高级中学数列教学方案计划案完整编辑版.doc
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1、-*第三章 数列第一教时教材:数列、数列的通项公式目的:要求学生理解数列的概念及其几何表示,理解什么叫数列的通项公式,给出一些数列能够写出其通项公式,已知通项公式能够求数列的项。过程: 一、从实例引入(P110)1 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,102 正整数的倒数 34 -1的正整数次幂:-1,1,-1,1,5 无穷多个数排成一列数:1,1,1,1,二、提出课题:数列1 数列的定义:按一定次序排列的一列数(数列的有序性)2 名称:项,序号,一般公式,表示法3 通项公式:与之间的函数关系式如 数列1: 数列2: 数列4:4 分类:递增数列、递减数列;常数列;摆动数列; 有穷数列、无穷数列
2、。5 实质:从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集1,2,n)的函数,当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值,通项公式即相应的函数解析式。6 用图象表示: 是一群孤立的点 例一 (P111 例一 略) 三、关于数列的通项公式1 不是每一个数列都能写出其通项公式 (如数列3)2 数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成 和 3 已知通项公式可写出数列的任一项,因此通项公式十分重要例二 (P111 例二)略 四、补充例题:写出下面数列的一个通项公式,使它的前项分别是下列 各数:11,0,1, 0 2, 37,77,777,7777 4-1,7,-13,1
3、9,-25,31 5, 五、小结: 1 数列的有关概念2 观察法求数列的通项公式 六、作业: 练习 P112 习题 31(P114)1、2 课课练中例题推荐2 练习 7、8第二教时教材:数列的递推关系目的:要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念;了解数列递推公式的意义,会根据给出的递推公式写出数列的前n项。过程:一、 复习:数列的定义,数列的通项公式的意义(从函数观点出发去刻划)二、例一:若记数列的前n项之和为Sn试证明: 证:显然时 , 当即时 注意:1 此法可作为常用公式 2 当时 满足时,则例二:已知数列的前n项和为 求数列的通项公式。 解:1当时, 当时, 经检验 时 也适合 2当时
4、, 当时, 三、递推公式 (见课本P112-113 略) 以上一教时钢管的例子 从另一个角度,可以: “递推公式”定义:已知数列的第一项,且任一项与它的前 一项(或前项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫 做这个数列的递推公式。 例三 (P113 例三)略 例四 已知, 求 解一:可以写出:, 观察可得: 解二:由题设: 例五 已知, 求 解一: 观察可得: 解二:由 即 四、小结: 由数列和求通项 递推公式 (简单阶差、阶商法) 五、作业:P114 习题31 3、4 课课练 P116-118 课时2中 例题推荐 1、2 课时练习 6、7、8第三教时教材:等差数列(一)目的:要求学生掌
5、握等差数列的意义,通项公式及等差中项的有关概念、计算公式,并能用来解决有关问题。过程:一、 引导观察数列:4,5,6,7,8,9,10, 3,0,-3,-6, , 12,9,6,3, 特点:从第二项起,每一项与它的前一项的差是常数 “等差”二、 得出等差数列的定义: (见P115) 注意:从第二项起,后一项减去前一项的差等于同一个常数。1名称:AP 首项 公差 2若 则该数列为常数列3寻求等差数列的通项公式: 由此归纳为 当时 (成立) 注意: 1 等差数列的通项公式是关于的一次函数 2 如果通项公式是关于的一次函数,则该数列成AP 证明:若 它是以为首项,为公差的AP。 3 公式中若 则数列
6、递增, 则数列递减 4 图象: 一条直线上的一群孤立点三、例题: 注意在中,四数中已知三个可以求 出另一个。例一 (P115例一)例二 (P116例二) 注意:该题用方程组求参数例三 (P116例三) 此题可以看成应用题四、 关于等差中项: 如果成AP 则 证明:设公差为,则 例四 教学与测试P77 例一:在-1与7之间顺次插入三个数使这五个数成AP,求此数列。 解一: 是-1与7 的等差中项 又是-1与3的等差中项 又是1与7的等差中项 解二:设 所求的数列为-1,1,3,5,7五、小结:等差数列的定义、通项公式、等差中项六、作业: P118 习题32 1-9第四教时教材:等差数列(二)目的
7、:通过例题的讲解,要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义,并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。过程:一、复习:等差数列的定义,通项公式 二、例一 在等差数列中,为公差,若且求证:1 2 证明:1 设首项为,则 2 注意:由此可以证明一个定理:设成AP,则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和 ,即: 同样:若 则 例二 在等差数列中, 1 若 求 解: 即 2 若 求 解:= 3 若 求 解: 即 从而 4 若 求 解: 6+6=11+1 7+7=12+2 从而+2 =2- =280-30=130 三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法 1定义法:即证明 例三 课课练
8、第3课 例三 已知数列的前项和,求证数列成等差数列,并求其首项、公差、通项公式。 解: 当时 时 亦满足 首项 成AP且公差为6 2中项法: 即利用中项公式,若 则成AP。 例四 课课练第4 课 例一 已知,成AP,求证 ,也成AP。 证明: ,成AP 化简得: = ,也成AP 3通项公式法:利用等差数列得通项公式是关于的一次函数这一性质。 例五 设数列其前项和,问这个数列成AP吗? 解: 时 时 数列不成AP 但从第2项起成AP。 四、小结: 略 五、作业: 教学与测试 第37课 练习题 课课练 第3、4课中选第五教时教材:等差数列前项和(一)目的:要求学生掌握等差数列的求和公式,并且能够较
9、熟练地运用解决问题。过程:一、引言:P119 著名的数学家 高斯(德国 1777-1855)十岁时计算 1+2+3+100的故事 故事结束:归结为 1这是求等差数列1,2,3,100前100项和 2高斯的解法是:前100项和 即二、提出课题:等差数列的前项和 1证明公式1: 证明: +: 由此得: 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性。 2推导公式2 用上述公式要求必须具备三个条件: 但 代入公式1即得: 此公式要求必须具备三个条件: (有时比较有用) 总之:两个公式都表明要求必须已知中三个 3例一 (P120 例一):用公式1求 例二 (P120 例一):用公式2求 学生练习:P1
10、22练习 1、2、3 三、例三 (P121 例三)求集合的元素个 数,并求这些元素的和。 解:由得 正整数共有14个即中共有14个元素 即:7,14,21,98 是 答:略 例四 已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220, 由此可以确定求其前项和的公式吗? 解:由题设: 得: 四、小结:等差数列求和公式 五、作业 (习题31) P122-123第六教时教材:等差数列前项和(二)目的:使学生会运用等差数列前项和的公式解决有关问题,从而提高学生分析问题、解决问题的能力。过程:一、复习:等差数列前项和的公式二、例一 在等差数列中 1 已知 求和; 解: 2 已知,求 解: 例二
11、 已知,都成AP,且 ,试求数 列的前100项之和 解: 例三 一个等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差。 解一:设首项为,公差为 则 解二: 由 例四 已知: () 问多少项之和为最 大?前多少项之和的绝对值最小? 解:1 2 当近于0时其和绝对值最小 令: 即 1024+ 得: 例五 项数是的等差数列,中央两项为是方程的 两根,求证此数列的和是方程 的根。 () 解:依题意: (获证) 例六 (机动,作了解)求和 1 解: 2 解:原式= 三、作业 精编P167-168 6、7、8、9、10第七教时教材:等差数列的综合练习目的:通过练习,要求学生
12、对等差数列的定义,通项公式,求和公式及其性质有深刻的理解。过程:一、复习:1等差数列的定义,通项公式关于的一次函数 2判断一个数列是否成等差数列的常用方法 3求等差数列前项和的公式二、处理教学与测试P79 第38课 例题1、2、3三、补充例题教学与测试备用题 1成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数 解:设四个数为 则: 由: 代入得: 四个数为2,5,8,11或11,8,5,22在等差数列中,若 求 解: 而3已知等差数列的前项和为,前项和为,求前项和 解:由题设 而 从而: 四、补充例题:(供参考,选用) 4已知, 求及 解: 从而有 5已知 求的关系式及通项公
13、式 解: -: 即: 将上式两边同乘以得: 即: 显然:是以1为首项,1为公差的AP 6已知,求及解: 设 则是公差为1的等差数列 又: 当时 7设求证: 证: 五、作业:教学与测试第38课 练习题P80第八教时教材:等比数列(一)目的:要求学生理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式并会根据它进行有关计算。过程:一、1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例:得一个数列: (1)2.数列: (2) (3)观察、归纳其共同特点:1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)2 隐含:任一项3 q= 1时,an为常数二、通项公式: 三、例一:(P127 例一)实际是等比数列,求 a5 a1=120,
14、q=120 a5=1201205-1=12052.51010 例二、(P127 例二) 强调通项公式的应用例三、求下列各等比数列的通项公式:1 a1=-2, a3=-8解:2 a1=5, 且2an+1=-3an 解:3 a1=5, 且解: 以上各式相乘得:四、关于等比中项:如果在a、b中插入一个数G,使a、G、b成GP,则G是a、b的等比中项。(注意两解且同号两项才有等比中项)例:2与8的等比中项为G,则G2=16 G=4例四、已知:b是a与c的等比中项,且a、b、c同号,求证: 也成GP。证:由题设:b2=ac 得: 也成GP五、小结:等比数列定义、通项公式、中项定理六、作业:P129 习题
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