高中数学《二项式定理》公开课学习教案设计.docx

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1、高中数学二项式定理公开课学习教案设计.doc 二项式定理公开课教案 （第一教时） 一、教学目标 1、理解杨辉三角形。其行为样例是：（1）能用不完全归纳法写出杨辉三角形；（2）能根据杨辉三角形对(a b) n (n 6) 的二项式进行展开。 2、掌握二项式定理。其行为样例是：（1）能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展 开式的系数r ( r 0,1,2, , , ) r n r b r；(2) 能正确 C n n n N 以及二项展开式的通项 T r 1 C n a 区分二项式系数和某一项的系数；（ 3）能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开、并求出它特定的项或系数。 二、教学重点与难点 1、

2、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 （教具：多媒体课件） 三、教学过程 1、情景设置 问题 1：若今天是星期一，再过30 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30 被 7 除后算余数”是多少。 问题 2：若今天是星期一，再过8n (n N ) 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“8n (7 1)n被7除后算余数”是多少，也就是研究 ( a b)n (n N ) 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。 （设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。奥苏贝尔认为动机是 学习的先决条

3、件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、 顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。） 2、新授 第一步：让学生展开 (a b)1 a b (a b) 2 a 2 2ab b2； (a b) 3 (a b) 2 ( a b) a 3 3a 2 b 3ab 2 b3； (a b) 4 ( a b) 3 (a b) a 4 4a3b 6a 2 b2 4ab3 b4 (a b) 5 ( a b) 5 (a b) a 5 5a 4 b 10a3b 2 10a 2b3 5ab 4 b 5 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 12 1 133 1 1464 1 1 5

4、10 10 5 1 1： 你找出以上数据上下行之 的 律。 期回答：下一行中 的各个数分 等于上一行 位置的相 两数之和。 2：以 (a b) 5 的展开式 例， 出各 字母排列的 律； 数与乘方指数的关系； 展开式第二 的系数与乘方指数的关系。 期回答： 展开式每一 的次数按某一字母降 排列、 另一字母升 排列， 且两个字 母的和等于乘方指数； 展开式的 数比乘方指数多 1 ；展开式中第二 的系数等于乘 方指数。 初步 出下式： (a b) n a n a n 1b a n 2 b 2 a n 3b 3 b n （） （ 意 ：以上呈 学生的由系数排成的“三角形” ，起到了“先行 者”的作

5、用， 然，教 将此“三角形”模型以定 的形式呈 学生，但是，它 竟不是最后的 果，而是一种 找系数 律的有效工具， 便于学生将新的学 材料同自己原有的 知 构 系起来， 并 入到原有 知 构中而出 意 。 的学 是有意 的而不是机械的， 是主 建构的而不是被 死 的心理 程。 ） ：展开 ( a b)7 教 作 段性 价， 告 学生以上的系数表是我国宋代数学家 的杰作， 称 三 角形， 明比欧洲人帕斯卡三角早 400 多年。你 今天做了与 同 的探索， 以鼓励 学生探究的 情，并激 作 一名文明古国的后代的民族自豪感和 国 情。 第二步： 疑 如何展开 (a b) 100 以及 (a b)n

6、(n N ) 呢？ （ 意 ： 学生感到 掌握 三角形是不 的， 激 学生 学 新的更 捷的 方法的欲望。） 新授 ： 了 找 律，我 将 ( a b ) 4 ( )( a b )( a b )( a ) 中第一个括号中的 a b b 字母分 成 a 1 , b 1 ；第二个括号中的字母分 成 a 2 ,b 2 ；依次 推。 再次用多 式乘 法运算法 算： (a b) 4 ( a b )(a 2 1 1 a 1 a 2a 3a 4 b 2 )(a 3 b 3 )(a 4 b 4 ) ? a 4 a 1 a 2 a 3 b 4 a 1 a 2 a 4b 3 a 1 a 2 b 3b 4 a 1

7、a 3 b 2 b 4 a 1 b 2 b 3b 4 a 2 b 1b 3 b 4 b 1b 2 b 3b 4 a 1 a 3 a 4 b 2 a 1a 4 b 2 b 3 a 3b 1b 2b 4 a 2 a 3 a 4 b 1 ? a 3 b a 2 a 3 b 1b 4 a 2 a 4b 1b 3 a 3 a 4 b 1b 2 ? a 2 b 2 a 4 b 1b 2b 3 ? ab 3 ? b 4 （ 意 ：上述呈 内容是 了搭建“ 知 梁” ，用以激活学生 知 构中已有的 知 与 ， 便于学生 行 比学 ， 用已有的知 与 同化当前学 的新知 ， 并迁移 到陌生的情境之中。 ） 问题

8、 1：以 a 2b 2 项为例，有几种情况相乘均可得到 a 2b 2 项？这里的字母 a,b 各来自哪 个括号？ 问题 2：既然以上的字母 a,b 分别来自 4 个不同的括号， a 2 b 2 项的系数你能用组合数 来表示吗？ 问题 3：你能将问题 2 所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？ （预期答案： 有 4 个括号，每个括号中有两个字母，一个是 a 、一个是 b 。每个括号 只能取一个字母，任取两个 a 、两个 b ，然后相乘，问不同的取法有几种？ ） 问题 4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子： (a b) 4 ( a b)( a b)(a b)(a b) a

9、4 a 3b a 2 b 2 ab 3 b 4 括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。 呈现二项式定理板书课题： (a b) n C n 0 a n C n 1 a n 1b C n 2 a n 2b 2 C n r a n r b r C n n b n (n N ) 。 3、深化认识 请学生总结： 二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？ 二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？ 由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。 （设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材 料潜在的意

10、义，从而使学习成为有意义的学习。 ） 4、巩固应用 展开 (1 1 ) 4 (2 x 1 ) 6 x x 求 (1 2x) 1 求 ( x ) 7 的展开式的第 4 项的系数及第 4 项的二项式系数。 9 的展开式中含 x 3 项的系数。 变式：在二项式定理中，令 a 1, b x ，得到怎样的公式？ (1 x) n 1 C 1n x C n 2 x 2 C n r x r C n n x n 思考： C n0 C n1C n2 C n r C n n? 为什么？ C n1 C n2 C n r C n n ? 解决起始问题：8n (7 1) n C n0 7n C n1 7n 1 C n n 1 7 C n n，前面是 7 的倍数，因此余数为 C n n 1 ，故应该为星期二。 说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。 四、课堂小结 本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。 二项式定理的表达式以及展开式的通项， 要正确区别“项的系数”和“二项式系数”， 将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。 五、布置作业（略）