曲线积分与曲面积分总结.pdf

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1、1 / 4下载文档可编辑第十一章：曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分LLydxdyxfdsyxf22),(),(若)()(:tyytxxLt则 原式=dttytxtytxf)()()(),(22对弧长的曲线积分222( , )( ( ),( ), ( )LLf x y z dsf x ty tz td xd yd z若( ):( )( )xx tLyy tzz tt则 原式=222( ( ),( ), ( )( )( )( )fx ty tz tx txy tz tdt常见的参数方程为：特别的：22222.2xyLLLedse dsedseB A 参数方程( )( )xx yxx yyy(

2、 )( )xxyy xyy x2 2 2xyy2xxy2 / 4下载文档可编辑22=2(0)Lxyy为上半圆周二、对坐标的曲线积分Ldyyxqdxyxp),(),(计算方法一：若)()(:tyytxxL起点处t，终点处t则原式=dttytytxqdttxtytxp)()(),()()(),(对坐标的曲线积分( , , )( , , )( , , )LP x y z dxQ x y z dyR x y z dz( ):( )( )xx tLyy tzz t起点处t，终点处t则原式=( ( ),( ), ( )( )( ( ),( ),( )( )( ( ),( ), ( )( )P x ty t

3、z tx t dtQ x ty tz ty t dtR x ty tz tz t dt计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。11( , )( , )( , )( , )LLLp x y dxq x y dyp x y dxq x y dy?1()( , )( , )LDqpdxdyp x y dxq x y dyxy如图：三、格林公式Ddxdyypxq)(Ldyyxqdxyxp),(),(其中 L 为 D的正向边界L1 L 3 / 4下载文档可编辑特别地：当ypxq时

4、，积分与路径无关，且21212211),(),(),(),(21),(),(yyxxyxyxdyyxqdxyxpdyyxqdxyxp( , )( ,)( , )P x y dxQ x y dydU x y是 某 个 函 数 的 全 微 分QPxy注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。四、对面积的曲面积分1、当曲面为xyDyxdxdyffyxfyxdszyxyxfz221),(,(),(),(2、当曲面为22( , )( , , )( ,( , ),) 1xzxzDyf x zx y z dsx

5、 f x zzff dxdz3、当曲面为22( , )( , , )( , ), ) 1yzyzDxfy zx y z dsfy zy zff dydz特别的：ds面积。例：22222222xyzedse dsedser为上半球面2222 (0)xyzz五、对坐标的曲面积分 1 、dxdyzyxR),(中，只能为),(yxfz，它在xoy面的投影为xyD，且 外 法 向 量 与Z 轴 正 向 的 夹 角 为 锐 角 ， 则原 式=DdxdyyxfyxR),(,(，否则为负； 2 、dzdxzyxQ),(中，只能为),(zxfy，它在xoz面的投影为xzD，4 / 4下载文档可编辑且 外 法 向

6、 量 与Y 轴 正 向 的 夹 角 为 锐 角 ， 则原 式=DdxdzzzxfxR),(,(，否则为负；3、dydzzyxP),(中，只能为),(zyfx，它在yoz面的投影为yzD，且外法向量与 X轴正向的夹角为锐角， 则原式=DdydzzyzyfR),),(，否则为负；计算方法：11( , , )( , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdyP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdyP x y z dydzQ x y z dzdx

7、R x y z dxdy=1()( , , )( , , )( , , )PQRdvP x y z dydz Q x y z dzdxR x y z dxdyxyz注：在计算曲面积分时，通过适当的添加平面或曲面，是之变成一个封闭曲面上的曲面积分与所添加平面或曲面上的曲面积分之差，从而对前者利用高斯公式。六、高斯公式dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)(其中是的边界曲面的外侧。注：在计算曲面积分时，通过适当的添加平面或曲面，是之变成一个封闭曲面上的曲面积分与所添加平面或曲面上的曲面积分之差，从而对前者利用高斯公式。（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）