2022年第章_锐角三角函数全章教案 .pdf
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1、江津区杜市中学九年级数学教案舒正全第 1 页 共 20 页课题锐角三角函数正弦一、教学目标1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实。2、能根据正弦概念正确进行计算3、经历当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值这一事实,发展学生的形象思维,培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。二、教学重点、难点重点:理解认识正弦(sinA )概念,通过探究使学生知道当锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值这一事实难点:引导学生比较、分析并得出:对任意锐角,它的对边与斜边的比值是固定值的事实。三、教学过程(一)复习引入操场里有一个旗杆,老师
2、让小明去测量旗杆高度。(演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10 米远处,目测旗杆的顶部, 视线与水平线的夹角为34 度, 并已知目高为1米 然后他很快就算出旗杆的高度了。你想知道小明怎样算出的吗?师:通过前面的学习我们知道,利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度;实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度,来测算出旗杆的高度。这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种:锐角的正弦(二)实践探索为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的
3、绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管?分析:问题转化为,在RtABC中, C=90o, A=30o,BC=35m, 求 AB 根据“再直角三角形中,30o角所对的边等于斜边的一半”,即341米10米? 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 20 页 - - - - - - - - - 江津区杜市中学九年级数学教案舒正全第 2 页 共 20 页可得 AB=2BC=70m. 即需要准备70m长的水管结
4、论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30o,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于如图,任意画一个RtABC ,使 C=90o, A=45o,计算 A 的对边与斜边的比,能得到什么结论?分析:在RtABC 中, C=90o,由于 A=45o,所以 RtABC是等腰直角三角形,由勾股定理得,故结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于45o,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于. 一般地,当A 取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?如图: RtABC 与 Rt ABC , C=C =90o, A=A=,那么与有什么关系分析:由于C
5、=C =90o, A=A=,所以 RtABC RtABC ,即结论:在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,A的对边与斜边的比也是一个固定值。认识正弦如图,在Rt ABC中, A、 B、 C所对的边分别记为a、b、c。师:在 RtABC中, C=90 ,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦。记作sinA 。板书: sinA AaAc的对边的斜边(举例说明:若a=1,c=3, 则 sinA=31)注意: 1、 sinA 不是 sin与 A的乘积,而是一个整体;2、正弦的三种表示方式:sinA 、sin56 、 sin DEF 3、 sinA 是线段之间的一个比值;sinA
6、 没有单位。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 20 页 - - - - - - - - - 江津区杜市中学九年级数学教案舒正全第 3 页 共 20 页提问: B的正弦怎么表示?要求一个锐角的正弦值,我们需要知道直角三角形中的哪些边?(三)教学互动例 1 如图 ,在中, ,求 sin和 sin的值 . 解答按课本(四)巩固再现1三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则sin 的值是 A43 B34 C53 D542如图,在直角ABC中, C 90o,若 AB
7、5,AC 4,则 sinA ()A35B45C34D433在 ABC中, C=90 , BC=2 ,sinA=23,则边 AC的长是 ( ) A13 B3 C43 D5 四、布置作业课题锐角三角函数余弦和正切一、教学目标1、使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力二、教学重点、难点重点:理解余弦、正切的概念难点:熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算三、教学过程(一)复习引入1、口述正弦的定义2、 (1)如图,已知AB 是 O 的直径,点C、D 在 O 上,且AB 5,BC 3则 sin BAC= ;s
8、in ADC= C B A E O A B C D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 20 页 - - - - - - - - - 江津区杜市中学九年级数学教案舒正全第 4 页 共 20 页ABCD(2)如图,在RtABC中, ACB 90, CD AB于点 D 。已知 AC= 5 ,BC=2 ,那么 sin ACD ()A53B23C255D52(二)实践探索一般地, 当 A 取其他一定度数的锐角时,它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值?如图: RtABC
9、 与 Rt ABC , C=C =90o, B=B=,那么BACBABBC与有什么关系?分析:由于C=C =90o, B=B=,所以 RtABC RtCBA,BAABCBBC,即BACBABBC结论:在直角三角形中, 当锐角 B的度数一定时, 不管三角形的大小如何,B的邻边与斜边的比也是一个固定值。如图,在 RtABC 中, C=90o,把锐角B 的邻边与斜边的比叫做B 的余弦,记作cosB 即caBB斜边的邻边cos,把 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切 .记作 tanA,即baAAA的邻边的对边tan,锐角 A 的正弦 ,余弦 ,正切都叫做 A 的锐角三角函数. (三)教学互动例 2:如
10、图 ,在中, ,BC=6,53sin A求 cos和 tan的值 . 解: ABBCAsin, 10356sin ABCAB又86102222BCABAC例 3:(1)如图 (1), 在中,,求的度数 . (2)如图 (2),已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的倍,求. (四)巩固再现1.在中, C90 , a,b,c 分别是 A、 B、 C 的对边,则有()A2. 在中, C 90 ,如果54cos A那么的值为()名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共
11、 20 页 - - - - - - - - - 江津区杜市中学九年级数学教案舒正全第 5 页 共 20 页A53B4543343、如图: P 是的边 OA 上一点,且P 点的坐标为( 3,4),则 cos_. 4、P81 练习 1、2、3 四、布置作业P85 1 课题锐角三角函数间的关系一、教学目标1、使学生了解一个锐角的正弦(余弦 )值与它的余角的余弦(正弦 )值之间的关系2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系4、使学生了解三角函数值随锐角的变化而变化的情况二、教学重点、难点重点:三个锐角三角函数间几个简单关系难点:能独立根据三角函数的定义推导出三个
12、锐角三角函数间几个简单关系三、教学过程(一)复习引入叫学生结合直角三角形说出正弦、余弦、正切的定义(二)实践探索1、从定义可以看出sin A与cosB有什么关系?sin B与cos A呢?满足这种关系的A与B又是什么关系呢?2、利用定义及勾股定理你还能发现sin A与cos A的关系吗?3、再试试看tan A与sin A和cos A存在特殊关系吗?经过教师引导学生探索之后总结出如下几种关系:(1)若90AB那么sin A=cos B或sin B=cos A(2)22sincos1AA( 3)sintancosAAA4、在正弦中它的值随锐角的增大而增大还是随锐角的增大而减少?为什么?余弦呢?正切
13、呢?通过一番讨论后得出:(1)锐角的正弦值随角度的增加(或减小 )而增加 (或减小 );(2)锐角的余弦值随角度的增加(或减小 )而减小 (或增加 );名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 20 页 - - - - - - - - - 江津区杜市中学九年级数学教案舒正全第 6 页 共 20 页(3)锐角的正切值随角度的增加(或减小 )而增加 (或减小 )。(三)教学互动(1)判断题:i 对于任意锐角,都有 0sin 1 和 0cos1 ()ii 对于任意锐角 1
14、,2,如果 12,那么 cos1cos2()iii 如果 sin1sin2,那么锐角 1锐角 2I ()iv 如果 cos1cos2,那么锐角 1锐角 2()(2)在 RtABC 中,下列式子中不一定成立的是_ AsinA sinB BcosA sinB CsinA cosB Dsin(A+B) sinC (3)在390 ,sin.cos,sintan5ABCCAABA中,求和的值A0 A30B30 A45C45 A60D60 A90四、布置作业课题 30 、 45、 60角的三角函数值一、教学目标1、能推导并熟记30、 45、 60角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数。2、能熟练
15、计算含有30、 45、 60角的三角函数的运算式二、教学重点、难点重点:熟记30、 45、 60角的三角函数值,熟练计算含有30、 45、 60角的三角函数的运算式难点: 30、 45、 60角的三角函数值的推导过程三、教学过程(一)复习引入名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 20 页 - - - - - - - - - 江津区杜市中学九年级数学教案舒正全第 7 页 共 20 页还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗?即01sin302,02sin 452你还
16、能推导出0sin 60的值及30、 45、 60角的其它三角函数值吗?(二)实践探索1. 让学生画304560的直角三角形, 分别求 sia 30 cos45 tan60归纳结果304560siaA cosA tanA (三)教学互动例 求下列各式的值:(1)00020245sin30sin245cos60cos( 2)00000000cos60sin 45cos60cos45cos60sin 45sin30cos45解 (1)原式 =2221222212245212141(2)原式 =22321212221222122212221说明:本题主要考查特殊角的正弦余弦值,解题关键是熟悉并牢记特殊
17、角的正弦余弦值。易错点因没有记准特殊角的正弦余弦值,造成计算错例 3:(1)如图 (1), 在中,,求的度数 . (2)如图 (2),已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的倍,求. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 20 页 - - - - - - - - - 江津区杜市中学九年级数学教案舒正全第 8 页 共 20 页解: (1)在图 (1)中 , (2)在图 (2)中.(四)巩固再现1、P82 例 3 2、P83 练习3、随机抽查学生对82 页的表的
18、记忆情况四、布置作业P85 3 课题用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角一、教学目标1、让学生熟识计算器一些功能键的使用2、会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角二、教学重点、难点重点:运用计算器处理三角函数中的值或角的问题难点:知道值求角的处理三、教学过程(一)复习引入通过上课的学习我们知道,当锐角A是等特殊角时,可以求得这些角的正弦、余弦、正切值;如果锐角A不是这些特殊角,怎样得到它的三角函数值呢?我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。(二)实践探索1、用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值利用求下列三角函数值(这个教师可完全放手学生去完成,教师只需巡回指导)sin3
19、7 24 sin3723 cos21 28 cos38 12tan52 ; tan36 20; tan75 17;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 20 页 - - - - - - - - - 江津区杜市中学九年级数学教案舒正全第 9 页 共 20 页2. 熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角. 例如: sinA=0.9816.A . cosA0.8607, A;tanA0.1890, A=;tanA56.78, A. 3、强化完成 P84 页
20、的练习四、布置作业P85 4 、5 课题解直角三角形(一)一、教育目标 1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 2、通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力 3、渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯二、教学重点、难点 1重点:直角三角形的解法 2难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用三、教学步骤 (一 )复习引入 1在三角形中共有几个元素? 2直角三角形ABC 中, C=90 ,a、b、c、 A、 B 这五个元素间有哪些等量关系呢?(1)边角之
21、间关系abAbaAcbAcaAcot;tan;cos;sinbaBabBcaBcbBcot;tan;cos;sin如果用表示直角三角形的一个锐角,那上述式子就可以写成. 的对边的邻边;的邻边的对边;斜边的邻边;斜边的对边cottancossin(2)三边之间关系 a2 +b2 =c2 (勾股定理 ) (3)锐角之间关系A+ B=90 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 20 页 - - - - - - - - - 江津区杜市中学九年级数学教案舒正全第 10 页
22、 共 20 页以上三点正是解直角三角形的依据,通过复习,使学生便于应用(二)教学过程 1我们已掌握RtABC 的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后,就可求出其余的元素这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念,同时又陷入思考,为什么两个已知元素中必有一条边呢?激发了学生的学习热情 2教师在学生思考后,继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边?”让全体学生的思维目标一致,在作出准确回答后,教师请学生概括什么是解直角三角形?(由直角三角形中除直角外的两个已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形) 3例题例1 在 ABC 中, C
23、为直角, A、 B、 C 所对的边分别为a、b、c,且 b=2,a=6,解这个三角形解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用因此,此题在处理时,首先,应让学生独立完成,培养其分析问题、解决问题能力,同时渗透数形结合的思想其次,教师组织学生比较各种方法中哪些较好,选一种板演解tanA=ab=62=360B9030ABC=2b=2 2例 2 在 RtABC 中, B =35,b=20,解这个三角形引导学生思考分析完成后,让学生独立完成在学生独立完成之后,选出最好方法,教师板书35B解 : A=909055tanbBa2028.6tantan35baBn2035.1
24、sinsin35bsiBcbcb完成之后引导学生小结“已知一边一角,如何解直角三角形?”答:先求另外一角,然后选取恰当的函数关系式求另两边计算时,利用所求的量如不比原始数据简便的话,最好用题中原始数据计算,这样误差小些,也比较可靠,防止第一步错导致一错到底注意:例 1 中的 b 和例 2 中的 c 都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算,但计算出的值可能有些少差异,这都是正常的。4巩固练习 P91 说明:解直角三角形计算上比较繁锁,条件好的学校允许用计算器但无论是否使用计算器,都必须写出解直角三角形的整个过程要求学生认真对待这些题目,不要马马虎虎,努力防止出错,培养其良好的学习习惯 (四 )总
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