高级中学解三角形与数列求和训练题目及其规范标准答案.doc

.\ 2018年07月18日-高中数学的高中数学组卷 解三角与数列 　 第Ⅰ卷（选择题）                                                                     一．选择题（共9小题） 1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45，∠CAB=105后，就可以计算出A、B两点的距离为（　　） A．m B．m C．m D．m 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，则△ABC的面积为（　　） A． B． C．4 D．2 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=a（cosC﹣sinC），a=2，c=，则角C=（　　） A． B． C． D． 4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值是（　　） A． B． C．或 D．或 5．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？ 意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（　　）尺． A．5.45 B．4.55 C．4.2 D．5.8 6．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=4，B=，则角A的大小为（　　） A． B．或 C． D． 7．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA﹣acosB=0，且b2=ac，则的值为（　　） A． B． C．2 D．4 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且2c﹣2acosB=b，则角A的大小为（　　） A． B． C． D． 9．在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于（　　） A．30 B．45 C．60 D．120 　  第Ⅱ卷（非选择题） 二．解答题（共7小题） 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）证明：； （2）若，求△ABC的面积． 11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsin2A=asinB． （1）求A； （2）若a=2，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，c﹣b=1，△ABC的外接圆半径为． （1）求角A的值； （2）求△ABC的面积． 13．已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn=． （1）求b1，b2，b3； （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{an}的通项公式． 14．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，an+1=2+Sn，（n∈N*）． （I）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2（an）2，求数列{}的前n项和Tn 15．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}满足． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和Sn． 16．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3=6，S11=132 （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{}的前n项和Tn． 　  2018年07月18日-高中数学的高中数学组卷 参考答案与试题解析 　 一．选择题（共9小题） 1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45，∠CAB=105后，就可以计算出A、B两点的距离为（　　） A．m B．m C．m D．m 【分析】依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB 【解答】解：由正弦定理得， ∴， 故A，B两点的距离为50m， 故选：A． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生对基础知识的综合应用． 　 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，则△ABC的面积为（　　） A． B． C．4 D．2 【分析】由已知利用正弦定理可求sinB，结合B的范围可求B的值，进而可求A，利用三角形面积公式即可得解． 【解答】解：由正弦定理， 又c＞b，且B∈（0，π）， 所以， 所以， 所以． 故选：A． 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 　 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=a（cosC﹣sinC），a=2，c=，则角C=（　　） A． B． C． D． 【分析】由已知及正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得tanA=﹣1，进而可求A，由正弦定理可得sinC的值，进而可求C的值． 【解答】解：∵b=a（cosC﹣sinC）， ∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC﹣sinAsinC， 可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC﹣sinAsinC， ∴cosAsinC=﹣sinAsinC，由sinC≠0，可得：sinA+cosA=0， ∴tanA=﹣1，由A为三角形内角，可得A=， ∵a=2，c=， ∴由正弦定理可得：sinC===， ∴由c＜a，可得C=． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题． 　 4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】由余弦定理化简条件得2ac•cosB•tanB=ac，再根据同角三角函数的基本关系得 sinB=，从而求得角B的值． 【解答】解：∵在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（a2+c2﹣b2）tanB=ac， ∴2ac•cosB•tanB=ac，∴sinB=，B= 或 B=， 故选：D． 【点评】本题考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，以及根据三角函数值及角的范围求角的大小． 　 5．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？ 意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（　　）尺． A．5.45 B．4.55 C．4.2 D．5.8 【分析】由题意可得AC+AB=10（尺），BC=3（尺），运用勾股定理和解方程可得AB，AC，即可得到所求值． 【解答】解：如图，已知AC+AB=10（尺），BC=3（尺），AB2﹣AC2=BC2=9， 所以（AB+AC）（AB﹣AC）=9，解得AB﹣AC=0.9， 因此，解得， 故折断后的竹干高为4.55尺， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 　 6．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=4，B=，则角A的大小为（　　） A． B．或 C． D． 【分析】直接利用正弦定理，转化求解即可． 【解答】解：△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=4，B=， a＜b则，A＜B，A+B＜π， ，sinA==， 所以：A=． 故选：D． 【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力． 　 7．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA﹣acosB=0，且b2=ac，则的值为（　　） A． B． C．2 D．4 【分析】先由条件利用正弦定理求得角B，再由余弦定理列出关于a，c的关系式，然后进行合理的变形，求得的值． 【解答】解：△ABC中，由bsinA﹣a•cosB=0，利用正弦定理得sinBsinA﹣sinAcosB=0， ∴tanB=，故B=． 由余弦定理得b2=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣ac，即 b2=（a+c）2﹣3ac， 又b2=ac，所以 4b2=（a+c）2，求得=2， 故选：C． 【点评】本题考查正弦定理、余弦定理得应用．解题先由正弦定理求得角B，再由余弦定理列出关于a，c的关系式，然后进行合理的变形，求得的值，属于中档题． 　 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且2c﹣2acosB=b，则角A的大小为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用两角和的正弦函数公式化简已知条件，结合sinB≠0，然后求角A的余弦函数值，即可求解； 【解答】解：（1）在△ABC中，∵2c﹣2acosB=b， ∴由正弦定理可得：2sinC﹣2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）﹣2sinAcosB=sinB， ∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB， ∵B为三角形内角，sinB≠0， ∴cosA=， 又∵A∈（0，π），∴A=． 故选：C． 【点评】本题考查了三角恒等变形，考查了转化思想，属于中档题． 　 9．在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于（　　） A．30 B．45 C．60 D．120 【分析】直接利用余弦定理以及特殊角的三角函数值就可得出答案． 【解答】解：根据余弦定理得cosB=== B∈（0，180） ∴B=60 故选：C． 【点评】本题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值，解题过程中要注意角的范围，属于基础题． 　 二．解答题（共7小题） 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）证明：； （2）若，求△ABC的面积． 【分析】（1）直接利用已知条件和余弦定理求出结论． （2）利用（1）的结论，进一步利用正弦定理求出结果． 【解答】证明：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，， 则：， 整理得：， 由于：b2+c2﹣a2=2bccosA， 则：2bccosA=， 即：a=2cosA． 解：（2）由于：A=， 所以：． 由正弦定理得：， 解得：b=1． C=， 所以：． 【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理的应用． 　 11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsin2A=asinB． （1）求A； （2）若a=2，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出A的值． （2）利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出三角形的周长． 【解答】解：（1）知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsin2A=asinB． 则：2bsinAcosA=asinB， 由于：sinAsinB≠0， 则：cosA=， 由于：0＜A＜π， 所以：A=． （2）利用余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA， 由于：a=2， 所以：4=b2+c2﹣bc， △ABC的面积为， 则：， 解得：bc=4． 故：b2+c2=8， 所以：（b+c）2=8+2•4=16， 则：b+c=4． 所以：三角形的周长为2+4=6． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 　 12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，c﹣b=1，△ABC的外接圆半径为． （1）求角A的值； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）由正弦定理可得：，即解得． （2）由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得bc即可求面积 【解答】解：（1）由正弦定理可得：，即， 解得．cosA=， A=120或600； （2）由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，⇒21=b2+c2bc， 又c﹣b=1，解得bc=20或， ∴△ABC的面积S==5或 【点评】本题考查了三角形的内角和定理与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题． 　 13．已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn=． （1）求b1，b2，b3； （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{an}的通项公式． 【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项． （2）利用定义说明数列为等比数列． （3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式． 【解答】解：（1）数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an， 则：（常数）， 由于， 故：， 数列{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列． 整理得：， 所以：b1=1，b2=2，b3=4． （2）数列{bn}是为等比数列， 由于（常数）； （3）由（1）得：， 根据， 所以：． 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用． 　 14．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，an+1=2+Sn，（n∈N*）． （I）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2（an）2，求数列{}的前n项和Tn 【分析】（Ⅰ）根据数列的递推公式即可求出数列的通项公式， （Ⅱ）根据对数的运算性质，以及裂项求和，即可求出Tn． 【解答】解：（Ⅰ）an+1=2+Sn，（n∈N*），① 当n=1时，a2=2+S1，即a2=4， 当n≥2时，an=2+Sn﹣1，②， 由①﹣②可得an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1=an， 即an+1=2an， ∴an=a22n﹣2=2n，n≥2， 当n=1时，a1=21=2， ∴an=2n，（n∈N*）． （Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=log2（an）2=2n， ∴==（﹣）， ∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=． 【点评】本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力，属于中档题． 　 15．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}满足． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和Sn． 【分析】（1）利用已知条件列出方程求出数列的首项与公差，然后求解数列的通项公式． （2）求出数列的通项公式，然后利用拆项法求解数列的和即可． 【解答】解：（1）因为an+1+bn=n，则a2+b1=1，得a2=4，a3+b2=2，得a3=8， 因为数列{an}是等比数列，所以， 所以． （2）由（1）可得， 所以 =． 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力． 　 16．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3=6，S11=132 （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{}的前n项和Tn． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a3=6，S11=132，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． （2）利用“裂项求和”即可得出． 【解答】解：（1）由S11=132得11a6=132，即a6=12， ∴，解得a1=2，d=2， ∴an=a1+（n﹣1）d=2n， 即an=2n， （2）由（1）知Sn==n（n+1）， ∴==﹣ ∴Tn=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了计算能力，属于中档题．