33蝴蝶定理.doc

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1、不会飞的蝴蝶蝴蝶定理在中学平面几何中，有这样一个著名的命题：过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB于Q、P。求证：PM=MQ。由于题目的图形象一只蝴蝶，因此后人给它取名为“蝴蝶定理”。这个题最早出现在公元1815年西欧的一本通俗杂志男士日记上，登出来是为了征求证明。登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师霍纳就给出了第一个证明。不过，霍纳的证明比较繁，使用的知识也比较深。158年以后的1973年，又一位中学教师斯特温利用三角形面积关系，给出了一个漂亮而简捷的证明。从这以后，这个定理限于初等数学，甚至只限于初中数学的证明象雨后春笋般脱颖而出，证法多得不枚胜举。下面仅举

2、四例与读者共同欣赏。证法一：（斯特温法）如图，设AM=MB=a，MQ=x，PM=y。又设EPM、CMQ、FMQ、DMP的面积分别为S1、S2、S3、S4。因为E=C，D=F，CMQ=PMD，FMQ=PME，所以有 =1，即 =1。就是 PEDP(MQ)2=CQFQ(MP)2。由相交弦定理有 CQFQ=BQQA =(a-x)(a+x) =a2-x2， PEDP=APPB =(a-y)(a+y) =a2-y2，所以有 (a2-y2)x2=(a2-x2)y2，即 a2y2=a2x2， x、y都是正数， x=y，即 PM=MQ。这就是斯特温的证明方法。证法二：（反证法）仍采用证法一的各种记法。假设QM

3、MP，即 xy。这时有 a2-x2a2-y2，即 AQBQBPAP。根据相交弦定理，就有 CQFQEPDP。 由正弦定理，有 CQ=QM， FQ=QM， EP=PM， DP=PM，将它们代入，化简得(QM)2PM矛盾。同理可证QMPM不可能。 QM=PM。证法三：（三角法）如图。设MQ=x，MP=y，其余如图所示。在EPM中，由正弦定理 MP=。 在PMD中，MP=。 ，得 MP2=。同理，MQ2=。 ，即 。从而得 x=y，即 MP=MQ。证法四：（四点共圆法）如图，作OGCF，OHDE，则垂足G、H分别为CF、DE的中点，且M、Q、G、O四点共圆；M、O、H、P四点共圆。连结OQ、OM、M

4、G、OP、MH。又令MOQ=1，MOP=2，MGQ=3，MHP=4。于是1=3，2=4。又MCFMED，G、H为FC、DE的中点， ，MFGMHD。3=4，1=2，从而可得 MP=MQ。有趣的“蝴蝶定理”磨练着无数数学爱好者的毅力和才华，历史名题，象颗颗钻石反射着人类智慧的光芒。执着的人们，不仅追求构思巧妙的解法，而且还追求变化、延伸和推广。“蝴蝶定理”的有趣，还在于它的变形和推广。变形定理：过一圆的弦AB的中点M，引任意两条不相等的弦CD、EF，连结CE、FD并延长与AB的延长线分别交于H、G，则HM=GM。有兴趣的读者可以尝试证明它。推广定理（坎迪定理） 设AB是某个圆的一条弦，通过AB上

5、任意一点M作两条弦CD和EF，连结ED、CF分别交AB于P和Q。若令AM=a，MB=b，QM=x，PM=y，求证：。令人惊奇的是，蝴蝶定理中的圆改为椭圆，可进一步推广为“椭圆蝴蝶定理”，而且它的逆定理也成立。有兴趣的读者可作进一步的研究。【附录】一、【爱因斯坦简介】1879年3月14日，一个小生命降生在德国的一个叫乌尔姆的小城。父母为他起了一个很有希望的名字：阿尔伯特爱因斯坦。看着他那可爱的模样，父母对他寄托了全部的期冀。然而，没过多久，父母就开始失望了：人家的孩子都开始学说话了，已经三岁的爱因斯坦才“咿呀”学语。后来，爱因斯坦的妹妹，比他小两岁的玛伽已经能和邻居交谈了，爱因斯坦说起话来却还是

6、支支吾吾，前言不搭后语，看着举止迟钝的爱因斯坦，父母开始忧虑。他们担心他的智能是否会不及常人。直到10岁时，父母才把他送去上学。可是，在学校里，爱因斯坦受到了老师和同学的嘲笑，大家都称他为“笨家伙”。学校要求学生上下课都按军事口令进行，由于爱因斯坦的反应迟钝，经常被教师呵斥、罚站。有的老师甚至指着他的鼻子骂：“这鬼东西真笨，什么课程也跟不上！”一次工艺课上，老师从学生的作品中挑出一张做得很不像样的木凳对大家说：“我想，世界上也许不会有比这更糟糕的凳子了！”在哄堂大笑中，爱因斯坦红着脸站起来说：“我想，这种凳子是有的！”说着，他从课桌里拿出两个更不像样的凳子，说：“这是我前两次做的，交给您的是第

7、三次做的，虽然还不行，却比这两个强得多！”一口气讲了这么多话，爱因斯坦自己也感到吃惊。老师更是目瞪口呆，坐在那里不知说什么好。在讥讽和侮辱中，爱因斯坦慢慢地长大了，升入了慕尼黑的卢伊特波尔德中学。在中学里，他喜爱上了数学课，却对其余那些脱离实际和生活的课不感兴趣。孤独的他开始在书籍中寻找寄托，寻找精神力量。就这样，爱因斯坦在书中结识了阿基米德、牛顿、笛卡尔、歌德、莫扎特书籍和知识为他开拓了一个更广阔的空间。视野开阔了，爱因斯坦头脑里思考的问题也就多了。一天，他对经常辅导他数学的舅舅说：“如果我用光在真空中的速度和光一道向前跑，能不能看到空间里振动着的电磁波呢？”舅舅用异样的目光盯着他看了许久，

8、目光中既有赞许，又有担忧。因为他知道，爱因斯坦提出的这个问题非同一般，将会引起出人意料的震动。此后，爱因斯坦一直被这个问题苦苦折磨着。1895年秋天，爱因斯坦经过深思熟虑，决定报考瑞士苏黎士大学。可是，他却失败了，他的外文不及格。落榜后的他没有气馁，参加了中学补习。一年以后，他获得了中学补习合格证书，并且考入了苏黎士综合工业大学。这时的他，已经在为自己的未来做准备了。他把精力全部用在课外阅读和实验室里。教授们看见他读和学习无关的书、做和考分无关的试验，非常不满和生气，认为他“不务正业”。爱因斯坦大学毕业时，正赶上经济危机爆发，由于他是犹太人血统，又没有关系，没有钱，所以只好失业在家。为了生活，

9、他只好到处张贴广告，靠讲授物理获得每小时3法郎的生活费。这段失业的时间，给了爱因斯坦很大的帮助。在授课过程中，他对传统物理学进行了反思，促成了他对传统学术观点的猛烈冲击。经过高度紧张兴奋的五个星期的奋斗，爱因斯坦写出了9000字的论文论动体的电动力学，狭义相对论由此产生。可以说，这是物理学史上的一次决定性的、伟大的宣言，是物理学向前迈进的又一里程碑。尽管还有许多人对此表示反对，甚至还有人在报上发表批评文章，但是，爱因斯坦毕竟还是得到了社会和学术界的重视。在短短的时间里，竟然有15所大学给他授予了博士证书，法国、德国、美国、波兰等许多国家的著名大学也想聘请他做教授。当年被人们称为“笨蛋”，“笨东

10、西”，认为无法成才的爱因斯坦，终于成了全世界公认的、当代最杰出的聪明人物。这个当年被校长认为“干什么都不会有作为”的笨学生，经过艰苦的努力，成了现代物理学的创始人和奠基人，成了现代最杰出的物理学家，科学的巨人。当许多年轻人缠住爱因斯坦，要他说出成功的秘诀时，他信笔写下了一个公式：A=x+y+z，并解释道：“A表示成功，x表示勤奋，y表示正确的方法，那么z呢，则表示务必少说空话。”许多年来，爱因斯坦的这个神奇的成功等式一直被人们传颂着。从爱因斯坦的奋斗历程中，我们不难看出，正是勤奋、正确的方法和少说空话使爱因斯坦由笨头笨脑变为巨人的。由“丑小鸭”变为“白天鹅”，这说明了什么呢？一个人不聪明并不可

11、怕，可怕的是自己先泄自己的气。只要你肯为你的目标付出艰辛的劳动，并配合正确的方法，就一定会得到成功女神的酬劳。许多在事业上有成就的人，在童年时代、少年时代并不一定能显出锋芒毕露的优势，相反，他们却太平凡，甚至显出迟钝、愚笨的样子，常常要被周围的人嘲笑、讥讽。如果因为自己笨就灰心丧气，不再努力，那不是将自己潜在的才华、能力都扼杀在摇篮之中了吗？其实，每一个人都有不同的才能，每一个人在生命的长河中都会找到属于自己的星座。如果你觉得自己笨，那是因为你还没有寻找到你自己的星座。正如爱因斯坦对别的事物迟钝，却对物理和数学特别喜爱一样，当你找到自己的星座时，你定会放射出与众不同的光彩。二、【王孝通简介】王孝通是公元六、七世纪时唐代数学家。他对我国古算书很有研究，他的缉古算经是一部写作较严谨、水平较高的联系实际的数学著作，书中有三次方程的数值解和堤坝体积近似求法。118