2022年相似矩阵的性质及应用参考 .pdf

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1、华 北 水 利 水 电 大 学相似矩阵的性质及应用课程名 称：线性代数专业班 级：成员组 成：联系方式：2013 年 11 月 6 日名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 摘要：若矩阵 P可逆, 则矩阵 P-1AP与 A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的， 其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化， 而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标

2、准型来解决。相似矩阵有很多应用。 例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系； 矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题, 在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。关键词：相似矩阵；对角化； Jordan 标准型；特征向量；特征值英文题目 ：The properties and application of similar matrix Abstract :There are a lot of applications about similar matri

3、x. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can

4、 only use a definition or if and when the standard to solve.For example, we can discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also

5、 we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into.In this paper I will give out some corresponding prope

6、rties of similar matrices and show their appliance. Key words:similar matrices; diagonal matrix; Jordan s normal form; characteristic value; characteristic vector名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 引言：矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学

7、中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中， 往往将这两个问题紧凑的联系在一起。由于矩阵相似的应用范围相当广泛。 本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究， 也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。1. 矩阵相似的定义与基本性质1.1 矩阵相似的定义设 A,B 是 n 阶方阵 ,如果存在可逆阵 P 使得 P-1AP=B,则称矩阵 A 与 B 相似. 若矩阵A 相似于对角阵,则称A 可相似对角化,即存在可逆阵P 使),(2, 11ndiagAPP,n,1为 A 的 n

8、个特征值 . 令nmCS为非奇异矩阵，考察矩阵nmCA的线性变换ASSB1令线性变换 B 的特征值为，对应的特征向量为y，即yBy将式ASSB1代入上式，即有yASyS1或)()(SySyA令Syx或xSy1，则式)()(SySyA可以写作xAx比较yBy和xAx两式可知，矩阵A 和ASSB1具有相同的特征值，并且矩阵 B 的特征向量y是矩阵 A的特征向量 x的线性变换，即xSy1。由于矩阵 A和ASSB1的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩阵“相似”。于是：设A、 B 都是n阶方阵，若有可逆方阵S，使BASS1，则称 B 是A的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

9、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 相似矩阵。或者说矩阵A与 B 相似。对 A进行运算App1称为对 A进行相似变换。可逆矩阵 P 称为把 A变成 B 的相似变换阵。1.2 矩阵相似的一些基本性质：自反性：AA 。对称性：BA 则AB 。传递性：BA 及CB 可得：CA 。如果n阶矩阵 A,B 相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立。相似矩阵另外的一些特性：1)相似矩阵有相同的秩。2)相似矩阵的行列式相等。3)相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，

10、它们的逆也相似。4)BA 则kkBA，Nk、TTBA、11 BA（若 A， B均可逆） 、BEAE从而 A， B 有相同的特征值。5).若 A 与 B 都可对角化 ,则 A 与 B 相似的充分条件是A 与 B 由相同的特征多项式 . 6). A 的属于同一特征值i的特征向量的线形组合只要不是零向量, 仍是对应i的特征向量 . 7). A 的属于不同特征值的特征向量线形无关. 8). 实对称矩阵 A 的特征值都是实数 ,属于不同特征值的特征向量正交. 9). 若是实对称矩阵 A 的 r 重特征值 ,则 A 对应特征值恰有 r 个线性无关的特征向量 . 10).任何一个 n 阶复矩阵 A 都与一个

11、 Jordan形矩阵 J 相似. 11).对 n 阶方阵 A，以下三条等价 : A 可对角化 ; A 有 n 个特征值（重根按重数计） ，且r（1）重特征值; A 有 n 个线性无关的特征向量 . 12).对角化的基本方法有如下两种:特征值法 ,特征向量法 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 1.3 相似矩阵与若尔当标准形虽然非单纯矩阵不能相似于对角阵， 但它能够相似于一个形式上比对角矩阵稍微复杂的若尔当标准形

12、J 。 由于若尔当标准形的独特结构揭示了两个矩阵相似的本质关系， 故在数值计算和理论推导中经常采用。利用它不仅容易求出矩阵A的乘幂，还可以讨论矩阵函数和矩阵级数，求解矩阵微分方程。定义：形如111iiiiiiimmJOO的方阵称为im阶若尔当块。其中i可以是实数，也可以是复数。定理：矩阵AB的充要条件是他们相应的特征矩阵IAIB;。每个n阶复矩阵 A都与一个若尔当标准形J 相似，且这个若尔当标准形在不计其中若尔当块的排列次序时，完全有矩阵A唯一决定。复矩阵 A可对角化的充要条件是A的特征矩阵的初等因子全为一次式。2. 相似矩阵在微分方程中的应用许多实际问题最后都归结为求解微分方程（组）的问题.

13、因此,如何求解微分方程（组）是个很重要的问题.下面举例说明特征值和特征向量,约当标准形在其中的应用 . 2.1 将常系数线性微分方程组.;22112222121212121111nnnnnnnnnnuauauadtduuauauadtduuauauadtdu(2-1) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 写成矩阵形式Audtdu(2-2) 其 中u=(Tnuuu),21,nnijaA*)(为 系 数 矩 阵 , 令

14、 (3-2) 式 的 解u=xet, (2-3) 即 (Tnuuu),21=Tntxxxe),(21. 将(2-3)式代入（ 2-2）得xet= Axet=Axet, 化简得XAX,即(2-3)式中为 A 的特征值 ,X 为对应的特征向量 ;若 A 可对角化,则存在 n个线性无关的特征向量,21nxxx于是得到 (2-2)式的 n 个线性无关的特解 . u1=111xet, u2=22xet,un=ntxen. 它 们 的 线 性 组 合uc1111xet+c222xet+ +cnntxen, (2-4) (其中nccc,21为任意常数 )为(2-1)式的一般解 ,将(2-4)式改写成矩阵形式

15、u=),(21nxxxtttneee21nccc21, 记c=(nccc,21)T,te=diag(tttneee,21) p=),(21nxxx, 则(2-1)式或(2-2) 式有一般解cpeut(2-5) 对于初值问题00,utuudtdu(2-6) 解为01uppeut(2-7) 因为 t=0 代入(2-5)式得c=01up. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 例 2 解线性常系数微分方程组.2;54;31

16、3212211xxdtdxxxdtdxxxdtdx已知初始值为 : .2)0(, 1)0(, 1)0(321xxx解本题的初始值问题为TxxAxdtdx)2 , 1, 1()0(0其中110450102A,可得 A 的约当标准形 ,即有可逆矩阵P =012025111,使3001300021JAPP. 由(2-7)式,该初值问题的解为01xPPeXtJ(2-8) 其 中,!)(!2)(2ntJtJtJIentJ(2-9) nnnnnnnCJ30033000230013000211(2-10) 将(2-10)式代入 (2-9)式得tttttJeteeee333200000(2-11) 再将(2-

17、11)式及1,PP代入(2-8)式得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - tttttttteteeteteteeetxtxtxx32333332321)34(2)61()31 (21101202511300000111520210)()()(2.2 对于n阶线性齐次常系数微分方程1111( )( )( )( )0nnnnnnd x tdx tdx taaa x tdtdtdtL(2-12) 可令2112321,nnn

18、dxd xdxxxxxxdtdtdtL于是可得与方程 (2-12)同解的方程组12231121nnnndxxdtdxxdtdxa xaxa xdtML(2-13) 式(2-13)可写成矩阵形式dXAXdt(2-14) 其中12(,)TnXx xxL,12(,)TndxdxdxdXdtdtdtdtL, 11010000001nnAaaaLLMMMMLL于是这类微分方程可以归纳为等价的线性微分方程组,然后再利用特征值和特征向量求解 . 例 2.求解微分方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

19、- - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 323234120d xd xdxxdtdtdt(2-15) 解令21232,xxdxd xxxdtdt于是(2-15)式可变成等价的方程组122331231243dxxdtdxxdtdxxxxdt即dXAXdt其中123(,)TXx xx,312(,)TdxdxdxdXdtdtdtdt,0100011243A可求得 A的特征值为1233,2,2，对应的特征向量分别为123(1,3,9) ,(1,2,4) ,(1, 2,4)TTTXXX于是由上例知 , 312112233tttXCCCX eX eX e322123111

20、322944tttCCCeee从而3221123tttCCCxxeee其中(1,2,3)iC i为任意常数 . 3 相似矩阵在现实生活中的应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 例 3.污染与环境发展的增长模型发展与环境已成为21 世纪各国政府关注的重点 ,为了定量分析污染与工业发展间的关系，我们可提出以下的工业增长模型: 解设 x0是某地区目前的污染水平（以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位） ,y0是目前的

21、工业发展水平（以某种工业发展指数为测量单位）,以 5年作为一个期间 ,第t 个期间的污染和工业发展水平分别记为xt和 yt,它们之间的关系是：1111322ttttttxxyyxyt=1,2,(3-1) 记A=2213, tttyx, 则 (3-1) 的 矩 阵 形 式 为,1ttAt=1,2, (3-2) 如果已知该地区目前 （亦称为基年） 的污染和工业发展水平0=,00Tyx利用(3-2)就可以预测第 k 个期间该地区的污染和工业发展水平k,这是因为由 (3-2) 可得.,0021201kkAAAA这表明k可通过kA 求得,为此考察 A 能否对角化 ,计算出 A 的特征多项式 . ( )f

22、=|AE|=)4)(1(2213由 A 有 2 个相异的特征值 1 和 4 知,A 能对角化 ,所以可用性质来计算kA . 对于11,解,0)(XAE可得 A 属于 1 的一个特征向量.211T对于, 42解, 0)4(XAE可得 A 属于 4 的一个特征向量.112T令,21P有 A=.411PPdiag,424*22414*213112113140011211411kkkkkkkPPdiagA所 以k=00000)42()4*22()41()4*21 (31yxyxAkkkkk(3-3)就是所要的预测结果 ,对不同的0值代入 (4-3)即可求得k. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

23、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 例如：若T110，有Tkkk44,(实际上此时0就是属于 4 的特征向量,所以);44400TkkkkkA若,210T有.42413111Tkkk这些都表明 ,尽管工业发展水平可以达到相当高的程度,但照此模式发展，环境污染不容忽视 . 例 4. 人口流动模型假设某省城人口总数保持不变,每年有 20的农村人口流入城镇 ,有 10的城镇人口流入农村.试问该省城人口与农村人口的分布最终是否会趋向一个“稳定状态”？为解答这个

24、问题，可设该省城人口总数为m,从今年开始 ,第 k 年该省城的城镇人口和农村人口分别设为kx,ky,据题意有11110.90.20.10.8kkkkkkxxyyxy即0.90.20.1 0.8Akkkxy则110()kkkkAA AAL为计算kA ,仍考察 A能否对角化 . 计算出 A的特征多项式0.90.2( )(1)(0.7)0.10.8fEA由于 A有 2 个相异的特征值 1 和 0.7 知, A能对角化 ,所以可用性质来计算kA . 对于11解()0EA X可得 A属于 1 的一个特征向量121T; 对于20.7解(0.7)0EA X可得 A属于 0.7 的一个特征向量211T. 令1

25、2P,有110.7APdiagP, 11(0.7)kkAPdiagP1021112(0.7)22*(0.7)111112330(0.7)1(0.7)12*(0.7)kkkkk利用00 xym,可得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 00000002(0.7)22*(0.7)131(0.7)12*(0.7)2(2)(0.7)13(2)(0.7)kkkkkkkkxAymxymxy从而有000021(2)(0.7)33

26、11(2)(0.7)33kkkkxmxyymxy数列,kkxy的极限为21lim,lim33kkkkxmym这表明该省城的城镇人口与农村人口的分布会趋于一个“稳定状态”:大约有23为城镇人口 ,13为农村人口 . 4.矩阵相似在代数方面的应用. 例 5. 某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将61熟练工支援其他生产部门， 其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及时间至年终考核有52成为熟练工。 设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为nx和ny，记成向量nnyx。（1）求11nnyx与nnyx的关系式并写成矩阵形式 :11nnyx=Anny

27、x; （2）验证141，112是 A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - （3）当212111yx时，求11nnyx。解： （1）按题意有)61(53)61(526511nnnnnnnyxyyxxx化简得nnnnnnyxyyxx531015210911对其用矩阵表示即为11nnyx=5310152109nnyx，于是5310152109A（2）令1114),(21P，

28、则 由05P知 ，1，2线 性 无 关 。 因1114A。故1为 A的特征向量，且相应的特征值11。因22212121A，故2为 A的特征向量，且乡音的特征值为212。（3）由于有11nnyx=Annyx=2A11nnyx=nA11yx=nA2121。由21100APP，有12100PPA。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 于是有12100PPAnn又4111511P，故4111)21(001111451nnA

29、=nnnn)21(41)21(1)21(44)21(451。因此有11nnyx=nA2121=nn)21(32)21(38101结束语本文通过对矩阵相似性质与应用问题的深入探讨，我们获益非浅， 一方面对于矩阵相似的定义以及相关理论的熟练掌握。特别是将矩阵相似与可对角化矩阵这两个问题紧凑的联系在一起。 将矩阵问题应用定义定理转化为与一个相似对角型矩阵或者是若尔当标准型进而使问题研究简化。由于矩阵相似的性质特性决定其应用范围相当广泛。比如其在微分方程、 自动控制理论基础等领域的应用， 使其与相似矩阵的概念和性质能够相互融会贯通起来。提高对相似矩阵深入的研究。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

30、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 参考文献1 上海交通大学数学系主编 . 线性代数 . 北京：科学出版社， 2007.9 2 陈志杰 , 陈咸平 , 瞿森荣等编 . 高等代数与解析几何习题精解. 北京：科学出版社 , 2002. 2 3 刘丁酉 . 高等代数习题精解 . 合肥: 中国科学技术出版社 , 2004. 9 4 杨奇 , 田代军 , 韩维信 . 线性代数与解析几何. 天津 : 天津大学出版社, 2002, 10 5 戴华. 矩阵论 . 南京

31、：南京航空航天大学出版社M.2001.8 6 许以超。线性代数与矩阵论M. 北京：高等教育出版社， 1992 7 同济大学数学教研室编 . 线性代数（第三版）M. 北京：高等教育出版社，1999 8 David C.lay. Linear Algebra and its Applications(Third Edition),Beijing: Publishing Housr of Electronics Industry. 2004.3 9 S.K.Jain A.D Gunawardena, Linear Algebra An Interactive Approach, THOMSON BROOKS/COLE,1999,234-278 分工情况：第一部分 :由完成第二部分 :由完成第三部分 :由完成第四部分 :由完成名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -