2022年线性空间练习题分享 .pdf

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1、1 第 9 章 欧氏空间练习题一、填空题1设A是 3 阶方阵，若TTx), 2, 1 (,) 1, 1 , 2(分别为TAA的属于特征值1和 4 的特征向量，则x2. 已知二次型323121232221321444)(),(xxxxxxxxxaxxxf经过正交变换Pyx化为216y，则a3. 设R是实数域，二维平面2R上双线性函数12212121),(),(yxyxyyxxf，则f在基向量组)3 , 1(),1 , 1 (21下的度量矩阵A= 4设V是欧氏空间，基向量组321,的度量矩阵524212425A，若V中向量3221,，则,的内积),(= 二、选择题1.设二次型)0(2),(22ac

2、ybxyaxzyxf， 若1),(zyxf表示椭圆柱面， 则 （） (A) acb42(B) acb42(C) acb2(D) acb22.*|1,()AAA设为正交矩阵，且则TT(A)?(B) (C)? (D)AAAA3. n阶实对称矩阵A和B相似的充分必要条件是（） (A) A与B都有n个线性无关的特征向量；(B) )()(BrAr；(C) A和B的主对角线上的元素的和相等；(D) A与B的n个特征值都相等4. 下列矩阵中不一定可逆的是（） （A）正交矩阵（B）正定矩阵（C）伴随矩阵（D）初等矩阵5设A是 4 阶实对称矩阵，0 是 3 重特征值，则齐次线性方程组0AX的基础解系含（）个解向

3、量(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 2 三、解答题1设齐次线性方程组0335043243214321xxxxxxxx的解空间是V，在欧氏空间4R（标准内积）中，给出V的一组基，V的正交补空间V的一组标准正交基2. 已 知A为 三 阶 实 对 称 矩 阵 ，2)(Ar,0112,1122是A对 应 于 特 征 值621的特征向量，试求： （ 1）A的另一个特征值3及其特

4、征向量； （2） 矩阵A3设7137341024A，试给出矩阵A的Jordan标准形矩阵J和有理标准形矩阵F4. 已 知 实 二 次 型),(321xxxf=)0(233232232221xxxxx经 过 正 交 变 换QYX, 化为标准形23222152yyy, 求实参数及正交矩阵Q5.设3解 矩 阵A的 各 行 元 素 之 和 均 为0 ， 线 性 无 关 的3维 列 向 量,满 足3,3AA。（1）证明：矩阵A 与对角形矩阵相似；（2）如果(0, 1,1) ,(1,0, 1)TT，求矩阵 A；（3）求正交变换XQY化二次型()Tf XX AX为标准型。6设321,是维欧氏空间V的向量组

5、, 321,为V的向量组，满足：)22(313211，)22(313212，)22(313213（1） 若321,线性无关，证明321,是欧氏空间V的一组基；（2） 若321,是欧氏空间V的一组标准正交基，证明321,也是欧氏空间V的一组标准正交基名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 3 参考答案一、填空题1 4 2. 2 3. 6442A43二、选择题1. C 2. B 3. D4.C 5 D 三、解答题1 （）TT

6、)1 , 0, 1, 2(,)0 , 1 , 0, 3(21（答案不唯一）（）TT)1 , 0, 1 ,0(21,)0,3 ,0 , 1(10121（答案不唯一）2. （1）Tk)1 ,1 ,1(； （2）4222422240000600061PPA3,210021002J6101201800F4. 由2, 0,)9(2|3212得A，对应的线性无关的特征向量1101，0012，1103，正交变换X = QY 中的正交矩阵Q=101101020215. （1）证明：矩阵A 有特征值0,3,3； （2）矩阵121211112A；（3）特征向量123(1,1,1) ,(1 , 1,0) ,( 1, 1,2)TTT。2212111326111,3332612036Qfyy（双曲柱面）6 （321,）（321,）A， （）A可逆；（）A正交名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -