高二理科数学圆锥曲线单元检验测试.doc

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1、,.高二年单元考试试卷（圆锥曲线）一、选择题（60分）1已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 2平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点、的坐标分别为、. 若动点满足，其中、，且，则点的轨迹方程为A. B. C. D. 3抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 324椭圆的离心率是，则它的长轴长是（ ）A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 2或45设经过点的等轴双曲线的焦点为，此双曲线上一点满足，则的面积为（ ）A. B. C. D. 6抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛

2、物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 7已知点是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）A. 2 B. C. 0 D. 18椭圆（）上存在一点满足， 为椭圆的左焦点， 为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是（ ）A. B. C. D. 9把离心率的曲线称之为黄金双曲线若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆，则圆与黄金双曲线（ ）A. 无交点 B. 有1个交点 C. 有2个交点 D. 有4个交

3、点10已知，则方程是与在同一坐标系内的图形可能是 ( ） A B C D11设直线与抛物线相交于、两点，抛物线的焦点为，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 12已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是（ ）A. B. C. 2 D. 3二、填空题(20分)13已知是抛物线 的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则_14抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则_15已知椭圆 离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16，则椭圆的方程为_16设椭圆的左右焦点为，过作轴的垂线与相交

4、于两点，与轴相交于，若，则椭圆的离心率等于 .三、解答题17（10分）设命题：方程表示双曲线；命题：斜率为的直线过定点且与抛物线有两个不同的公共点若是真命题，求的取值范围18（12分）（1）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，求椭圆的标准方程。（2）已知双曲线过点,且渐近线方程为,求该双曲线的标准方程。19（12分）已知双曲线C： 的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点。(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长。20（12分）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时， .（1）求抛物线的

5、方程；（2）若直线的斜率为2，问抛物线上是否存在一点，使得，并说明理由. 21（12分）已知椭圆过点，两个焦点为.（1）求椭圆的方程； （2）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点.22（12分）已知椭圆的离心率为，点， ， 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且（1）求椭圆的方程；（2）已知直线： 被圆： 所截得的弦长为，若直线与椭圆交于， 两点，求面积的最大值,.参考答案1D【解析】由题得c=5,则 ，即a=3,所以双曲线的渐近线方程为 ，即 ，故选D2C【解析】设 ,则因此,选C.3B【解析】横坐标为6的点到焦点的距离是10，该点到准线的距离为10，抛物线

6、的准线方程为 ， 故选B4D【解析】把椭圆方程转化为： 分两种情况：时椭圆的离心率则： 解得：m=进一步得长轴长为4时椭圆的离心率 ，则：长轴长为2故选：D点睛：在椭圆和双曲线中，焦点位置不确定时，勿忘分类讨论.5D【解析】设等轴双曲线方程为 ,因为过点,所以 从而 ,选D.6A【解析】令y=1,代入，得 ，即,由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0),所以 直线的斜率为，故选A【答案】A【解析】椭圆，即为，则椭圆的，则由为的中线，即有，则，可设，则，即有，当时，取得最小值，则的最小值为，故选A.8C【解析】设，则由得 ，因为，所以 ，选C.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范

7、围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9D【解析】由题意知，所以，因为，所以，所以，所以圆与黄金双曲线的左右两支各有2个交点，即圆与黄金双曲线由4个交点，故选D.10A【解析】方程即，表示抛物线，方程表示椭圆或双曲线，当和同号时，抛物线开口向左，方程表示椭圆，无符合条件的选项，当和异号时，抛物线开口向右，方程表示双曲线，故选A.11B【解析】设 ，因为，所以由抛物线定义得 ，选B.12A【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：,，设,则，在中

8、根据余弦定理可得到化简得：该式可变成：,故选点睛：本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出与、的数量关系，然后再利用余弦定理求出与的数量关系，最后利用基本不等式求得范围。13【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线

9、的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化14【解析】由抛物线可知焦点，准线，由于为等边三角形，设AB与y轴交于M,FM=P,即，填。【点睛】对于圆锥曲线要先定位，再定量，本题的抛物线焦点是在y轴正半径。所以求出抛物线的焦点坐标与准线方程，再把准线方程与双曲线组方程组算出B点坐，再由等边三角形，可解的P,15【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为 以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4， 在椭圆上， ， 椭圆方程为：故答案为：16【解析】试题分析：连接，为的中点，为的中点，又，.设，则，.考点：椭圆离心率.【方法点晴】本题考查的是椭

10、圆的几何性质（离心率问题），属于中档题.本题的切入点就在原点上，利用平行关系，推出点也是中点，从而思路豁然开朗.解析几何的中心思想就是数形结合，善于抓图像的性质，是解好解析几何题的关键所在，特别是小题.离心率问题是重点题型，主要思路就是想方设法去建立的等或者不等的关系即可.17【解析】试题分析：（1）命题p中式子要表示双曲线，只需，对于命题q：直线与抛线有两上不同的公共点，即设直线与抛物线方程组方程组，只需，解出两个不等式（组）中k的范围，再求出交集。试题解析：命题真，则，解得或，命题为真，由题意，设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 要使得直线与抛物线有两个公共点，需满足， 解得且 若

11、是真命题，则所以的取值范围为18（1） （2）【解析】试题分析：（1）由已知，先确定 的值，进而求出 ，可得椭圆的标准方程（2）由已知可得双曲线焦点在轴上且，将点代入双曲线方程，可求出，即得双曲线的标准方程试题解析：（1）由椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，得，即 （2）试题分析：由双曲线渐近线方程可知双曲线方程可设为，代入点得，所以双曲线方程为考点：双曲线方程及性质19（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆过点(，0)得a，再由离心率求c，最后根据勾股数求b;（2）先根据点斜式写出直线l方程，再与双曲线联立方程组，消y得关于x的一元二次方程，结合韦达定理，利用弦长公式求AB

12、的长试题解析：（1）因为双曲线C： 的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，所以，即（2）经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线l： 与双曲线联立方程组消y得 ，由弦长公式解得 点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法20（1）；（2）存在点.【解析】【试题分析】（1）运用抛物线的定义建立方程求出；（2）借助题设条件建立方程，再运用根与系数的关系得到方程，通过对判别式的研究发现有解，即所设的点存在

13、：解：（1）由抛物线的定义可得，故抛物线方程为；（2）假设存在满足题设条件的点，则设直线代入可得设，则。因为，则由： ，即，也即，所以，由于判别式，此时，则存在点，即存在点满足题设。21(1) ；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意得到a,b的值即可确定椭圆方程；(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分类讨论即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意可得： ，则椭圆的方程为（2）设，直线方程为，得： 由韦达定理： ， ，由题意可知，即即或当时，直线方程恒过定点当时，直线方程恒过定点与点重合，不合题意舍去，综上所述，直线恒过定点.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时

14、常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形22（1）（2）当，即时， 面积取到最大值1【解析】试题分析：利用离心率可以得出的关系，化为的关系，再利用的面积列出的方程，借助解出，写出椭圆方程，联立方程组，化为关于的一元二次方程，利用设而不求思想，借助根与系数关系，利用弦长公式表示出弦长，写出面积，利用换元法和配方法求出最值.试题解析：（1）由题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆标准方程为，则，所以，即，可得， ，所以椭圆的方程为（2）由题意知，圆心到直线的距离为1，即，所以由消去，得，所以，设， ，则， ，所以 ，所以的面积为 ，令，则，所以当，即时， 面积取到最大值1【点睛】求椭圆的标准方程一边采用待定系数法，即列出两个关于的方程，再借助，解方程组求出；最值和范围问题、定点定值问题、存在性问题时直线与圆锥曲线位置关系中常见的考题，也是高考高频考点，本题为最值问题，先设出直线与曲线的焦点坐标，设而不求，联立方程组，利用根与系数关系，表示弦长和面积，最后求最值.