数学建模典型例题.doc

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1、!-一、人体重变化某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克 天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、 问题分析人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在t时间内体重W的变化值列出微分方程。二、 模型假设1、 以脂肪形式贮存的热量100%有效2、 当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存3、 假设体重的变化是一个连续函数4、 初始体重为W0

2、 三、 模型建立假设在t时间内：体重的变化量为W（t+t）-W(t)；身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）将其乘以t即为一小段时间内剩下的热量；转换成微分方程为：dW(t+t)-W(t)=(10467-5038-69*W(t)dt；四、 模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686W(0)=W0 解得：5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686)即：W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型一、 问题重述一家公司要投资一个车队

3、并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本aij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）。以千元计数aij的由下面的表给出：aij年2年3年4年5年6年14691220年2571116年36813年4811年510请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略。二、 问题分析本问题是寻找成本最低的投资策略，可视为寻找最短路径问题。因此可利用图论法分析，用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本的投资策略。3、 条件假设 除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费

4、用；4、 模型建立 二 5 11 7 三 6 4 16 6 13 8 四 一 9 12 8 11 20 五 10 六运用Dijikstra算法 1 2 3 4 5 60 4 6 9 12 20 6 9 12 20 9 12 20 12 20 20可发现，在第二次运算后，数据再无变化，可见最小路径已经出现即在第一年买进200辆，在第三年全部卖出，第三年再买进200第六年全部卖出。 三、飞机与防空炮的最优策略 1、 问题重述：红方攻击蓝方一目标，红方有2架飞机，蓝方有四门防空炮，红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则红方胜。其中共有四个区域，红方可以其中任意一个接近目标，蓝方可以任意布置防空炮，但一门

5、炮只能防守一个区域，其射中概率为1。那么双方各采取什么策略？ 2、 问题分析该问题显然是红方与蓝方的博弈问题，因此可以用博弈论模型来分析本问题。1、 对策参与者为两方（红蓝两方）2、 红军有两种行动方案，即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动。蓝军有三种防御方案，即四个区域非别布置防空炮（记为1-1-1-1）、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个（记为2-1-1-0）、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有（记为2-2-0-0）。显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的。三、问题假设：（1） 红蓝双方均不知道对方的策略。（2） 蓝方可以在一个区域内布置3,4门大炮，但是大炮数量大于飞机的数量

6、，而一门大炮已经可以击落一架飞机，因而这种方案不可取。（3） 红方有两种方案，一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标，另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标。（4） 假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场，且双方必须同时作出决策。4、 模型建立 行动及其产生的结果红方蓝方2架一起两架分开1-1-1-11.00.002-1-10.750.502-2-0-00.500.83由此可得赢得矩阵蓝方为A，红方为B A= 1 0 0.75 0.50 0.50 0.83 B= 0 0.25 0.5 1 0.5 0.17 没有鞍点，故用混合策略模型解决本问题 设蓝方采取行动i的概率为 xi(i=1，

7、2，3)，红方采取行动j的概率为yj(j=1,2)，则蓝方与红方策略集分别为：S1=x=（x1，x2，x3）0 xi1,xi=1，S2=y=（y1，y2）0 yiv1x1+0.5*x2+0.17*x3 v1x1+x2+x3 =1xi=1下列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y*Min v2y2 v20.25*y1+0.5*y2 v20.5*y1+0.17* y2 v2y1+y2= 1yi=1四、雷达计量保障人员分配开展雷达装备计量保障工作中，合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键。所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上，并且使得所有人员能够发挥出

8、最大的军事效益。现某雷达团共部署12种型号共16部雷达，部署情况及计量保障任务分区情况如表所示：区域部署雷达计量保障任务划分计量保障任务数量区域1（雷达一营）区域2（雷达二营）区域3（雷达三营）A、A、B、C、D、EC、F、G、H、ID、F、J、K、LA、B1、B2、C、D、E、C、F、G、H1、H2、ID、F、J、K、L1、L2666说明：1保障任务分区域进行保障； 2B、H、L型雷达分为两个保障任务，分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷达为一个保障任务； 3同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5每个保障人员只能保障一个任务；

9、6每个保障任务只由一个保障人员完成。雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定，即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同。各雷达的重要性如下表所示（表中下标表示雷达所在保障区域）：雷达A1B1C1D1E1C2F2G2H2I2D3F3J3K3L3重要性0.80.90.80.70.70.70.80.70.90.60.70.90.80.60.7该雷达团修理所现在有10名待分配计量保障人员，他们针对不同保障任务的计量保障能力量化指标如下表所示：人员AB1B2CDEFGH1H2IJKL1L2Mw10.80.300.70.40.80.60.70.90.30.4000.70.8Mw20.90.50

10、0.5000.50.90.50.50.50.50.50.50.5Mw300.900000.40.60.40.70.40.40.30.40.5Mw40.4000.50.500.200.20.60.80.20.70.20.2Mw50.70.80.70.60.70.30.300.30.50.70.30.30.30.7Mw60.500.80.60.80.70.800.80.80.60.80.80.10.2Mw70.50.90.4000.20.30.40.30.300.60.30.30.5Mw80.80.20.40.600.10.20.20.20.100.20.10.20.2Mw90.40.70.50.

11、50.30.60.70.80.70.60.40.30.70.60.2Mw100.70.30.80.60.80.80.30.50.200.40.90.700问题：如何给该团三个营分配计量保障人员，使他们发挥最大军事效益？一、问题分析：该问题是人员指派问题，目的是得到最大效益。根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵，用01整数规划方法来求解，得到最大效益矩阵。2、 模型假设1保障任务分区域进行保障；2B、H、L型雷达分为两个保障任务，分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷达为一个保障任务； 3同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5每

12、个保障人员只能保障一个任务； 6每个保障任务只由一个保障人员完成。三、模型建立根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵： 根据题目，设保障任务的重要性向量，bi表示第i个任务的重要性。列出保障任务重要性向量：我们用二者的乘积表示效益矩阵： 。我们设元素rij表示第i个人完成j件事的效益,Xij表示第i个人去保障第j件任务，如果是，其值为1，否则为0。利用这一个矩阵和0-1规划，我们就可以列出方程： ,m=nmodel:sets:M/1.10/;N/1.18/:a;allowed(M,N):b,r,x;endsetsdata:a=0.8 0.9 0.9 0.8 0.7 0.7 0.7 0.8 0.7

13、 0.9 0.9 0.6 0.7 0.9 0.8 0.6 0.7 0.7;b=0.8 0.3 0 0.7 0.4 0.8 0.7 0.6 0.7 0.9 0.3 0.4 0.4 0.6 0 0 0.7 0.8 0.9 0.5 0 0.5 0 0 0.5 0.5 0.9 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0.9 0 0 0 0 0 0.4 0.6 0.4 0.7 0.4 0 0.4 0.4 0.3 0.4 0.5 0.4 0 0 0.5 0.5 0 0.5 0.2 0 0.2 0.6 0.8 0.5 0.2 0.2 0.7 0.2 0.2 0.7 0.8 0

14、.7 0.6 0.7 0.3 0.6 0.3 0 0.3 0.5 0.7 0.7 0.3 0.3 0.3 0.3 0.7 0.5 0 0.8 0.6 0.8 0.7 0.6 0.8 0 0.8 0.8 0.6 0.8 0.8 0.8 0.8 0.1 0.2 0.5 0.9 0.4 0 0 0.2 0 0.3 0.4 0.3 0.3 0 0 0.3 0.6 0.3 0.3 0.5 0.8 0.2 0.4 0.6 0 0.1 0.6 0.2 0.2 0.2 0.1 0 0 0.2 0.2 0.1 0.2 0.2 0.4 0.7 0.5 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.8 0.7 0.6

15、 0.4 0.3 0.7 0.3 0.7 0.6 0.2 0.7 0.3 0.8 0.6 0.8 0.8 0.6 0.3 0.5 0.2 0 0.4 0.8 0.3 0.9 0.7 0 0;enddatamax=sum(allowed(i,j):x(i,j)*r(i,j);for(M(i):for(N(j):r(i,j)=a(j)*b(i,j);for(M(i):sum(N(j):x(i,j)=1);for(N(j):sum(M(i):x(i,j)=1);for(M(i):for(N(j):bin(x(i,j);End解得最大效益为6.63，分配方案为：第5、7、8号保障人员分配到区域1，其中8号承担A型，5、7号承担B1，B2型；第1、2、3、4、9号保障人员分配到区域2，其中第9号保障人员承担F型2号G型，1、3号承担H1，H2型，4号I型；第6、10号保障人员分配到区域3，6号F型、10号J型。