长春市2020年度高三质量监测数学文科.doc

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1、*-长春市 2020 届高三质量监测（一） 文科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 复数的共轭复数对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 已知集合， ，则 A. B. 或C. 或 D. 或3. 已知等差数列的前项和为， ， ，则A. B. C. D. 4. 已知条件，条件，则是的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展

2、更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数，给出下列结论，其中正确的个数是 公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个 可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 36. 已知直线与圆相切，则A. B. C. 或 D. 7. 已知，则A.

3、B. C. D. 8. 已知为直线，平面，则下列说法正确的是 ，则 ，则 ，则 ，则A. B. C. D. 9. 函数的图象（部分图象如图所示） ，则其解析式为A. B. C. D. 10. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为A. B. C. D. 11. 已知是抛物线的焦点，则过作倾斜角为的直线分别交抛物线于（在轴上方）两点，则的值为A. B. C. D. 12. 已知函数，若存在 使得成立，则实数的取值范围为A. B. C.

4、 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 已知，则_. 14.设变量满足约束条件，则的最小值等于_.15.三棱锥中，平面，,，则三棱锥的外接球球的表面积为_. 16. 已知的内角的对边分别为，若,，且，则_;若的面积为，则的周长的最小值为_.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 2223 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分） 已知数列中，设.（）求证： 数列是等差数列； （）求数列的前项和.18. （本小题满分 12 分） 环保部门要对所

5、有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对 100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果. （）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其 中位数落在哪一组； （）用分层抽样的方法从行车里程在区间38,40)与 40,42) 的新车模型中任取 5 辆，并从这 5 辆中随机抽取 2 辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在40,42) 内的概率.19.（本小题满分 12 分） 在三棱柱中，平面、平面、平面两两垂直. （）求证：两两垂直； （）若，求三棱锥的体积.20.（本小题满分 12 分） 已知点若点满足.（）求点的轨迹方程； （）过点的直线与（）中曲线相交

6、于两点，为坐标原点， 求面积的最大值及此时直线的方程.21.（本小题满分 12 分）设函数.（）求函数的极值； （）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为. （）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程； （）直线与圆交于两点，点，求的值.23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 已知函数 . （）解关于的不等式 ；

7、 （）若函数的最大值为，设，且，求的最小值.长春市2020届高三质量监测（一）数学（文科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C 【解析】，则，其对应点为，在第三象限2. B【解析】，或3. B【解析】由得，4. B【解析】，则则是的必要不充分条件5. D【解析】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又趋近于1，所以相关性较强，故正确；由回归方程知正确；由回归方程，当时，得估计值为3191.93192，故正确.6. C【解析】由圆心到切线的距离等于半径，得7. C 【解析】，8. D【解析】正确； 错误；错误；正确9. A【解析】由，

8、由即，即为解析式.10. A【解析】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则，又，解得11. C【解析】，.12. D【解析】如图, 直线过定点,为其斜率，满足题意，当时，直线过原点时与函数相切，此时，也满足题意.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13. 【解析】平方得.14. 【解析】画出可行域如图，变形为，过点A（-2，-2），z取得最大值4，过点C(-2,2)取得最小值.15. 【解析】16. 【解析】由得得；又所以（当且仅当时等号成立）三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的相关知识. 【试

9、题解析】（）证明：当时，所以是以为首项，为公差的等差数列.（6分）（）由（）可知，所以，所以. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查概率与统计的相关知识.【试题解析】（）由题意可画出频率分布直方图如图所示：由图可知，中位数在区间.（6分）（）由题意，设从中选取的车辆为，从中选取的车辆为，则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种，分别为，其中符合条件的有6种，所以所求事件的概率为. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何的相关知识.【试题解析】（）证明：在内取一点，作，因为平面平面，其交线为，所以平面，同理，所以平面，同理，故两两垂直. （6分）

10、（）由（）可知，三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，. 因此椭圆的方程为. （4分）（）设直线的方程为与椭圆交于点，联立直线与椭圆的方程消去可得，即，. 面积可表示为令，则，上式可化为，当且仅当，即时等号成立，因此面积的最大值为，此时直线的方程为. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.【试题解析】解：（）令，（2分）+极小值，无极大值；（4分）（II）由题意可知，则原不等式等价于，令，当时，在上单调递减，成立；当时，使得当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，不成立；综上所述，. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】解：（）直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为.（5分）（）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程可得，化简可得. 则. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（）由题意当时，可得，即. 当时，可得，即. 当时，可得，即. 综上，不等式的解集为. （5分）（）由（）可得函数的最大值，且，即，当且仅当时“=”成立，可得，即，因此的最小值为2. （10分）