2022年相似三角形判定的应用 .pdf

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1、1 27.2.7 相似三角形判定的应用教学内容：相似三角形判定的应用重点、难点重点：掌握相似三角形的判定方法。难点：灵活运用相似三角形的判定方法解决有关问题。教学过程（一）复习1. 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。2. 注意：（1）定义中对应角相等，对应边成比例，是指3 组对应角分别相等，三组对应边成比例。（2）ABCA B C读作ABC相似于A B C，与全等三角形一样，表示对应顶点的字母应写在对应位置上。（3）所谓相似三角形是指两个三角形形状一样，大小不一定一样。（4）相似三角形定义本身揭示了相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。（5）相

2、似比带有顺序性，如ABCA B C的相似比为ABA BBCB CCAC Ak反过来A B CABC的相似比为A BABB CBCC ACAk1（6）全等三角形是相似比为1 的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。（二）三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的三角形相似。如图，若AA，BBCCABA BBCB CCAC A，ABCBCA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2 则ABCA B C

3、。与三个角对应相等， 三条边对应相等， 两个三角形全等类似， 定义法在计算和证明中一般用得较少。（2）三角形相似的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线） 相交，所构成的三角形与原三角形相似。推理格式：如图DEBCADEABC/ /，图 2 （3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。推理格式：如图，AABB，ABCA B C。简单地说：两角对应相等，两三角形相似。（4）判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。推理格式：如图，ABA BACA C，且AAABC

4、A B C可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似。（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。推理格式：如图 5，ABA BACA CCBC B，ABCA B C简单地说：三边对应成比例， 则两三角形BACDEABCBCAABCBCAABCBCA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3 相似。（6）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条

5、直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。推理格式：如图 6 在Rt ABC和Rt A B C中，CCABA BACA C90 ，ABCA B C推论：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似（如图）。说明：灵活运用相似三角形的判定方法解决相关问题，其关键是确定相似三角形，通常按下列思路来分析：1. 有平行线（有时要构造平行线）时，可选择平行法判定三角形相似。2. 若已经有一组角相等， 可再找另一组角相等， 运用判定定理 1；或再证明夹这组角的两边对应成比例，运用判定定理2。3. 若已知两条对应边成比例，可找夹角相等，运用判定定理2。4.

6、若是两个直角三角形， 可找一对锐角相等或夹直角的两直角边对应成比例，或应用斜边、直角边对应成比例来判定相似。5. 利 用 相 似 三 角 形 的 传 递 性 证 相 似 ， 如 ： 若ABCA B C111、A B CA B C111222，则ABCA B C222。6. 注意：仅两边成比例，一对角相等的三角形不一定相似。【典型例题】例 1. 如图 8，四边形 ABCD 的对角线相交于点O，BACCDB。求证：DACCBD。分析：欲证DACCBD，可寻求它们所在的三角形OAD与OBC相似，ACBCBACADBCBADO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

7、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4 而AODBOC，故只需证AOBODOCO，由已知可得AOBDOC，从而有AOBODOCO成立。证明：A O BDOCBACCDB，A O BDOCAOBODOCO，A O DB O CA O DB O CD A CC B D，说明： 由于相似三角形的对应角相等，所以经常运用此法证明角的相等。例 2. 如图 9，平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 延长线上一点，连结 DE，交 AC 于 G，交 BC 于 F，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（

8、）对。A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 分析：找相似形一找平行线、二找角相等、三找线段成比例，本题只能从前两方面入手。解：AEDCAEGCDGDFCEBF/ /，BCADBFEADEFCGDAG/ /，BEFAEDBEFCDF，AEDCDF共有 5 对，选 B。例 3. 已知：如图 10，ABCCDB90 ，ACaBCb，（ 1 ） 当BD与a、 b 之 间 满 足 怎 样 的 关 系 时 ，ABCCDB？（ 2 ） 当BD与a、 b 之 间 满 足 怎 样 的 关 系 时 ，ABCBDC？（3）当 BD 与 a，b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？ADBCEFGABDCab名师

9、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5 解：（1）ABCCDB90当ACBCBCBD时，ABCCDB即abbBD时，ABCCDBBDba，2故当BDba2时，ABCCDB（2）ABCCDB90，当ABBDACBC时，ABCBDC即abBDab22时，ABCBDCBDbaab22当BDb aba22时，ABCBDC（3）综合（ 1），（ 2）可知：当BDba2或BDbaab22时这两个三角形相似。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -