高中文科数学立体几何知识点总结.docx

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1、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结立体几何学问点整理（文科）一 直线和平面的三种位置关系：ll / mm ml / l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 线面平行l符号表示：方法二：用面面平行实现。/ll /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 线面相交l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lA符号表示：3. 线在面内方法三：用平面法向量实现。n l如 n 为 平 面的 一 个 法 向 量 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l符号表示：nl 且 l,就l

2、/。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二 平行关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.线线平行：l方法一：用线面平行实现。l /3.面面平行：lm方法一：用线线平行实现。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ll / mml / l lm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m方法二：用面面平行实现。m/ m l , ml , m/且相交且相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l/mll / mm方法二：用线面平行实现。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法三：用线面

3、垂直实现。l /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 l, m,就 l / m 。m /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法四：用向量方法：如向量 l 和向量 m 共线且 l 、m 不重合, 就 l / m 。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。l , m且相交lm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lAC方法三：用向量方法：B如向量 l 和向量 m 的数量积为 0,就 lm 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。三 夹角问题。一异面直线所成的角：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

4、归纳总结lAClABl(1) 范畴：(2) 求法：0 ,90 Pn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ACABA AC , AB方法一：定义法。步骤 1：平移,使它们相交,找到夹角。AO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二：用面面垂直实现。步骤 2：解三角形求出角。 常用到余弦定理 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aclml余弦定理：222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mlm, lcosabc2abb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

5、名师归纳总结2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。lll运算结果可能是其补角方法二：向量法。转化为向量C的夹角运算结果可能是其补角： AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二：运算所成二面角为直角。3. 线线垂直：二线面角cosAB ACABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法一：用线面垂直实现。lllm mm(1) 定义：直线 l 上任取一点 P（交点除外） ,作PO 于 O,连结 AO ,就 AO 为斜线 PA 在面 内的射影, PAO 图中 为直线 l 与面 所成的角。P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二：三垂线定理及其逆定理。

6、OA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PPOlOAlPAlAO(2) 范畴：0 ,90 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当0 时, l或 l /n1当90 时, ln2(3) 求法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法一：定义法。步骤 1：作出线面角,并证明。步骤 2：解三角形,求出线面角。步骤一：运算cosn1 n2n1 n2n1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三二面角及其平面角(1) 定义：在棱l 上取一点 P,两个半平面内分别

7、作l 的垂线（射线） m、n,就射线 m 和 n 的夹角为步骤二：判定与者互补。n1 n2的关系,可能相等或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二面角 l的平面角。四 距离问题。1. 点面距。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法一：几何法。mPPlnAO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 范畴：(3) 求法：0 ,180 步骤 1：过点 P 作 PO于 O,线段 PO 即为所求。步骤 2：运算线段 PO 的长度。 直接解三角形。等体积法和等面积法。换点法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法一：定义法。步骤 1：作出二面角的平面角

8、三垂线定理 ,并证明。步骤 2：解三角形,求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤 1：如图,如平面 POA 同时垂直于平面和,2. 线面距、面面距均可转化为点面距。3. 异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。mn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就交线 射线 AP 和 AO 的夹角就是二面角。步骤 2：解三角形,求出二面角。m /如图, m和 n为两条异面直线,n且,就异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P线 m 与平面之间的距离。A方法二：直接运算公垂线段的长度。O方法

9、三：公式法。方法三：坐标法 运算结果可能与二面角互补。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BaAmcdnDmb如图, AD是异面直线 m 和 n 的公垂线段,m/ m ,就异面直线 m 和 n 之间的距离为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222Cdcab2ab cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五 空间向量一空间向量基本定理A A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CDC1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如向量a, b, c 为空间中不共面的三个向量,就对空间中任意一

10、个向量B p ,都存在唯独的有序实数对B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x、y、z ,使得 pxaybzc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二 三点共线,四点共面问题1. A , B, C 三点共线OAxOByOC ,且 xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 xy1时, A 是线段 BC 的2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A , B, C 三点共线ABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. A , B, C, D 四点共面OAxOByOCzOD ,且1xy

11、z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 xyz时, A 是 BCD的3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A , B, C, D 四点共面ABx ACy AD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三空间向量的坐标运算1. 已知空间中 A 、B 两点的坐标分别为：A x1, y1, z1 , B x2 , y2, z2就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB;d A , BAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 如空间中的向量 a x1, y1, z1 , b x2 , y2

12、, z2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a bcosa b六常见几何体的特点及运算一长方体1. 长方体的对角线相等且相互平分。222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 如长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、 、 ,就cos+cos+cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、 、 ,就cos2+cos2+cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如长方体的长宽

13、高分别为a、b、c,就体对角线长为,表面积为,体积为。二正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。三正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。四正多面体：每个面有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。只有五种正多面体五棱锥的性质： 平行于底面的的截面与底面相像,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六体积： V棱柱V棱锥可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结七球1. 定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2. 设球半径为 R,小圆的半径为 r,小圆

14、圆心为O1,球心 O 到小圆的距离为 d,就它们三者之间的数量关系是。3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。4. 球的表面积公式：体积公式：高考题典例考点 1点到平面的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 如图,正三棱柱ABCA1B1C1 的全部棱长都为2 , D 为 CC1 中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求证：AB1 平面A1BD 。（）求二面角AA1DB 的大小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

15、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求点 C 到平面A1BD 的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答过程 （）取 BC 中点 O ,连结 AO ABC 为正三角形,AO BC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正三棱柱ABCA1 B1C1 中,平面 ABC 平面BCC1 B1 ,AA1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AO 平面的中点,BCC1B1 连结B1O BD ,B1O ,在正方形AB1 BD BB1C1C 中, O, D 分FCODC1别 为 B C,C 1C可编辑资料 - - - 欢迎

16、下载精品名师归纳总结在正方形ABB1 A1 中,AB1 A1B ,AB1 平面A1BD BB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）设AB1 与A1B 交于点 G ,在平面A1BD 中,作GF A1D于 F, 连 结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AF ,由（）得AB1 平面A1 BD AF A1 D , AFG 为二面角AA1 DB 的平面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 AA1 D 中,由等面积法可

17、求得AF4 5 ,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 AG1AB122 ,sinAFGAGAF210 4 545可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以二面角AA1DB 的大小为arcsin10 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（） A1BD 中,BDA1D5,A1 B22,S A BD6 , S BCD1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1在正三棱柱中,A1 到平面BCC1B1 的距离为

18、3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设点 C 到平面A1 BD 的距离为 d 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由VV,得 1 S3 1 Sd ,3SBCD2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1 BCDC A1BD BCD33 A1BDd1S A BD2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1点 C 到平面 A BD 的距离为2 2考点 2异面直线的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 已知三棱锥 SABC ,底面是边长

19、为4 2 的正三角形,棱可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SC的长为 2 ,且垂直于底面 . E、D 分别为 BC、AB的中点,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CD 与 SE 间的距离 .解答过程 ： 如下列图,取 BD 的中点 F,连结 EF , SF,CF ,EF 为 BCD 的中位线,EF CD ,CD 面 SEF ,CD 到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离 .又线面之间的距离可转化为线CD 上一点 C 到平面 SEF的距离,设其为 h,由题意知, BC4 2 ,D 、E、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点,可编辑资料 - - - 欢迎下载

20、精品名师归纳总结CD26, EF1 CD26 , DF2 , SC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VS CEF11EFDFSC116 323222233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtSCE中, SESC2CE22 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtSCF 中, SFSC2CF 2424230可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

21、又EF6,SSEF3由于 VCSEFVS CEF1S SEF3h ,即 13 h32323,解得 h33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 CD 与 SE 间的距离为 23 .3考点 3直线到平面的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 如图,在棱长为 2 的正方体AC1 中, G 是AA1 的中点,求 BD 到平面GB1D1 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路启发 ：把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解.D1CO11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答过程 ：解析一BD 平面GB1D1 ,A1B1

22、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD 上任意一点到平面GB1D1 的距离皆为所求,以下求HG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 O 平面B1D1GB1D1 的距离 ,A1C1 , B1D1A1 A,B1D1DCO平面 A1 ACC1 ,AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又B1D1平面 GB1D1平面 A1ACC1GB1D1 ,两个平面的交线是O1G ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作 OHO1G 于 H ,就有 OH平面GB1 D1

23、,即 OH 是 O 点到平面GB1D1 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 O1OG 中,S O1OG11O1OAO222 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 S O1OG11OHO1G223 OH262 ,OH.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 BD 到平面GB1D126的距离等于.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析

24、二BD 平面GB1D1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD 上任意一点到平面GB1D1 的距离皆为所求,以下求点B 平面GB1D1 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设点 B 到平面GB1D1 的距离为 h,将它视为三棱锥BGB1D1 的高,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VB GB1D1VD1GBB1,由于SGB1 D112236,2V D1 GBB1114222,323可编辑资料 - -

25、 - 欢迎下载精品名师归纳总结h42 6 ,63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 BD 到平面GB1D126的距离等于.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 ：当直线与平面平行时, 直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离 .所以求线面距离关键是选准恰当的点, 转化为点面距离 .本例解析一是依据选出的点直接作出距离。解析二是等体积法求出点面距离.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点 4异面直线所成的角 例 4 如图,在 RtAOB 中,OAB,斜边 AB64 Rt AOC可以通过 Rt AOB 以直线 AO 为轴旋转可编辑资料 - -

26、- 欢迎下载精品名师归纳总结得到,且二面角 BAOC 的直二面角D 是 AB 的中点（ I）求证：平面 COD平面 AOB。（ II）求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小解答过程 ：（ I）由题意, COAO , BOAO , BOC 是二面角 BAOC 是直二面角,COBO ,又AOBOO,CO平面 AOB,又 CO平面 COD 平面 COD平面 AOB（ II）作 DEOB ,垂足为 E ,连结 CE （如图）,就 DE AO ,CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角ADzAOEBCDOB y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtCOE 中, COBO2 , O

27、E1 BO1,2CECO 2OE 25 x C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 DE1 AO3 在 RtCDE 中,tanCDECE515 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为arctanDE3315 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 ： 求异面直线所成的角经常先作出所成角的平面图形,作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上挑选“特殊点” ,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二。补形法：把空间图形补成熟识的几何体,其目的在于简单发觉两条

28、异面直线间的关系,如解析三 .一般来说, 平移法是最常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特殊留意异面直线所成的角的范畴：0,.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点 5直线和平面所成的角例 5 . 四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC底面 ABCD 已知 ABC45 ,AB2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BC22 ,SASB3 S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

29、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）证明 SABC 。（）求直线 SD 与平面 SAB所成角的大小解答过程：（） 作 SO BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC DAB,得 SO 底面 ABCD 由于 SASB,所以 AOBO ,CB底面AS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 ABC45, 故A O B为 等 腰 直 角 三 角 形 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AO BO,由三垂线定理,得SA BC （）由（）知SA BC

30、,依题设 AD BC ,DCOBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 SA AD ,由ADBC2 2 ,SA3 ,AO2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 SO1 , SD11 SA B的面积 S112ABSA21 AB2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结连结 DB ,得DAB 的面积 S21 AB AD222sin1352可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 D 到平面 SAB的距离为 h ,由于VD SABVS ABD ,得 1 h S1 SO S ,解得 h2 可编辑资料 -

31、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结1233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 SD 与平面 SAB所成角为,就sinh222 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,直线 SD与平面 SBC所成的我为SDarcsin111122 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 ：求直线与平面所成的角时,应留意的问题是（1 ）先判定直线和平面的位置关系。（ 2）当直线和平面斜交时,常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角,证明论证作出的角为所求的角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算常用解三角形的方法求角,结论点明直线和平面所成的角的值.

32、考点 6二面角例 6 如图, 已知直二面角PQ, APQ , B, C, CACB ,C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BAP45 ,直线 CA 和平面所成的角为 30 （ I）证明 BC PQPAQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ II）求二面角 BACP 的大小B过程指引 ：（ I）在平面内过点 C 作 CO PQ 于点 O ,连结 OB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于,PQ ,所以 CO , 又由于 CACB ,所以 OAOB CHPAQBO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而BAO45 ,所以ABO45 ,AOB90 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 BO PQ,又 CO PQ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 PQ 平面 OBC 由于 BC平面 OBC ,故 PQ BC （ II）由（ I）知, BO PQ ,又 ,PQ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BO,所以 BO 过点 O 作 OH AC 于点 H ,连结 BH ,由三垂线定理知,BH AC 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精