2022年第二章 .pdf

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1、资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档第二章数列极限P.27 习题2按N定义证明：（1）11limnnn证明因为nnnn11111，所以0，取1N，Nn，必有nnn111. 故11limnnn（2）23123lim22nnnn证明因为nnnnnnnnnnnnn32525) 1(232)12(23223123222222) 1(n，于是0，取3, 1maxN，Nn，有nnnn32312322. 所以23123lim22nnnn（3）0!limnnnn证明因为nnnnnnnnnnnnnnnn11211)1(!0!，于是0，取1N，Nn，必有nnnn10!. 所以0!limnnnn（4）0

2、sinlimnn证明因为nnnsin0sin，于是0，取N，Nn，必有nn0sin. 所以0sinlimnn（5）)1(0limaannn证明因为1a，设)0(1hha，于是222)1(2)1(1)1 (hnnhhnnnhhannn，从而22)1(22) 1(0hnhnnnanannn，所以0，取122hN，Nn，有2)1(20hnann. 故0limnnan名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵

3、权请联系网站删除谢谢精品文档3根据例2，例 4 和例 5 的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：（1）nn1lim； （2）nn3lim； （3）31limnn（4）nn31lim； （5）nn21lim； （6）nn10lim； （7）nn21lim解（1）01lim1lim21nnnn（用例 2 的结果，21a） ，无穷小数列 . （2）13limnn， （用例 5 的结果，3a）（3）01lim3nn， （用例 2的结果，3a） ，无穷小数列 . （4）031lim31limnnnn， （用例 4的结果，31q） ，无穷小数列. （5）021lim21limnnnn， （用例 4的

4、结果，21q） ，无穷小数列. （6）110limnn， （用例 5 的结果，10a）. （7）121lim21limnnnn, （用例 5 的结果，21a）. 4证明：若aannlim，则对任一正整数 k ，有aaknklim证明因为aannlim，所以| ,0,0aaNnNn，于是，当Nk时，必有Nkn，从而有|aakn，因此aaknklim. 5试用定义1 证明：（1）数列n1不以 1 为极限；（2）数列)1(nn发散 . 证明（用定义1 证明）数列na不以a为极限（即aannlim）的定义是：00，0N，Nn0，0|0aan（1）取210，0N，取NNn20，有0021)1(21211

5、2111NNNNNn，故数列n1不以 1 为极限 . 另证 （用定义1证明）取210，则数列n1中满足2n的项（有无穷多个）显然都落在1 的邻域)23,21(); 1 (0U之外，故数列n1不以 1 为极限 . （2） 数列)1(nn=,6,51, 4,31,2, 1， 对任何Ra， 取10， 则数列)1(nn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档中 所 有 满 足 “

6、n为 偶 数 ， 且1an” 的 项 （ 有 无 穷 多 个 ） ， 都 落 在a的 邻 域) 1, 1();(0aaaU之外，故数列)1(nn不以任何数a为极限，即数列)1(nn发散. 6证明定理2.1 ，并应用它证明数列nn) 1(1的极限是1. 定理 2.1 数列na收敛于a充要条件是：aan为无穷小数列 . （即aannlim的充要条件是0)(limaann）证明（必要性）设aannlim，由数列极限的定义，, 0,0NNn，有|0)(|aaaann，所以0)(limaann. （充分性）设0)(limaann，由数列极限的定义，, 0,0NNn，有|0)(|aaaann，所以aann

7、lim. 下面证明：数列nn) 1(1的极限是1. 因为nnnn) 1(1) 1(1是无穷小数列，所以数列nn) 1(1的极限是 1. 7证明：若aannlim，则|limaann. 当且仅当a为何值时反之也成立？证 明设aannlim， 由 数 列 极 限 的 定 义 ，,0,0NNn，|aaaann，所以也有|limaann. 但此结论反之不一定成立，例如数列)1(n. 当且仅当a = 0 时反之也成立. 设0|limnna，于是, 0,0NNn，|nnaa，所以aannlim. 8按N定义证明：（1）0)1(limnnn； （2）0321lim3nnn（3）1limnna，其中为奇数为偶

8、数nnnnnnnan2,1证明（1）因为nnnnn111|1|. 于是0，取21N，Nn，必有nnn1|1|，从而0)1(limnnn. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档（ 2 ） 因 为nnnnnnnnnnn12212)1(3212233， 于 是0， 取1N，Nn，必有nnn103213，所以0321lim3nnn（3）因为当 n 为偶数时，nnnan111|

9、1|当n为奇数时，nnnnnnnnnnnan111|1|222，故不管n为偶数还是奇数，都有nan1|1|. 于是0，取1N，Nn，必有nan1|1|，所以1limnna. P.33 习题1求下列极限： 根据 P.24 例 2 01limann，0a，可得4131241131lim32413lim323323nnnnnnnnnn0)21(lim21lim22nnnnnn根据 P.25 例 4 0limnnq，1| q，可得313)32(31)32(lim3)2(3)2(lim111nnnnnnnn211111limlim)(lim22nnnnnnnnnnn这是因为由P.29 例 1 若aann

10、lim，则aannlim. 于是由1)11(limnn，得1111limnn. 10)1021(limnnnn，因为1limnna（0a）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档23113113121121121lim313131212121lim22nnnnnn2设aannlim，bbnnlim，且ba. 证明：存在正数N，使得当Nn时，有nnba. 证明由ba， 有b

11、baa2. 因为2limbaaann， 由 P.24 保号性定理2.4 ，存在01N，使得当1Nn时有2baan. 又因为2limbabbnn，所以，又存在02N，使得当2Nn时有2babn. 于是取,max21NNN，当Nn时，有nnbbaa2. 3设na为无穷小数列，nb为有界数列，证明：nnba为无穷小数列. 证明因为nb为有界数列， 所以存在0M， 使得,2, 1,|nMbn. 由na为无 穷 小 数 列 ， 知,0,0NNn，Man|. 从 而 当Nn时 ， 有MMbabannnn|，所以0limnnnba，即nnba为无穷小数列 . 4求下列极限（1）1111lim11131212

12、111lim)1(1321211limnnnnnnnn（2）因为nnnn212112181412128422222222，而)(12221121nnnn，于是12lim21nn，从而222lim2222lim21284nnnn（3）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档32323lim23221229272725253lim2122321lim13222nnnnnnnn

13、nnn（4）当2n时，11121n，nnnn11121，而11lim21limnnnn，所以111limnnn. （5）因为)(,0111)2(1)1(11022222nnnnnnnn，所以0)2(1) 1(11lim222nnnn（6）因为1112111222222nnnnnnnnnnn，且1111limlim2nnnnnn，所以112111lim222nnnnn5设na与nb中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明nnba是发散数列 . 又问nnba和)0(nnnbba是否必为发散数列. 证明（用反证法证明） 不妨设na是收敛数列，nb是发散数列 . 假设数列nnba收敛， 则nnnnab

14、ab)(收敛， 这与nb是发散数列矛盾，所以，数列nnba发散 . 同理可得数列nnba发散. nnba和)0(nnnbba不一定是发散数列. 例如，若na是无穷小数列，nb是有界的发散数列 . 则nnba和)0(nnnbba是无穷小数列，当然收敛. 但是，有下列结果： 如果0limaann，nb是发散数列， 则nnba和)0(nnnaab一定是发散数列. 6证明以下数列发散：（1）1)1(nnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - -

15、 - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档证明设1)1(nnann， 则)(, 11222nnnan， 而121212nnan，由 P.33 ，定理 2.8 知1)1(nnn发散 . （2）nn)1(证明nn)1(的偶数项组成的数列nan22，发散，所以nn)1(发散 . （3）4cosn证明设4cosnan，则子列)(, 118nan，子列)(,1148nan，故4cosn发散 . 7判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）：（1）若12ka和2ka都收敛，则na收敛 . 解结论不一定成立. 例如，设nna)1(，则12ka，112ka都收敛，但n

16、na)1(发散 . 注若12ka和2ka都收敛，且极限相等（即kkkkaa212limlim） ，则na收敛 . （2）若23ka，13ka和3ka都收敛，且有相同的极限，则na收敛 . 证明设aaaakkkkkk31323limlimlim，则由数列极限的定义，知0，01K，1Kk，|23aak；同样也有02K，2Kk，|13aak；03K，3Kk，|3aak. 取3,3,3max321KKKN，当Nn时，对任意的自然数n，若23kn，则必有1Kk，从而|aan；同样若13kn，则必有2Kk，从而也有|aan；若kn3，则必有3Kk，从而|aan. 所以aanklim，即na收敛. 8求下列

17、极限：（1）nnk2124321lim解因为nn2126543210121)12)(12(12)12)(32(32755533311nnnnnnn而0121limnk，所以02124321limnnk另解因为12254322124321nnnn，设nnSn2124321，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档1225432nnTn，则nnTS. 于是121nSTSSnn

18、nn，所以121nSn. （2） 答案见教材P.312 提示 . （3）10,) 1(limnnk解 1)11( 1)11()1(0nnnnnn)(, 011nnnn所以，0) 1(limnnk另解因为01，所以11)1(nn，于是11) 1()1(nnnnn，从而)(,0)1(01nnnn. （4） 答案见教材P.312 提示 . 9设maaa,21为m个正数，证明：,max lim2121mnnnnnnaaaaaa证明因为,max,max212121mnnnnnnmaaanaaaaaa而1limnnn，所以,max lim2121mnnnnnnaaaaaa10设aannlim，证明：（1）

19、annannlim；（2）若0,0naa，则1limnnna. 证 明（ 1） 因 为1nnnnanana， 所 以nnnannanna1. 由 于anannannnn1lim1lim，且aannlim，从而annannlim. （2）因为0limaann，由P.29 定理2.4 ，存在0N，使得当Nn时，有aaan232. 于 是nnnnaaa232， 并 且123lim2limnnnnaa， 所 以1limnnna. P.38 习题1利用ennn11lim求下列极限：（1）ennnnnnnnnnn11111111lim1lim11lim1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

20、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档（2）ennnnnnn1111lim11lim1（3）ennnnnnn111111lim111lim1（4）ennnnnnnnn2212211lim211lim211lim注：此题的求解用到事实（P.29例 1） ：若aannlim，且,2, 1,0 nan，则aannlim. （5）nnn211lim解因为数列nn11单调增加，且有上界 3 ，于是)(,1311111222nnnn

21、nnn，所以111lim2nnn2试问下面的解题方法是否正确：求nn2lim解不正确 . 因为极限nn2lim是否存在还不知道（事实上极限nn2lim不存在），所以设ann2lim是错误的 . 3证明下列数列极限存在并求其值：（1）设, 2, 1,2,211naaann证 明先 证 数 列na的 有 界 性 ， 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： 2 是na的 一 个 上 界 . 221a，假设2na，则22221nnaa，所以na有上界 2. 其次证明na单调增加 . 02)2(21nnnnnnnnaaaaaaaa，所以nnaa1，即na单调增加 . 从而na极限存在，设aannlim，在n

22、naa221的两端取极限，得aa22，解之得a = 0 (舍去) 和 2 ，所以2limnna. 注：na的单调增加也可以如下证明：122221nnnnnaaaaa，所以nnaa1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档还可以如下得到：121214121214121122nnaannn（2）设, 2, 1,),0(11nacaccann证明先证数列na的有界性，用数学

23、归纳法证明：na的一个上界是 1 + c . cca11，假设can1，则ccccacann1121221，所以na有上界 1 + c. 其次证明na单调增加（用数学归纳法证明）. 21accca，假设nnaa1，于是nnacac1，从而nnacac1，即1nnaa. 故na单调增加 . 所以na极限存在，设aannlim，在nnaca21的两端取极限，得aca2，解之得2411ca. 由于an 0 ，所以a 0 . 故2limnna. （3）,2,1),0(!ncncann证明先证na从某一项以后单调减少. 取自然数N使得N c，于是当Nn时，nnnnnnaaNcancncncnca11!1

24、)!1(11，即从第N项开始na单调减少 . 由于na的各项都大于零，所以na有下界 0. 从而na极限存在 . 设aannlim，在nnanca11的两端取极限，得aa0，故0a，即0limnna. 4利用nn11为递增数列的结论，证明nn111为递增数列 . 证明设nnnnnna12111，要证：,3,2,1naann，即因为nn11为递增数列，所以有111111nnnn，即1121nnnnnn，于是nnnnnnannnnnnnnnnnnnna12112121121111. 其中用到事实：1) 1()2(1122nnnnnnn. 5应用柯西收敛准则，证明以下数列na收敛：名师资料总结 -

25、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档（1）nnna2sin22sin21sin2证明不妨设mn，则有nmmmnnmmaa2sin2)2sin(2)1sin(|21nmmnmmnmm2121212sin2)2sin(2)1sin(2121mnmnmmnm21212112121211211111mmm1212211所以，0，取1N，Nmn,，有|mnaa，由柯西收敛准则，na收敛 . （

26、2）222131211nan证明不妨设mn，则有2221)2(1) 1(1|nmmaamnnnmmmm) 1(1)2)(1(1) 1(1mnmnnmmmm1111112111111所以，0，取1N，Nmn,，有|mnaa，由柯西收敛准则，na收敛 . 6证明：若单调数列na含有一个收敛子列，则na收敛 . 证明不妨设na是单调增加数列，kna是其收敛子列. 于是kna有界，即存在0M， 使 得,2, 1, kMakn. 对 单 调 增 加 数 列na中 的 任 一 项ma必 有Maakmm，即na单调增加有上界，从而收敛. 7证明：若0na，且1lim1laannn，则0limnna证明因为1

27、lim1laannn，所以存在r使得1lim1rlaannn. 于是由数列极限的 保号 性定理（ P.29 ） ， 存在0N， 当Nn时 ，raann1，1nnraa. 从而 有nNnNNNararraa13221， 因此，)(, 0011nraaNnNn， 故0limnna. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档8证明：若na为递增有界数列，则suplimnnna

28、a；若na为递减有界数列，则inflimnnnaa. 又问逆命题成立否？证明证明过程参考教材P.35，定理 2.9 （单调有界定理）. 逆命题不一定成立. 例如数列为偶数为奇数nnnan111，1suplimnnnaa， 但na不单调 . 9利用不等式0),()1(11ababanabnnn，证明：111nn为递减数列，并由此推出nn11为有界数列 . 证明设111nnna，由不等式)()1(11abanabnnn，有1111nnnnnnabanabnaab，于是banabnabnnnn11，bnaanabnnnn1. 在上式中令1111,111nnnbnnna，ab，得nnnnnna1111

29、1nnnnnnnnnnnnnnn11111nnnnannnnnnn11111即nnaa1，故111nn为递减数列 . 而4111111111nnnn，所以nn11为有界数列 . 10证明：nnen3)11 (证由上题知111nn为递减数列，于是对任何nm有，111111mnnn，令m，取极限得，enn 111又因为nnnnnnnnnn113111111111名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵

30、权请联系网站删除谢谢精品文档由、得nnnnne113111，从而nnenenn3)11()11 (11给定两正数a1与b1 ( a1 b1 ) ，作出其等差中项2112baa与等比中项112bab，一般地令21nnnbaa，,2, 1,1nbabnnn证明：nnalim与nnblim皆存在且相等 . 证明因为11ba，所以有nnnnnnaaabaa221，即na单调减少 . 同样可得nb单调增加 . 于是有11112bbbabaaannnnnn，即na单调减少有下界，nb单调增加有上界，故nnalim与nnblim皆存在 . 在nnnbaa12的两端取极限，可得nnnnbalimlim12设n

31、a为有界数列，记,sup1nnnaaa，,inf1nnnaaa证明：对任何正整数n，nnaa；na为递减有界数列，na为递增有界数列， 且对任何正整数n，m有mnaa； 设a和a分别是na和na的极限，则aa；na收敛的充要条件是aa证 对任何正整数n，nnnnnnnaaaaaaa,inf,sup11 因为1211,sup,supnnnnnnaaaaaa，,2, 1n， 所以na为递减有界数列. 由1211,inf,infnnnnnnaaaaaa，知na为递增有界数列. 对任何正整数n，m，因为na为递减有界数列，na为递增有界数列，所以有mmnmnnaaaa. 因为对任何正整数n，m有mna

32、a，令n得，mnnaaalim，即maa，令m得aaammlim，故aa. 设na收敛，aannlim. 则0，0N，Nn，|aan，aaan. 于 是 有aaan， 从 而aaannl i m. 同 理 可 得aaannlim，所以aa反之，设aa. 由aannlim，aaannlim，得0，0N，Nn，有aaan及aaan，从而名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文

33、档aaaaannnP.40 总练习题1求下列数列的极限：（1）nnnn3lim3解当3n时，有nn33，于是)(, 323323333nnnnnnnnn，所以33lim3nnnn（2）nnen5lim解设he1，则当6n时，62! 6)5() 1(! 2)1(1)1(hnnnhhnnnhhennn，于是)( ,0)5)(4)(3)(2)(1(! 60655nhnnnnnnnenn，所以0lim5nnen解法 2用 P.39 习题 7 的结论 . 设nnena5，1) 1(limlim5151eneenaannnnnn，从而0limlim5nnnnaen. 解法 3用 P.27 习题 2的结果0

34、)(limlim5515nnnnenen解 法4用 单 调 有 界 定 理 . 令nnena5， 则51)11(1neaann. 因 为enn1)11(lim5，所以存在0N，当Nn时，en5)11(，从而当Nn时，1)11 (151neaann. 于是从Nn起数列na递减，且有下界0，因此na收敛 . 设aannlim，在等式nnanea51)11(1的两端取极限，得aea1，所以0a. （3）)122(limnnnn解)1()12(lim)122(limnnnnnnnnn011121limnnnnn2证明：（1）)1|(|0lim2qqnnn证明当0q时，结论成立 . 名师资料总结 - -

35、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档当1|0q时，有1|1q，令0,1|1hhq，于是有nnhq)1(1，而由牛顿二项式定理，当3n时有3! 3)2)(1()1(hnnnhn，从而)(0! 3)2)(1()1(03222nhnnnnhnqnnn，所以0lim2nnqn另解用 P.27 习题 2的结果0)(sgn)|1(limlim22nnnnnqqnqn（2）)1(,0lglimnnn

36、证明因为0,lgxxx，于是)(, 022lg2lg021nnnnnnnn，所以0lglimnnn. （3）0!1limnnn证明先证明不等式：nnn3!. 用数学归纳法证明，当1n时，显然不等式成立；假设nnn3!成立，当n + 1 时nnnnnnnnnnnn131) 1(3)1(!) 1()!1(113111331nnnnnn故不等式nnn3!成立 . 由此可得)(, 03!10nnnn，所以0!1limnnn另解用数学归纳法证明不等式：nnn!3设aannlim，证明：（1）anaaann21lim（又问由此等式能否反过来推出aannlim）证明因为aannlim，于是有11,0, 0N

37、nN，2|aan. 从而当1Nn时，有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档nnaaaaanaaann212122|12121111nAnNnnAnaaaaaanaaaaaanNNN其 中|121aaaaaaAN是一个 定数 . 再 由0limnAn， 知存在02N，使得当2Nn时，2nA. 因此取,max21NNN，当Nn时，有22221nAanaaan. 反过来不

38、一定成立. 例如nna) 1(不收敛，但0lim21naaann. 练习： 设nnalim，证明：naaann21lim(2) 若),2,1(0 nan，则aaaannn21lim证明先证算术平均值几何平均值调和平均值不等式：naaaaaaaaannnnn212121111算术平均值几何平均值不等式：naaaaaannn2121对任何非负实数1a，2a有2)(212121aaaa，其中等号当且仅当21aa时成立 . 由此推出，对4 个非负实数1a，2a，3a，4a有2143212121432121414321)22()()()(aaaaaaaaaaaa422243214321aaaaaaaa按

39、此方法继续下去，可推出不等式naaaaaannn2121对一切kn2（,2, 1, 0k）都成立，为证其对一切正整数n都成立，下面采用所谓的反向归纳法，即证明：若不等式对某个)2(n成立，则它对1n也成立 . 设非负实数121,naaa，令)(11121nnaaana，则有)1(1)1()(12112111211121naaaaaannaaaaaannnnnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有

40、侵权请联系网站删除谢谢精品文档整理后得)(11)(12111121nnnaaanaaa，即不等式对1n成立，从而对一切正整数n都成立 . 几何平均值调和平均值不等式nnnaaaaaan2121111的证明，可令iixy1，再对iy（ni,2, 1）应用平均值不等式. 由),2, 1(0 nan，知0limaann. 若0a，则aann11lim. 由上一小题的结论，有)(,111212121nanaaaaaaaaannnnn而aanaaaaaannnnn111111lim111lim2121，所以aaaannn21lim. 若0a，即0limnna，则11, 0,0NnN，na. 从而当1Nn

41、时，有nNnnNnnNNnnaaaaaaaaaaa11112112121nnNNnNnnNAaaaaaa11112121其中1121NNaaaA，是定数，故21limnnA，于是存在02N，使得当2Nn时，2nA. 因此取,max21NNN，当Nn时，有221nnnAaaa，故0lim21nnnaaa4应用上题的结论证明下列各题：（1）0131211limnnn证明令nan1，则01limlimnannn，所以0131211limnnn. （2）)0(1limaann证明令aa1，, 3,2, 1 nan，则1limnna，从而1limlimlim21nnnnnnnaaaaa名师资料总结 -

42、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档（3）1limnnn证明令11a，, 3,2,1nnnan，则1limnna，于是1limlim13423121limlim21nnnnnnnnnaaaannn. （4）0!1limnnn证明令,2, 1,1nnan，则0limnna，所以01lim1211lim3211lim!1limnnnnnnnnnnn（5）ennnn!lim证明令,3, 2

43、,111111nnnnannn，则eannlim，所以ennnnnnnnnnnnnnnnnn114321lim14534232lim!lim!lim另证令,2, 1,!nnnann，则enaannnnn11111limlim. 于是eaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnn112312limlimlim!lim. （6）1321lim3nnnn证明因为1limnnn，所以1lim321lim3nnnnnnn（7）若)0(lim1nnnnbabb，则abnnnlim证明nnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbbbbbbb112312112312limlimlimlimabbnnn1l

44、im1（8）若daannn)(lim1，则dnannlim证明设10anaaaaaananannnnn)()()(limlim112010名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档daanaaaaaanannnnnnn)(lim0)()()(limlim11120105 证明：若na为递增数列，nb为递减数列， 且0)(limnnnba， 则nnalim与nnblim都存

45、在且相等 . 证 明因 为0)(limnnnba， 所 以nnba有 界 ， 于 是 存 在0M， 使 得MbaMnn. 从而有1bMbMann，MaMabnn1，因此na为 递 增 有 上 界 数 列 ，nb为 递 减 有 下 界 数 列 ， 故nnalim与nnblim都 存 在 . 又 因 为0)(limlimlimnnnnnnnbaba，所以nnnnbalimlim. 6设数列na满足：存在正数M，对一切n有MaaaaaaAnnn|12312证明：数列na与nA都收敛 . 证明数列nA单调增加有界，故收敛. 由柯西收敛准则，0, 0N，当Nnm时，|nmAA. 于是nmnnmmmmnm

46、AAaaaaaaaa|1211所以由柯西收敛准则，知数列na收敛 . 7设aaaa21,0,01，nnnaaa211, ,2, 1n，证明：数列na收敛，且其极限为证 明因 为nnnnnaaaaa211， 故 数 列na有 下 界. 112112121nnnaaa，于是nnaa1，即数列na单调减少， 从而数列na收敛 . 设Aannlim，由nnnaaa211，得212nnnaaa，两端取极限得，222AA，解得A，所以nnalim. 8设011ba，记211nnnbaa，11112nnnnnbabab，,3,2n. 证明：数列na与nb的极限都存在且等于11ba. 证因为111121111

47、212111112)(2nnnnnnnnnnnnnnnbabababababababnnnnnnnnnbbabababa111111112，所以nnnnabab211，, 3,2n数列na是递减的：nnnnnnaaabaa221，,2, 1n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档数列na有下界：0211nnnbaa，,2, 1n， 所以na收敛，设aannlim. 数

48、列nb是递增的：11111111122nnnnnnnnnnbaabababab，, 3,2n数列nb有上界：1aabnn，,2, 1n，所以nb收敛，设bbnnlim. 令n在211nnnbaa的两端取极限，得ba. 211nnnbaa与11112nnnnnbabab两端分别相乘，得11nnnnbaba，, 3,2n所以有11babann，, 3,2n，令n取极限得11baab，从而11baa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -