第10章05柱面坐标与求面坐标系中三重积分的计算(1).doc

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1、第1章 集 合第5节柱面坐标与球面坐标系下三重积分的计算5.1 利用柱面坐标计算三重积分我们不按课本上的讲法，换一种讲法。用柱面坐标计算三重积分的步骤：（1）把三重积分写成二套一：将往平面投影得，设的小边界大边界，则（2）用极坐标计算外层的二重积分： 设则注意：用极坐标计算外层二重积分时，总是先对后对积分；用坐标关系，代入被积函数和里层定积分的上下限，不动，并且外层面积元素多一个因子，即，或说体积元素 当然，当投影区域的边界有圆弧或被积函数有时用柱面坐标计算简单。图5.1 【例5.1】 计算三重积分，其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的区域解旋转面的方程为：如图5.1所示，将积分区

2、域投影到面，得投影区域为：的小边界大边界。积分区域为：，所以我们看到，上面计算方法中，用作坐标（变量）。图5.2设空间有一点并设在面上的投影点的极坐标为，则这样三个数就叫做点的柱面坐标一般地的取值范围为：，容易看出，所谓柱面坐标，就是：不变还是，而换成极坐标。点的直角坐标与柱面坐标的关系为：，构成柱面坐标系的三个坐标面为： ，以轴为中心轴，为半径的圆柱面；，过轴且极角为的半平面； ，平行于平面且高度为的平面【例5.2】 计算，其中是由曲面与图5.5所围成的区域解，由上节中关于三重积分的对称性的讨论知，联立两曲面方程，解得两曲面的交线关于面的投影柱面方程为：即积分区域在面上的投影区域为：的小边界

3、大边界。所以所以【例5.3】 计算其中为曲面，及所围成的闭区域解为锥面，圆柱面及平面所围成（图5.6）。由于关于面是对称的，而被积函数关于变量为偶函数，故图5.6，其中为在第一卦限的部分交线在面上的投影是。在面上的投影区域是半圆的小边界大边界。所以 （的大边界化为极坐标方程为。）类似地，（1）把三重积分写成二套一：将往平面投影得，设的小边界大边界，则（2）用极坐标计算外层的二重积分： 设则（1）把三重积分写成二套一：将往平面投影得，设的小边界大边界，则（2）用极坐标计算外层的二重积分： 设则小技巧：如果你只熟悉“类似地”前计算方法，在整个题中，改一下（比如说把改成把改成），就可变成“类似地”前

4、的计算方法。结果不变。（黑板解析）思考题：1设，令：, , ，则问此运算是否正确？（不对。看黑板。）5.2 利用球面坐标计算三重积分如图5.7所示，空间中的点可用球面坐标表示，其中，如图5.7。（是半径为的球面，所以称为球面坐标）显然：，点的直角坐标与球面坐标间的关系为：，下面我们按定义计算三重积分：用三组坐标面：常数（球面），常数（锥面），常数（半平面）将积分区域划分成个小区域：。设的增量、增量、增量（图5.8）。的体积。取点。则其右边的极限正好是关于球面坐标的三重积分所以(5.2)图5.7图5.8这就是用球面坐标计算三重积分的公式。注意：用坐标关系代入被积函数，并且体积元素多一个因子，即

5、当然，（5.2）还是得化为三次积分来计算。即注意：用球面坐标计算三重积分时，总是先对后对最后对积分。当然，关键还是定三次积分的上下限。关于三次积分上下限的定法，我们只讲下面三种简单情况。一般情况太复杂，不作要求。图5.9.1（1）由锥面（半锥角）和顶曲面围成，如图5.9.1。此时（2）的边界只有一张曲面，正半轴穿过的内部，且曲面在原点与平面相切，如图5.10.1。此时图5.10.1（3）的边界只有一张曲面，且坐标原点在的内部。此时上面三种情况用球面坐标计算三重积分特别简单。当被积函数有时用球面坐标计算三重积分也特别简单。设曲面。把坐标关系，代入方程得，再解出，就是曲面的极坐标方程。（测）图5.

6、9【例5.4】 计算，其中为及围成的区域解属于第（1）种情况（图5.9）。锥面半锥角，顶曲面的球面坐标方程。于是思考题：2能否用柱面坐标重解此题？（可以。），消去得。在平面的投影。的小边界大边界。所以比较繁。【例5.5】 计算，其中为，围成的闭域图5.10解是由两个球面围成（图5.10），球面的球面坐标方程是，球面的球面坐标方程是。由，解得，即两曲面的交线为属于第（1）种情况，但是的边界有两个表示式和。因此，需要用锥面将区域分成两部分，所以 （经）思考题：3考虑被积函数为，能否用“先二后一”法求解此题？解 解得。用平面分割成上下两部分和。在上的投影，任意给定，用平面截得所以类似地可计算。然后。

7、5.3* 三重积分的换元法则类似于二重积分情形，三重积分也有如下的换元积分法：设函数在空间有界闭区域上连续，定义在空间上的函数组,， 在上有连续偏导数，且将中的区域一一对应地变换为空间的区域，若函数组的雅可比行列式，则有三重积分的换元公式 (5.3)如球面坐标变换：,，则，故,此结果与前面的结论是一致的【例5.6】 计算三重积分，其中为椭球的内部区域解令，（称之为广义球面坐标），则区域化为，,习题10A类1选择适当的坐标系计算下列三重积分：(1) ，其中为曲面及平面所围区域；(2) ，其中为曲面,及围成；*(3) ，其中为曲面及所围区域；*(4) ，其中为曲面及围成的闭区域；(5) ，其中为曲

8、面所围区域；(6) ，其中为曲面，所围区域；(7) ，；*(8) ，其中为曲面及平面，围成的区域；(9) ，其中为曲面及围成的区域；(10),.解（10）关于平面对称，被积函数是的偶函数。所以其中是在第一卦限的部分。所以2利用“先二后一”的方法计算下列三重积分：(1) ，其中为曲面及围成的区域；(2) ，其中由曲面，及围成；*(3) ，其中由曲面及，围成；(4) ，其中由曲面，及围成解 （2）用一套二方法计算。在轴上的投影。任意给定，用平面截得用极坐标计算里层的二重积分3利用三重积分求下列立体的体积：*(1) 曲面，及；(2) 及；(3) ，4曲面将球体分成两部分，求这两部分的体积比5设为球面

9、围成的空间区域试证：6设为连续函数，为所围区域，求B类*1，其中为2，其中为3，其中为及所围区域*4，其中为平面曲线绕轴旋转一周而成的旋转面*5利用三重积分的换元法计算(1) ，其中为曲面及，围成(2) ，其中为曲面，及围成*6求曲面，及三坐标面所围的立体的体积7证明：曲面上任一点处的切平面与曲面所围的立体的体积为常数8设是连续函数，其中，求*9设函数是连续函数且恒大于零，其中，(1) 讨论在内的单调性；(2) 证明：当时，总 习 题 十1填空题:(1) 变换累次积分次序 (2) 将二次积分化为极坐标系下的二次积分 *(3) 设区域，则 (4)曲面与所围的立体的体积为 *(5) *(6) (7

10、) 设，其中为曲面，及平面围成的区域将化为累次积分，则在直角坐标系下 ；在柱面坐标系下 (8) 设为曲面和围成的闭区域，在上连续，将化为三次积分，则在直角坐标系下 ；在柱面坐标系下 ；在球面坐标系下 *(9) 设为球域 (10) 若积分可化为定积分，则 ； 若积分可化为定积分，则 ；* 设，积分可化为定积分的形式，则 *2选择题:(1) 设是以为中心点的正方形，是的内切圆，是的外切圆，记,分别为在,上的二重积分，则它们满足的不等式是 A.； B.； C.； D.(2) 将极坐标下的二次积分化为直角坐标下的二次积分，则 A.； B.；C.；D.(3) 在极坐标下与二次积分相等的是 A.； B.；

11、C.； D.(4) 设区域，在上连续，则 A.； B. ； C.D.(5) 设，为位于第一卦限的部分，则A.； B.；C.； D.(6) 设函数有连续导数，且，则 A.； B.； C.； D.3计算下列二重积分：(1) ，其中为以,为顶点的平行四边形(2) ，其中(3) ，其中*(4) ，其中*(5) ，其中是由曲线，围成的区域(6) ，其中*(7) ，由，围攻成的区域*(8) ，其中由，及围成的区域4交换二次积分的积分次序：*(1) (2) (3) *(4) 5若是由锥面和球面所围成的位于锥面内部的那部分区域，将三重积分分别化为直角坐标系下，柱面坐标系下，球面坐标系下的三次积分6选择适当的坐

12、标系计算下列三重积分:(1) ，其中是由及围成的区域(2) ，其中为*(3) ，为曲面中位于第一卦限的部分区域(4) ，为曲面，及所围成的区域*(5) ，其中区域为*7设是上的连续函数，且单调减证明：8三个有相同半径的正圆柱，其对称轴两两正交，求它们相贯所得的立体的体积我们学了的重积分方法：1、X型区域上计算二重积分；2、Y型区域上计算二重积分；3、极坐标计算二重积分；4、二套一计算三重积分；5、一套二计算三重积分；6、柱面坐标计算三重积分；7、球面坐标计算三重积分。 注意：1、每种方法都要整个方法过程理解、记住、掌握；2、各种方法中的要素做法不要张冠李戴互相串用（这是常出现的主要错误！）；3、其中只有方法1、2、4是常用必需的，而方法3、5、6、7只是为简单计算而学会使用的（要掌握什么情况下用什么方法计算简单）。21