分）（2）以为原点，以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，在平面内设，由由是的中点，此时（8分）（3）设直线与平面所成的角为，设为故直线与平面所成角的正弦为（12分）解法二：（1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形，（4分）（2）由（1）知为平行四边形，又同理，为矩形，又作故交于，在矩形内，为的中点当点为的中点时，（8分）（3）由（2）知为点到平面的距离，为直线与平面所成的角，设为，直线与平面所成的角的正弦值为点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2

3、）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来例3、如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.()求与底面所成角的大小；()求证：平面；()求二面角的余弦值.解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法答案：(I)取DC的中点O，由PDC是正三角形，有PODC又平面PDC底面ABCD，PO平面ABCD于O连结OA，则OA是PA在底面上的射影PAO就

4、是PA与底面所成角ADC=60，由已知PCD和ACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=PAO=45PA与底面ABCD可成角的大小为456分(II)由底面ABCD为菱形且ADC=60，DC=2，DO=1，有OADC建立空间直角坐标系如图，则,由M为PB中点，PADM，PADCPA平面DMC4分(III)令平面BMC的法向量，则，从而x+z=0；,，从而由、，取x=1，则可取由(II)知平面CDM的法向量可取，所求二面角的余弦值为6分法二：（）方法同上 （）取的中点，连接，由（）知，在菱形中，由于，则，又，则，即，又在中，中位线，则，则四边形为，所以，在中，则，故而，则（）由（）知，则为二面角

5、的平面角，在中，易得，故，所求二面角的余弦值为例4、如图，在长方体中，点在线段上.（）求异面直线与所成的角；（）若二面角的大小为，求点到平面的距离.解析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识,本题实质上求角度和距离,在求此类问题中，要将这些量归结到三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决，此外用向量也是一种比较好的方法.答案：解法一：（）连结。由已知，是正方形，有。平面，是在平面内的射影。根据三垂线定理，得，则异面直线与所成的角为。作，垂足为，连结，则所以为二面角的平面角，.于是易得，所以，又，所以。设点到平面的距离为.即，即，.故点到平面的距离为。解法二：分别以为轴、轴、轴，建立空间直

6、角坐标系.（）由，得设，又，则。则异面直线与所成的角为。（）为面的法向量，设为面的法向量，则. 由，得，则，即 由、，可取又，所以点到平面的距离。例5、如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED/AF且DAF=90。（1）求BD和面BEF所成的角的余弦；（2）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。解析：1.先假设存在，再去推理，下结论：2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。答案：（1）因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系，则B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F（2，2，0），则设平面BEF的法向量，则可取，向量所成角的余弦为。即BD和面BEF所成的角的余弦。（2）假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设EP与PF的比值为m，则P点坐标为则向量，向量所以。点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。例6、