2022年第三章三角函数 .pdf

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1、1 第三章三角函数31 三角函数的概念例 1 （1）确定8sec5cot)3tan(的符号 ; （2）确定)60sin60lg(cos的符号 . 例 2已知角 的终边上一点P 的坐标为.tancos,42sin),0)(,3(和求且yyy例 3若是第二象限，那么)2cos(sin)sin(cos的值所对应的符号是什么？例 4若sin() cos()( )tan() cot(),()cos(1)26nxnxnfxxnxnzfnx求的值 . 【备用题】设求成立 ,sectansin1sin1的取值范围 . 【基础训练】1根据角 终边所在的位置，写角的集合，第二象限_，在 y 轴上 _，第二象限角平

2、分线 _，第一、第三象限角平分线_. 2设一圆弧所对的圆心角为弧度，半径为r，则弧长l=_.这扇形面积S=_. 3已知角 的终边过点P（ 4m,3m） （m0） ，则cossin2的值是 _. 4若角 终边在直线._tan_,_cos_,_sin,2则上xy5在第二象限，则2在第 _象限， 2在第 _象限 . 6适合条件是的角sin|sin|_. 7设为第二象限的角，则必有（）A2cot2tanB2cot2tanC2cos2sinD2cos2sin名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

3、- - 第 1 页，共 30 页 - - - - - - - - - 2 【拓展练习】1已知是那么且,1sin)0(tan2mmmm（）A第一、第二象限的角B第一、第四象限的角C第一、第三象限的角D仅第一象限的角2如果 是第一象限的角，且2,2cos2sin1sin1那么的象限（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3下列各式结果为正值的是（）A2sin2cosB2sin2cosC2sec3tanD2tan2sin4角的终边过点P（ 4k，3k） ， （k”和“ BB，是 sinA sinB 的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即非充分又非必要条件4在 ABC 中， C=60

4、，则 cosAcosB 的取值范围是（）A41,21(B41,0 C41,43D以上都不对5在 ABC 中， C=90，则 sin(AB)+cos2A=_. 【拓展练习】1ABC 中，下述表达式： （1） sin(A+B )+sinC； （2） cos(B+C)+cosA； （3）2tan2tanCBA； （4）2sec2cosACB表示常数的是（）A （ 1）和（ 2）B （1）和（ 3）C （2）和（ 3）D （2）和（ 4）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21

5、页，共 30 页 - - - - - - - - - 22 2半径为1 的圆内接三角形，三边长为a、b、c 面积为41，则下列结论成立的是（）Aabc 1 Babc 1 Cabc = 1 D以上都不正确3设、是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（）Atantan 1 Bsin+sin1 D)2tan()tan(214在 ABC 中，化简sin2B + sin2C2cosAsinBsinC=_. 5在 ABC 中，化简2sin2sin3sin22sin2sin2sin222CBACBA_. 6在 ABC 中，化简cos4A+cos4B+cos4C4cos2Acos2Bcos2C

6、=_. 7在 ABC 中，求证：.2cot2tancoscoscos1coscoscos1CBCBACBA8在 ABC 中，求证：（ 1）sin2A + sin2B + sin2C = 2 +2cosAcosBcosC. （2）求证： cos2A + cos2B + cos2C = 12cosAcosBcosC. 9已知 a + b + c = abc. 求证：.)1)(1)(1(8121212222222cbaabcccbbaa10在ABC 中，若 cos3A + cos3B + cos3C = 1，求证： ABC 中必有一个内角为120. 11已知任意角x，y，z 满足关系式cosx +

7、cosycosz = 2sin2sin2cos4xzxzyyx，试求 x + y + z 的值 . 12锐角 ABC 中， O、G 分别为此三角形的外心和重心，若OG/AC ，求证： tanA、tanB、tanC 成 A、P. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 30 页 - - - - - - - - - 23 311 三角形中的边角关系1灵活应用正、余弦定理及三角公式进行边角转换；2三角形中三角函数求值，恒等式证明. 【典型例题】例 1在ABC 中， （

8、1）已知 sinA = cosBcosC，求证： tanC + tanB = 1；（2）求证：.112cos2cos2222babBaA（3）求证： a2 2ac cos(60+B) = b22bc cos(60+ A). 例 2在ABC 中，已知,tantantantancbaBABA求证： B、 A、C 成 A2 P. 例 3在ABC 中， A:B:C = 4:2:1，证明.111cba例 4在ABC 中，三边a、b、c 成 A2 P，且.742tanB试作一个以2tan,2tanCA为根的一元二次方程. 【基础训练】1在 ABC 中， c4 2(a2 + b2)c2 + a4 + a2b

9、2 + b4=0，则 C =_. 2在 ABC 中， sin2A + sin2B = 5sin2C，则角 C 的范围是 _. 3在 ABC 中， (a b)cot2cot)(2cot)(2BacAcbc_. 4在 ABC 中， C = 60，求证：.2cos2BAcba5在 ABC 中， a、b、c 三边成 A2 P，求证： B60. 【拓展练习】1在 ABC 中baba等于（）A)sin()sin(BABAB)tan()tan(BABAC2sin2sinBABAD2tan2tanBABA2在 ABC 中， AB = c，AC = b， A =，则角平分线AT 的长度等于（）A2cbBcos2

10、cbbcCbcD2cos2cbbc3锐角 ABC 中， sinA 和 cosB 的大小关系是（）AsinA = cosBBsinA cosB D不能确定4直角三角形三边成A2 P，则它的最小内角是_. 5RtABC 中， a、b、c 三边成 G2 P， c = 90，则 sinA = _. 6ABC 中三边成A2P，且最大角为120，若 a b c，则 a : b : c =_. 7ABC 中，若 (sinA + sinB + sinC)(sinA + sinBsinC) = 3sinAsinB，则 C =_. 8已知在 ABC 中， C = 2B，AB，求证： C2 = b(a + b ).

11、 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 30 页 - - - - - - - - - 24 9在 ABC 中，已知三边a、b、c 三边成 G2 P，求证： cos(AC)+cosB+cos2B=1. 10在ABC 中， A=60，求证：.1baccab11在 ABC 中，已知cotA，cotB，cotC 成 A2P，求证： a2，b2，c2成 AP. 12在ABC 中，.2sin2sin2sinCAB（1）求2tanA22tanC的值 . （2）求证： a +

12、 c = 3b. 13在ABC 中， tanA，tanB，tanC 成 A2P，且 f(tanC)=cos2A，求 f(x)的表达式 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 30 页 - - - - - - - - - 25 312 判断三角形的形状1三角形形状的判定方法：化边为角；化角为边. 2通过正弦、余弦定理实施边角转换. 3通过三角变换探索角的关系，符号规律. 【典型例题】例1在 ABC 中，满足2cotcotcot2sinsinsin222222C

13、BACBA试判断 ABC 的形状 . 例2在 ABC 中，已知)sin(sin)cos(tanBCABCB，试判断 ABC 的形状 . 例3在 ABC 中，BCCAtan2tan2tan2tan3且，求证： ABC 是锐角三角形. 例 4在ABC 中，满足.2tanbabaBA（ 1）试判断 ABC 的形状 . （2）当 a = 10，c =10 时，求2tanA的值 . 【基础训练】1在 ABC 中， sin2A + sin2B = sin2C，则 ABC 是 _. 2在 ABC 中， a4+b4+c4a2b2b2c2a2c2 = 0，则 ABC 是_. 3在 ABC 中， cos(AB)c

14、os(BC)cos(CA) = 1，则 ABC 是_. 4在 ABC 中， tanAtanB 1，则 ABC 是_. 5在 ABC 中， sin2A + sin2B + sin2C = 2，则 ABC 是_. 【拓展练习】1已知 tanA + tanB + tanC 0，则 ABC 是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D任意三角形2在 ABC 中，BAbatantan22，则 ABC 是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形3在 ABC 中，已知1312cossinAA，则 ABC 的形状是 _. 4在 ABC 中，已知cosBcosC = 2cos1A，则 ABC

15、的形状是 _. 5在 ABC 中，已知a cosA = b cosB，则 ABC 的形状是 _. 6在 ABC 中，已知sinAsinB+ sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB =2,则ABC 的形状是 _. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 30 页 - - - - - - - - - 26 7在 ABC 中，已知CcBbAacoscoscos，则 ABC 的形状是 _. 8在 ABC 中，已知BABACcoscossinsinsin，则

16、 ABC 的形状是 _. 9在 ABC 中，分别根据下列条件，判断三角形的形状. （1）2lgsinlglglgBca(B 为锐角 ). （2）sinA = 2cosCsinB. （3）A、B、C 成 A2P，a，b，c 成 G2P. （4）acosB + bcosC + ccosA = bcosA + ccosB + acosC. （5）.43sinsin,2333BAccbacba且（6）).sin()()sin()(2222BAbaBAba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

17、 - 第 26 页，共 30 页 - - - - - - - - - 27 313 解三角形1熟练掌握由三角形三个元素（至少有一边）求解三角形的其它元素方法；2三角形的有关定理：正、余弦定理；内角和定理；射影定理；3常用的三角形面积公式. 【典型例题】例1在 ABC 中，已知a = 5，b = 4，.,3231)cos(CBA求例2在 ABC 中，已知B = 45，外接圆半径bcbhcbhhR其中,23,2、hc分别为 b，c 边上的高，求三边. 例3锐角 A 的内部有一点P，过 P作直线交 A 边于 B、C，求当CPBP11达到最大时，直线BC 与 AP 所成的角 . 例4已知 ABC 的三

18、内角 ABC 依次成为A2P，又 tanA2 tanC = 2 +3，C 边上的高为34，求 a、b、c 的长 . 【基础训练】1在 RtABC 中， a、 b为直角边， c 为斜边，则c 的外接圆半径R =_，内切圆半径r =_，斜边上的高为 hc =_，斜边被垂足分成两线段之长为_. 2写出你记得的三角形面积计算公式：_. 3根据下列条件，判断三角形解的个数（1） a = 80， b = 100，A=30_ （2） a = 50， b = 100，A=30_ （3） a = 40， b = 100，A=30_ 4三角形的三边之比为3:5:7，则其最大角为（）A2B32C43D655ABC

19、中，若 AB = 1，BC = 2，则 C 的取值范围是_. 【拓展练习】1设xoypxoy是,60内的一点，它们两边的距离PM 和 PN 的长分别为11 和 2，则 OP 的长等于（）A13 B14 C15 D16 2三角形有一个角是60，夹在这个角的两边长分别为8 和 5，则它的内切圆面积为（）A3B6C12D33在 ABC 中， AB = 4，AC = 8，BC 边上的中线AD =3，则 BC 的长是（）A132B312C312D132名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

20、 第 27 页，共 30 页 - - - - - - - - - 28 4在 ABC 中，若 b = 2a，B = A + 60，则 A =_. 5在中， a，b，c 成 A2P，最大角是最小角的2 倍，则 a : b : c =_. 6钝角三角形的三边是三个连续的自然数，则它的三边之长为_. 7在 ABC 中，已知sinA : sinB : sinC = 4 : 5 : 6 ，则cosA : cosB : cosC =_. 8在 ABC 中，已知C = 4，A = 45， B = 60，求 a、b，R 和 SABC. 9在 ABC 中， b : a = 2 : 1，B = A + 60，求

21、A. 10在ABC 中， A = 60， C : b = 8 : 5，内切圆的面积为12，求 ABC 的外接圆半径. 11在等腰 ABC 中， |AB| = |AC|，BD 为底角 B 的平分线，且|BD| + |AD | = |BC|，求 ABC 的各内角的度数. 12AD、BE、CF 为ABC 的三条高， D、E、F 是垂足，若B = 45， C = 60求|DFDF的值 . 13某观测站C 在城 A 的南偏西20的方向（如图） ，由 A 出发的一条公路走向是南偏东40，在 C 处测得距C 是31 里的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20 公里之后，到达D 处，此时 C、D 的

22、距离为21 公里，问这个还要走多少路可到达A 城. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 30 页 - - - - - - - - - 29 314 三角最值问题1求三角函数最值的方法：利用三角函数的有界性；转化为二次函数；利用平均值定值；利用判别式法；利用函数的单调性；利用换元法. 2三角函数的最值问题中对参数讨论的方法. 3隐含条件在最值问题中讨论. 【典型例题】例1求函数xxycos2sin2的最大值和最小值. 例2在内切圆半径为 r（定值）的直角三角形

23、中，试证明等腰三角形的周长为最短. 例 3 已知抛物线y = x2xcos+ 2sin1(为参数 ), （1） 求此抛物线在x 轴上两截距的平方和与的函数关系f()；（2）求 f()的最小值和最大值. 例3已知 ABC 的三边 a、b、c 和面积 S满足关系式S = a2(bc)2，且 b + c = 8，求 ABC 面积最大值 . 【基础训练】1函数4,4sincos)(2在区间xxf上的最小值是 _. 2x =_时，函数)4sin()4sin(xxy的最大值为 _. 3已知 2 +=，求 y = cos6sin的最大值 _，最小值是 _. 4函数 f(x) = sinx + cosx 在区

24、间 0， 上的最大值是_，最小值是 _. 5已知x2 + y2 = 4，求 A = x2 + xy + y2的最大值和最小值. 【拓展练习】1在 ABC 中， C=2，则sin2A + 2sinB （）A有最大值无最小值B有最小值无最大值C有最大值也有最小值D无最小值也无最大值2Rt斜边的长 C（定值），则它的周长的最大值是（）AC)12(B2CCC22D3C3xxxycoscos3cos，则（）A最小值为 2，最大值为0B最小值为 4，最大值为0C无最小值，最大值为0 D最小值为4，最大值为0 4函数xxxxycossincossin的最大值是 _. 5设 R，r 分别为 Rt的外接圆半径和

25、内切圆半径，则R的最大值为 _. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 29 页，共 30 页 - - - - - - - - - 30 6已知 ABC 中， A = 30， BC = 4，则 AB + AC 的最大值为 _. 7函数)tan31(lgcosxxy的最大值是 _. 8已知 0 x2，a为实常数，求函数1sin2cos)(2xaxxf的最大值 . 9求函数y = (1 + cosx ) sinx 在区间 0， 内的最大值 . 10在ABC 中，若 A 和 AB

26、C 的面积 S为定值，求当2a2 + 3c2取得最小值时，b : c 之值 . 11设 tan，tan是关于 x 的方程023722mmxmx的两个实根，求tan (+)最小值 . 12在ABC 中，三边a，b，c 满足ABCPabBAc是,34coscos,10的内切圆上的动点，求点P 到三顶点 A、B、C 的距离的平方和的最小值. 13如图 A = 90 ， B = a，AH = h , a , h 为常数， AHBC 于 H， AHE =AHD = x，问当 x 取何值时， DEH的面积最大？并求出最大面积. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 30 页，共 30 页 - - - - - - - - -