23圆锥曲线的参数方程.ppt

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1、 高二数学高二数学 选修选修4-4 第二章第二章参数方程参数方程2.3.1椭圆的椭圆的参数方程参数方程1.问题问题:如图如图,以原点以原点O为圆心为圆心,分别以分别以a, b (ab0)为半径作两个圆为半径作两个圆, 点点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的与小圆的交点交点,过点过点A作作NAOx垂足为垂足为N, 过点过点B作作BMAN, 垂足为垂足为M. 求当半径求当半径OA绕点绕点O旋转时旋转时点点M的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程. MNOAxyB分析：分析：点点M的横坐标与点的横坐标与点A的横坐标相同的横坐标相同,点点M的纵坐标与点的纵坐标与点B的纵坐标相同的纵坐标相同.而而A、B的坐标

2、可以通过的坐标可以通过引进参数建立联系引进参数建立联系.设设XOA= 解解: 设设M的坐标为的坐标为 取取 为参数为参数, NOAyx),( sin|cos|OBNMyOAONx则则)(sincos为参数为参数 byax即即 sincosbyax变形为变形为 可化为可化为 ) 0( 12222 babyax注意：注意： 角不是角角不是角 NOM ?M?N?B?A x O y椭圆参数方程椭圆参数方程 )(sincos为参数为参数 byax是是AOX= 2 .在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆分别是椭圆的长半轴长和短半轴长的长半轴长和短半轴长. ab0,2 )cos

3、,sin .xaXyb焦点在 轴cos ,sin .xbYya焦点在 轴注注: 1 .参数方程参数方程 是椭圆的是椭圆的参数方程参数方程.)(sincos为参数为参数 byax另外另外, 称为称为离心角离心角, 规定参数规定参数 的取值范围是的取值范围是:练习练习1: 把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. 22149xy22116yx (1)(2)3cos5sinxy8cos10sinxy(3)(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程2 cos(1)3 sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx练习练习2： 已知椭圆的

4、参数方程为已知椭圆的参数方程为则此椭圆的长轴长为则此椭圆的长轴长为 , 短轴长为短轴长为 , 焦点坐焦点坐标是标是 , 离心率是离心率是 .)(sincos2为参数为参数 yx42)0 , 3( 23例例1 .已知椭圆已知椭圆 上的点上的点P(x,y),求求 的取值范围的取值范围. 1422 yxyx21 )(sin2cos为参数为参数 yx解解:椭圆椭圆 参数方程为参数方程为1422 yx yx21 sincos 2, 2 )4sin(2 例例2. 如图，在椭圆如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点上求一点P，使使P到直线到直线l：x-y+4=0的距离最小的距离最小.xyOP分析分析1：),y

5、,y(288P设设2882|4yy|d则则分析分析2：),sin,cos(P 22设设222|4sincos| d则则分析分析3：平移直线平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求至首次与椭圆相切，切点即为所求.小结：小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。例例3、已知椭圆、已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。22110064xy:10cos,8sinA解 设20cos,16sin20 16sincos1

6、60sin2ADABS,ABCD160所以 矩形最大面积为yxOA2A1B1B2F1F2ABCD练习练习3:已知已知A, B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标与坐标轴正半轴的两个交点轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求在第一象限的椭圆弧上求一点一点P, 使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.14922 yx直直0632123 yxyx6)4sin(2136 1)4sin( )2,223(45 P )2,223(P练习练习4: (1) 动点动点P(x, y)在曲线在曲线 上变化上变化,求求2x+3y的最大值和最小值的最大值和最小值14922 yx. 26, 26 最小值最小值最大值最大值

7、(2) 取一切实数时取一切实数时, 连接连接A(4sin , 6cos )和和B(-4cos , 6sin )两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是( ). A. 圆圆 B. 椭圆椭圆 C. 直线直线 D. 线段线段B设中点设中点M (x, y) sin3cos3cos2sin2yx29422 yx)4sin(26)sin(cos632 yx 高二数学高二数学 选修选修4-4 第二章第二章参数方程参数方程2.3.2双曲线双曲线的参数方程的参数方程OBBy在中，( , )M x y设| | tanBBOBtan .bOAAx在中，|cosOAOA双曲线的参数方程双曲线的参数方程baoxy)

8、MBABAsec()tanxaMyb所以的轨迹方程是为参数所以的轨迹方程是为参数这是中心在原点，这是中心在原点，焦点在焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线消去参数，得消去参数，得, 12222 byax cosa sec asec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3 ,2 )22o通常规定且，。 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式22221xyab22sec1tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程相比较而得到，所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换的实质是三角代换.说明：说明： 这里参数这里参数 叫做双曲线的离

9、心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同.双曲线的参数方程双曲线的参数方程baoxy)MBABA例例.byxa 双曲线的渐近线方程为：解：解：OBMAxyb将y=x代入，解得点A的横坐标为aAax = （sectan ）2.Bax = （se同理可得，点B的横坐cta2标n为）.ba设 AOx= ,则tan.MAOB所以的面积为MAOBS=|OA|OB|sin2=ABxxsin2coscos2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22OBMAxy练习练习: 如图如图, 设设P为等轴双曲线为等轴双曲线x2y21上的一上的一点点, F1、F

10、2是两个焦点是两个焦点, 求证求证: |PF1|PF2|OP|2. 高二数学高二数学 选修选修4-4 第二章第二章参数方程参数方程2.3.3抛物线抛物线的参数方程的参数方程xyoM(x, y)抛物线的参数方程抛物线的参数方程)5(22pxy 设设抛抛物物线线的的普普通通方方程程为为)6(tan xy可可得得，解解出出由由yx,)6(),5(数数的的定定义义的的终终边边上上，根根据据三三角角函函在在因因为为点点 M为为参参数数）得得 (tan2tan22 pypx.)(5(的的参参数数方方程程不不包包括括顶顶点点这这就就是是抛抛物物线线)(222为参数为参数则有则有tptyptx 为为参参数数）

11、 (tan2tan22 pypx), 0()0 ,(,tan1 tt 如果令如果令.,),()0 , 0(,0参数方程就表示抛物线参数方程就表示抛物线时时因此当因此当顶点顶点好就是抛物线的好就是抛物线的由参数方程表示的点正由参数方程表示的点正时时当当 tt连线的斜率的倒数。连线的斜率的倒数。的任意一点与原点的任意一点与原点表示抛物线上除顶点外表示抛物线上除顶点外参数参数txyoM(x, y)?)0(22的的参参数数方方程程方方程程为为抛抛物物线线设设抛抛物物线线的的普普通通的的定定义义选选取取参参数数，建建立立思思考考：怎怎样样根根据据抛抛物物线线 ppyxxyoM(x, y),tan xy可

12、可得得为为参参数数）得得 (tan2tan22 pypx)(222为参数为参数则有则有tptyptx ,tanRtt 如如果果令令抛物线的参数方程抛物线的参数方程的的参参数数方方程程：抛抛物物线线)0(22 ppxy)(222为参数为参数tptyptx xyoM(x, y)连线的斜率的倒数。连线的斜率的倒数。的任意一点与原点的任意一点与原点表示抛物线上除顶点外表示抛物线上除顶点外参数参数t的的参参数数方方程程：抛抛物物线线)0(22 ppyxxyoM(x, y).斜率斜率任意一点与原点连线的任意一点与原点连线的的的表示抛物线上除顶点外表示抛物线上除顶点外参数参数t)(222为参数为参数tpty

13、ptx 21212121212121211,)(221ttDttCttBttAMMttMMtptyptx 、）在在直直线线的的斜斜率率是是（所所则则弦弦所所对对应应的的参参数数分分别别是是，点点上上异异于于原原点点的的不不同同两两为为参参数数、若若曲曲线线C的坐标分别为的坐标分别为和和则可得点则可得点和和别是别是两点对应的参数方程分两点对应的参数方程分由于由于解解212121,:MMttMM)2 ,2(),2 ,2(22221211ptptMptptM212221212122221ttptptptptkMM .,)0(2,32的的轨轨迹迹方方程程求求点点，相相交交于于点点并并于于且且上上异异于

14、于顶顶点点的的两两动动点点，是是抛抛物物线线是是直直角角坐坐标标原原点点，、如如图图例例MMABABOMOBOAppxyBAO 则则且且的坐标分别为的坐标分别为解：根据条件，设点解：根据条件，设点)0,)(2 ,2(),2 ,2(),(,2121222121 ttttptptptptyxBAM)2 ,2(),2 ,2(),(222121ptptOBptptOAyxOM )(2),(2(122122ttpttpAB , 0, OBOAOBOA所以所以因为因为xyOBAM)8.(.1, 0)2()2(21212221 ttttptpt所以所以即即)9()0(, 0)(2121 xxyttyttx即

15、即所以所以0)(2)(2, 0,122122 ttpyttpxOBOMABOM即即所以所以因为因为三点共线，三点共线，且且因为因为BMAyptxptMBptyptxAM,)2 ,2(),2,2(222121 )2)(2()2)(2(122221ptyxptyptptx 所以所以)10.(.02)(,2121 xtpttty得得化简化简),10()9(),8(代入代入将将xyOBAM02)(),10()9(),8( xpxyy得到得到代入代入将将.),0(0222的的轨轨迹迹方方程程这这就就是是点点即即Mxpxyx xyOBAM?,3少少面积最小？最小值是多面积最小？最小值是多的的在什么位置时，

16、在什么位置时，中，点中，点探究：在例探究：在例AOBBA xyOBAM12)2()2(12)2()2(32222222221121221 ttpptptOBttpptptOA可得可得解：由例解：由例)1()1(2212221212 ttttpOBOASAOB2222212 ttp.422222pp 121 tt.4,221pAOBxBAtt最小值为最小值为的面积最小，的面积最小，轴对称时，轴对称时，关于关于即当点即当点当且仅当当且仅当 练习：练习：1. 设设M为抛物线为抛物线y2=2x上的动点上的动点, 给定点给定点M0(-1, 0), 点点P为线段为线段M0M的中点的中点, 求点求点P的轨迹

17、的轨迹的参数方程的参数方程.解解: 抛物线的参数方程为抛物线的参数方程为22 ,2 .xtyt 动点动点M(2t2, 2t), M0(-1, 0), 设设P(x, y), 由中点坐标公式得由中点坐标公式得21(21),21(20),2xtyt即即21,2 ().xtytt为参数普通方程普通方程 212 xy2. 设抛物线设抛物线y22px(p0)的准线为的准线为l, 焦点为焦点为F，顶点为顶点为O，P为抛物线上任一点，为抛物线上任一点，PQl于于Q，求求QF与与OP的交点的交点M的轨迹方程的轨迹方程xyOQPMF )2(21pxtyxty确定确定, xyOQPMF小节：小节：1、抛物线的参数方程的形式、抛物线的参数方程的形式2、抛物线参数的意义、抛物线参数的意义的的参参数数方方程程：抛抛物物线线)0(22 ppxy)(222为参数为参数tptyptx xyoM(x, y)连线的斜率的倒数。连线的斜率的倒数。的任意一点与原点的任意一点与原点表示抛物线上除顶点外表示抛物线上除顶点外参数参数t倒数倒数