matlab插值法.ppt

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1、1.1 插值法插值法插值问题的背景插值问题的背景 在生产和实验中，函数 f(x)或者其表达式不便于计算, 或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的近似函数(x)，来逼近函数 f(x)。 常用的函数逼近方法有： 插值法； 最小二乘法（或称均方逼近）； 一致逼近等。插值法插值法 插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用。简单地说，插值法就是用给定的(未知)函数 f(x)的若干点上的函数值(或其导数值) 来构造 f (x)的近似函数(x)，要求(x)与 f(x)在给定点的函数值相等。 有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和

2、牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermite插值，分段插值和样条插值。函数可以未知，只需已知若干点上的值。设 f(x)为a，b上的函数，在互异点x0 , x1, . , xn 处的函数值分别为 f(x0) , f (x1) , , f (xn) ,构造一个简单函数 (x) 作为函数 f(x) 的近似表达式y= f(x) (x),使 (xi)f(xi) , i0, 1, 2, ,n (1.0)则称(x) 为关于节点x0 , x1, . , xn的插值函数；称 x0 , x1, . , xn 为插值节点；称(xi, f (xi), i=1,2, , n 为插值点

3、；f(x) 称为被插值函数。 (1.0)式称为插值条件。这类问题称为插值问题。 构造出(x)，对 f(x)在a,b上函数值的计算，就转化为(x)在对应点上的算。插值法的定义插值法的定义1.2 Lagrange插值插值 选用代数多项式作为插值函数。Lagrange插值就是选用节点上的函数值作为插值条件。1.2.1 线性插值线性插值 给定两个点(x0，y0)，(x1，y1），x0 x1，确定一个一次多项式插值函数，简称线性插值线性插值。待定系数法待定系数法 设 L1(x)=a0+a1x, 代入插值点当x0 x1时，方程组的解存在唯一。01000111aa xyaa xy即插值条件：L1(xi)=

4、f(xi)=yi,i=0,1解之得解之得， 因此，因此， （1.1）式称为一次Lagrange插值插值。 由求解过程知，用待定系数法，需要求解线性方程组，当已知节点较多时，即方程的未知数多，计算量较大，不便向高阶插值推广。011001010101,.x yx yyyaaxxxx0110011010101010110( )(1.1)x yx yyyL xxxxxxxxxxyyxxxx插值基函数法插值基函数法 分别构造两个节点上的一次函数，使其在本节点上的函数值为1，而在其他节点上的函数值为0。设l0(x), l1(x)分别为满足上述条件的一次函数，即 或简单地记为 对于过两个节点x0 , x1的

5、线性插值（1.1）式，令00100111()1,()0()0,()1lxl xlxl x1,()0,.ijijijlxij01010110( ), ( ),xxxxlxl xxxxx显然， l0(x), l1(x) 满足：线性插值函数可以写成节点上函数值的线性组合，即 L1(x) = l0(x) y0 + l1(x) y1 称l0(x), l1(x) 分别为x0, x1的插值基函数。线性插值误差线性插值误差定理定理 1 设L1(x)为一次Lagrange插值函数, 若 f (x) 一阶连续可 导，f (x)在(a, b)上存在，则对任意给定的x(a ,b), 至少存在一点(a,b),使得证明证

6、明 因为L(xi)= f(xi),i=0,1,所以，R1(x0)=R1(x1)=0, 即 x0,x1为R1(x)的两个根。因此，可设R1(x)为(), ,0,1.ijijl xi j易知满足插值条件：L1(xi) = yi , i=0,11101( )( )( )( )()()(1.3)2!fR xf xL xxxxx可设 R1(x) = k(x)(x-x0)(x-x1). 固定任一 x，作辅助函数，令 则 (xi )=0, i =1,2, (x)=0, 即 (t)有3个零点x0, x1, x。 假定，x0 x x1 , 分别在x0，x和x，x1上应用洛尔（Rolle）定理，可知， (t)在每

7、个区间上至少存在一个零点，1，2，使(1)=0，(2)=0(此即(t)有2个零点)。再利用洛尔定理知， (t)在1,2上至少有一个零点，使 ()=0。 对 (t)求2阶导数得， (t) = f (t) - -2!k(x), 因为 ()=0，所以，有 k(x) = f () / /2!。 证毕。101( )( )( )( )()(),tf tL tk x txtx1.2.2 二次插值二次插值 给定3个互异插值点(xi, f (xi), i = 0,1,2，确定一个二次插值多项式函数，即抛物线插值（如图）。待定系数法 设L2(x)=a0+a1x+a2x2, 代入3个插值条件： L2(xi)= f(

8、xi), i = 0,1,2，解线形方程组可得a0, a1, a2。 插值基函数法插值基函数法 构造3个节点上2次插值基函数 l0(x), l1(x), l2(x), 使满足 li(xj)=ij ， i, j = 0,1,2。 因为l0(x) 为2次插值基函数, 且l0(x1) = l0(x2) = 0, 所以可设 l0(x) = A (x - x1)(x - x2)。 由条件：l0(x0) = 1，得同理可得，二次Lagrange插值多项式为01021,()()Axxxx1200102()()( ).()()xxxxlxxxxx02011210122021()()()()( ),( ).()

9、()()()x xx xx xx xl xl xxxxxxxxx220011220( )( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()(1.4)iiiLxlx f xl x f xlx f xl x f x 容易验证满足插值条件二次插值的误差二次插值的误差22012( )( )( )( )()()()(1.5)3!fRxf xLxxxxxxx 定理定理 设设L2(x)为二次Lagrange插值函数, 若 f (x) C3a，b ， 则任给x(a ,b),至少存在一点=(x) (a,b),使 提示提示：因为R2(x0)=R2(x1)=R2(x2)=0,可设 作辅助函数 易知，x0, x1, x

10、2, x为(t)的4个零点，在4个点两两组成的区 间上，应用Rolle定理，然后再反复应用Rolle定理即得证。 2012( )( )()()().Rxk x xxxxxx2012( )( )( )( )()()(),tf tL tk x txtxtx例例1.1 给定sin11=0.190809,sin12=0.207912,求线性插 值，并计算sin1130和sin1030 。解解 x0= 11, x1= 12, y0= 0.190809, y1= 0.207912， sin1130L1(11.5)=0.199361, sin1030L1(10.5)=0.182258.由定理1知，误差为10

11、101(12)(11)( )(12)(11).11 1212 11xxL xyyx yxy准确值为：sin1130=0.199368sin1030=0.182236101( )sin( )( )()()(11)(12).2!2fR xxxxxxx11( )(11)(12)21(11.5 11)(11.5 12)0.125.2R xxx0111 1211.522xxx例例1.2 给定sin11=0.190809,sin12=0.207912, sin13=0.224951,构造二次插值，并计算 sin1130。 解解 x0= 11, x1= 12, x2= 13, y0= 0.190809, y

12、1= 0.207912,y2= 0.224951， sin1130L2(11.5) = 0.199369, sin1130= 0.199368.2(12)(13)(11)(13)( )0.1908090.207912(11 12)(11 13)(12 11)(12 13)(11)(12)0.224951(13 12)(13 12)xxxxL xxx 例例1.3 要制作三角函数sin x的值表，已知表值有四位小数，要求用线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试确定其最大允许的步长。解解 f(x)=sin x, 设xi, xi为任意两个插值节点，最大允许步长记为 h = hi = xi xi

13、，111111121124( )sin( )()()()()2!211()()()()22221()(),88110 ,0.02.82iiiiiiiiiiiiiiiifR xxxxxxxxxxxxxxxxxxxhxxxxhh1.2.3 n次次Lagrange插值多项式插值多项式 已知 n+1个互异插值节点 (xi, f(xi), i=0, 1, 2, , n , 研究n次插值多项式的存在性及其表示形式。 存在性存在性 设 n 次多项式为 代入插值点，即插值条件：Pn (xi) = f (xi), i = 0, 1,2, , n , 得 其范德蒙德(Vandermonde)行列式为：20121(

14、 ),(1.6)nnnP xaa xa xa x20102000201121112012()()(1.6)()nnnnnnnnnnaa xa xa xf xaa xa xa xf xaa xa xa xf x 所以，(1.6)的解存在唯一。 解出(1.6)的解a0 , a1, , an ，代入(1.6)1即得 n 次插值多项式Pn(x)。 n 次插值多项式的构造次插值多项式的构造 有上面的讨论知，用待定系数法要求解一个线性方程组，计算量大，实际中不可取。20002111012011(,)1()0,nnnnnnnijj i nxxxxxxV xxxxxxxx 插值基函数法插值基函数法 分别构造x

15、0 , x1, , xn 上的 n 次插值基函数 l0(x), l1(x), , ln(x),满足性质： 即1,0,1,2,()0ijijijnl xij， 节点基函数x0 x1x2xnl0(x)1000l1(x)0100l2(x)0010ln(x)0001先构造 l0(x)。有上表知， x1 , x2, , xn 为 l0(x) 的零点，设由l0(x0)=1，得同理可设由li (xi)=1，得0012( )()()(),nlxaxxxxxx001020120010201,()()()()()()( ).()()()nnnaxxxxxxxxxxxxlxxxxxxx011( )()()()(),

16、iiiinl xa xxxxxxxx1111,()()()()iiiiiinaxxxxxxxx于是，所以我们得到 n 次Lagrange插值多项式： 容易验证， Ln(xi) = f (xi), i = 0, 1, 2, n.0110111()()()()( )()()()(),1,2,(1.7)iiniiiiiinnjijjj ixxxxxxxxl xxxxxxxxxxxinxx00110( )( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()(1.8)nnnniiiLxlx f xl x f xlx f xl x f x例例1.4 已知插值点 (-2.00,17.00), (0.00,1.0

17、0), (1.00,2.00), (2.00,17.00), 求三次插值，并计算 f (0.6)。解解 先计算4个节点上的基函数：1230010203()()()( )()()()(0)(1.00)(2.00)( 2.000)( 2.00 1.00)( 2.002.00)1(1)(2),24xxxxxxlxxxxxxxxxxx xx 0231101213()()()1( )(2)(1)(2),()()()4xxxxxxl xxxxxxxxxx0132202123()()()1( )(2) (2),()()()3xxxxxxlxxx xxxxxxx 三次Lagrange插值多项式为： f (0.

18、6) L3(0.6) = -0.472.0123303132()()()1( )(2) (1).()()()8xxxxxxlxxx xxxxxxx3171( )(1)(2)(2)(1)(2)244217(2) (2)(2) (1).38L xx xxxxxxx xxx x n 次插值多项式的误差次插值多项式的误差 定理定理 2 2 设Ln(x)是a,b上过插值点(xi, f(xi)的 n 次 Lagrange插值多项式，节点xi两两互异，若 f(x)Cn+1a,b, 则 x a,b,存在=(x) a,b,使得 证明提示：因为Rn(xi)=0, i =0, 1, 2, , n, 令 作辅助函数

19、显然， (t)有 n+2 个零点x0，x1，xn，x，反复应用Rolle 定理，由(n+1)()=0,定理得证。(1)01( )( )()()()(1.9)(1)!nnnfRxxxxxxxn01( )( )()()().nnRxk x xxxxxx01( )( )( )( )()()(),nntf tL tk x txtxtx n 次插值多项式的几点说明次插值多项式的几点说明 若| f (n+1)(x)|M,xa,b,则由(1.9)得 当 f(x)为不高于n次的多项式时，因为Rn(x)=0,则 Ln(x) = f (x). 特别地，取 f(x) = xk, k = 0,1,2,n, 则 令 k

20、 =0，可知 n 次Lagrange基函数li(x)满足0( )(1.12)(1)!nniiMRxxxn 即 f(x)为不超过n次的多项式时，插值多项式就是被插函数本身00( )( ) ()( )( ),0,1,2, .nnkkniiiiiiLxl x f xl x xf xxkn0( )1.niil x 实际计算中，如果 f (x)的形式未知，也就无法求出 f (n+1)(x)或估计出其较精确的上界。所以也就无法估计|Rn(x)|。 我们采用事后估计，即给定 n+2个节点，x0, x1, xn, xn+1,构造两个n次插值多项式Ln(x)和 ，用它们来估计|Rn(x)|。 由定理 2，得(

21、)nLx( )0121nLxnnxxxxx ( )nLx (1)101()( )( )()()()(1.13)(1)!nnnff xLxxxxxxxn(1)211()( )( )()()()(1.14)(1)!nnnnff xLxxxxxxxn假定 f (n+1)(x) 在 a, b内连续, 且变化不大, 即 f (n+1)(1) f (n+1)(2).(1.13)和(1.14)两式相除，得解之得，于是，得误差01( )( ),( )( )nnnf xLxxxxxf xLx100110( )( )( ).nnnnnxxxxf xLxLxxxxx001( )( )( )( )( )(1.16)n

22、nnnnxxRxf xLxLxLxxx事后估计：即用求出的插值多项式来估计误差。 n 次插值多项式的算法描述次插值多项式的算法描述 输入节点数 n、插值点(xi, yi) (i=0,1,2, ,n)和要计算的函数点 x。 实现基函数 li(x)和插值 Ln(x): FOR i=0,1, , n tmp=1; FOR j=0, 1, , i1, i+1, , n tmp=tmp*(xxj)/(xixj); (实现 li(x) ) fx=fx+tmp*yi; (实现Ln(x) ) 输出 fx。2006年9月22日1.3 Newton插值插值 Lagrange插值的优缺点：插值的优缺点： 优点：优点

23、：形式整齐、规范，理论上保证插值的存在唯一性。 缺点：缺点：计算量大、不具有承袭性。1.3.1 差商及其性质差商及其性质一阶差商一阶差商：f (x)关于点x0，x1的一阶差商记为 f x0, x1，二阶差商：二阶差商： f (x)关于点x0，x1， x2的二阶差商记为 f x0, x1, x2,010101()(),.f xf xf xxxx011201202,.f xxf x xf xx xxx 一般地，k 阶差商 f x0, x1, xn 定义为： 差商的性质差商的性质 性质性质1 k 阶差商 f x0, x1, xk可表成节点上函数值 f(x0), f(x1), , f(xk) 的线性组

24、合，即 例如例如，k = 2时， (1.17)011120110,.kkkkkf xxxf x xxf xxxxxx0101101,().()()()()kkiiiiiiikif xxxf xxxxxxxxx011201202012010210122021,()()().()()()()()()f xxf x xf xx xxxf xf xf xxxxxxxxxxxxx性质性质 2 各阶差商具有对称性, 即改变差商中节点的次序不会 改变差商的值。设i0, i1, , ik为0, 1, , k的任一排列, 则 由性质1知，任意改变节点的次序，只改变(1.17)式右端求和的次序，故其值不变。例如,

25、由定义知，性质性质 3 若 f (x)为 n 次多项式，则一阶差商 f x, xi为n 1次 多项式。 由定义令x = xi, 则分子为0, 说明分子中含有因子x xi, 与分母约去。0101,.kkiiif xxxf xxx01011001()(),.f xf xf xxf x xxx( )() ,.iiif xf xf x xxx性质性质 4 若 f (x)在 a, b 存在 n +1阶导数，xi a, b , i = 0,1,n, 固定 xa, b, 则 n+1 阶差商与导数 存在如下关系：(1)01( ) ,( , ).(1)!nnff x xxxa bn 差商的计算差商的计算 由差商

26、的定义由差商的定义 一阶差商是由节点上函数值定义的，二阶差商是由一阶差商定义的，依此构造差商表：i xi f (xi) 一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 三阶差商三阶差商 n 阶差商阶差商0 x0 f (x0)1 x1 f (x1) f x0, x12 x2 f (x2) f x1, x2 f x0, x1, x23 x3 f (x3) f x2, x3 f x1, x2, x3 f x0, x1, x2, x3 n xn f (xn) f xn 1, xn f xn 2, xn 1, xn f xn 3, xn f x0, x1, , xn例例1.5 计算 (2, 17), (0, 1),

27、 (1, 2), (2, 19)的一至三阶差商。解解 由表易知， f x0, x1 = f 2, 0 = 8 f x0, x1, x2 = f 2, 0, 1 =(8 1)/(2 1) = 3 f x0, x1, x2, x3 = f 2, 0, 1, 2 =(3 8)/(2 2) = 5/4i xi f (xi) f xi 1, xi f xi 2, xi 1, xi f xi 3, xi 2, xi 1, xi0 2 171 0 1 82 1 2 1 33 2 19 17 8 5/4 由差商与导数的关系（性质由差商与导数的关系（性质4）例例 1.6 对 f (x) = x7x4+3x+1，

28、 求 f 20,21， f x,20,21,26 和 f x,20,21,27。解解 显然， f (7) (x) = 7!, f (8) (x) = 0, 由性质4得(7)016( ) ,2 ,2 ,2 1,7!ff x(8)017( ) ,2 ,2 ,2 0.8!ff x01(1)(2)4 1192 ,2 115,1 21fff 2006.9.221.3.2 Newton插值插值 线性插值线性插值 给定两个插值点(x0, f(x0), (x1, f(x1), x0 x1, 设 N1(x) = a0 + a1(x x0) 直线的点斜式直线的点斜式 代入插值点得， 于是得线性Newton插值公式

29、010010101()()(),.f xf xaf xaf xxxx10010( )(),()(1.17)Nxf xf xxxx由插值的唯一性知，L1(x)与 N1(x)为同一多项式，只是表达形式不同而已。 二次二次Newton插值插值 给定三个互异插值点(xi, f (xi), 设代入插值条件： N2(xi) = f (xi), i =0,1,2, 得二次Newton插值公式为2010201( )()()().Nxaa xxaxxxx0010120012022021020101221(),()(),()()(),.af xaf xxf xf xf xxxxaxxxxf xxf xxf xx

30、xxx2001001201( )(),(),()()(1.18)Nxf xf xxxxf xx xxxxx n 次次Newton插值公式插值公式 给定n+1个插值点(xi, f(xi), i = 0, 1, 2, n, xi互异， 类似地，有二阶至 n 阶差商的定义得(xx0)(xx0)(xx1) (xx0)(xxn1) 上述所有n +1个等式相加，得000( )()() ,f xf xxxf x x000( )() ,f xf xf x xxx00110101012201201010 ,() , ,() , ,() ,nnnnf x xf xxxxf x xxf x xxf xx xxxf

31、x xx xf x xxf xxxxxf x xx其中，插值误差为：000101012011010101( )()() ,()() ,()()() ,()()() ,( )( ).nnnnnnf xf xxxf xxxxxxf xx xxxxxxxf xxxxxxxxxf x xxxNxRx00010101201101( )()() ,()() ,()()() ,nnnNxf xxxf xxxxxxf xx xxxxxxxf xxx0101010( )()()() , ,().nnnnniiRxxxxxxxf x xxxf x xxxxxn次Newton插值公式容易验证，Newton插值满足插

32、值条件： Nn(xi) = f (xi), i = 0, 1, 2, n. 关于关于Lagrange插值和插值和Newton插值的几点说明插值的几点说明由插值的唯一性质，Ln(x) = Nn(x)。因此，他们的误差也相同，即当 f(x)Cn+1a, b时，有 故得差商的性质4(1)0100( ) ,()()(1)!nnnniiiiff x xxxxxxxn(1)01( ) , , ,( , )(1.19)(1)!nnff x xxxxa ba bn 2. 牛顿插值的误差不要求函数的高阶导数存在，所以更具有一般性。它对 f(x)是由离散点给出的函数情形或 f(x)的导数不存在的情形均适用。3.

33、引入记号: f x0 = f (x0) , t0(x) = 1, t1(x) = x x0, t2(x) = (x x0)(x x1), , tn(x) = (x x0)(x x1) (x xn1)， 于是 n 次Newton插值公式可表为称 t0(x), t1(x), t2(x), , tn(x) 为Newton插值的基函数，而且满001010100( )( ) ( ) ,( ) ,( ) ,nnnniiiNxtx f xt x f xxtx f xxxt x f xx 足如下关系： ti(x) = ti1(x)(x xi1), i =1,2, n； ti(xj) = 0， j i， ti(

34、xj) 0，j i。4. Newton插值具有承袭性质，即5. Newton插值公式的计算量 乘：1+2+ (n1)+ n = n(n+1)/2 除：n + (n1)+ 2+1 = n(n+1)/2第 i 个节点以后非零101( )( )( ) ,.kkkkNxNxtx f xxx(1)n n例例 1.7 给定四个插值点(2,17), (0,1), (1,2), (2,19), 计算 N2(0.9), N3(0.9)。解解 x0= 2，x1=0，x2=1，x3=2，由例1.5知， f x0, x1 = 8， f x0, x1, x2 = 3，f x0, x1, x2, x3 = 5/4，所以，

35、 N2(0.9) = 17 8(0.9+2)+3(0.9+2)0.9 = 1.63; N3(0.9) = N2(0.9)+1.250.9(0.9+2)(0.9 1)= 1.30375.2000101012( )()() ,()() ,178(2)3(2) .Nxf xxxf xxxxxxf xx xxxx320120123( )( )()()() ,5178(2)3(2)(2) (1).4NxNxxxxxxxf xx xxxxxxx x Newton插值的算法插值的算法 用牛顿插值公式，首先要计算各阶差商值，然后再计算插值。牛顿插值由承袭性质容易实现，关键是实现差商。 1. 输入初始数据:节点

36、数 n, 插值点序列x，f(xi), i =0,1,2, n, 及要计算的函数点u； 2. 形成差商表 g k, k =1,2, , n ;（ g k = f x0,xk） 3. 形成插值基函数及插值 t =1, newton = f(x0) 对 i =1,2, , n t = (uxi1) t ; (由tk = (uxk1)tk 1 形成(ux0) (uxi1) ) newton = newton + tgi 4. 输出牛顿插值 Nn(u)=newton。 牛顿插值公式中只用到差商表中对角线上的差商，即 f x0, f x0, x1, f x0, x1, x2, , f x0, x1, xn

37、.可以分别用一维数组 gi 来存放这些差商，i = 0, 1, 2, , n.形成差商具体步骤：形成差商具体步骤：(1) 对gi初始化，即 gi = f (i), i = 0, 1, 2, , n.(2) 除了g0(即 f (x0) 以外，其余函数值在计算一阶差商后 不再使用，因此可用来存放一阶差商，即 g j = f xj 1, xj, j = n, n 1, 2, 1(3) 类似地，计算二阶差商后，除g 1 = f x0, x1外, 其余一 阶差商也不再使用, 可用g j存放二阶差商 f xj 2, xj 1, xj, 即 g j = f xj 2, xj 1, xj, j = n, n

38、1, 2，(4) 最后， gn = f x0, x1, , xn. 计算差商算法：计算差商算法： for i = 0 to n gi = f (xi) for k = 1 to n for j = n to k g j = (g j g j 1)/(xj xj k) 1.4 埃尔米特埃尔米特(Hermite) 插值插值 Hermite插值描述：插值描述： 设 f (x)具有一阶连续导数，已知节点上的函数值和导数值，即 (xi, f (xi), (xi, f (xi), i = 0, 1, 2, , n, 若存在 2n+1次多项式 H2n+1(x) 满足 则称 H2n+1(x) 为 f (x)

39、关于节点xi (i = 0,1,2,n)的Hermite插值多项式。 记 f (xi) = yi, f (xi) = mi, i = 0,1,2,n .2121( )(),( )(),0,1,2, ,niniHxf xHxfxin 三次三次Hermite插值的构造插值的构造 存在性存在性 给定 f (xi) = yi, f (xi) = mi, i = 0, 1. 设 代入插值条件: H3(xi) = f(xi), H3(xi) = f (xi), i =0,1,得2330123( ),Hxaa xa xa x23010203002301121311212030021213112323aa x

40、a xa xyaa xa xa xyaa xa xmaa xa xm230002341110120021111()0.01230123xxxxxxxxxxxx 其解存在唯一, 解 出 a0, a1, a2, a3, 代入即得 H3(x). 基函数法基函数法 每个节点上对应两套基函数：x0: h0(x), g0(x); x1: h1(x), g1(x),满足 或简记为 函数值导数值x0 x1x0 x1 h0(x) h1(x)g0(x)g1(x)1000010000100001(),()0,0,1()0,(),0,1.ijijijijijijh xh xi jg xg xi j 先构造 h0(x)

41、, 设 h0(x) = (a + bx)(x x1)2 ,为方便计算，可设由h0(x0) = 1, 得 a =1；由 所以，同理 设h0(x1)=h0(x1)=0210001( )().xxhxab xxxx00012()0,h xbxx 20100101( )1 2.xxxxh xxxxx20111010( )12.xxxxh xxxxx210001( )(),xxgxa xxxxg0(x0)=g0(x1)=0, g0(x1)=0由 g0(x0) =1, 得 a =1。所以注：注：我们知道，过 x0, x1 两点的Lagrange插值基函数为 显然， 于是，三次Hermite插值的基函数可表

42、为220100110110( )(),( )().xxxxgxxxg xxxxxxx01010110( ),( ).xxxxlxl xxxxx0011011011(),().lxl xxxxx20000021111122000111( )1 2 ()()( ),( )1 2 ()()( ),( )()( ),( )()( ).h xlxxxlxh xl xxxlxgxxx lxg xxx lx 三次Hermite插值多项式为 容易验证，当 f(x)C4a, b时, 三次Hermite插值的误差为 提示：设 作辅助函数 固定x a, b，则(t) 有三个零点 x0, x1, x, 且 x0, x

43、1为二重零点。反复应用Rolle定理可证。300110011( )( )( )( )( )(1.22)Hxhx yh x ygx mgx m3(4)2201( )( )( )( )() () ,( , )(1.23)4!R xf xHxfxxxxa b 2201( )( )() () .R xk x xxxx22301( )( )( )( )() () ,xf tHtk x txtx2005年9月30日 高次高次Hermite插值的构造插值的构造插值基函数法插值基函数法 给定 n+1个节点 x0, x1,xn 上的函数值 f (xi)和导数值 f(xi) ，可以构造 2n+1 次Hermite

44、插值多项式 满足 其中，hi(x), gi(x)分别为对应于函数值和导数值的不高于 2n+1 次插值基函数，它们满足210( ) ( ) ()( )()nniiiiiHxh x f xg x fx2121()(),()(),0,1,2, .niiniiHxf xHxfxin(),()0,0,1, ,()0,(),0,1, .ijijijijijijh xh xi jng xg xi jn完全仿照三次Hermite插值基函数的求法，可得 容易验证， Hermite插值的误差(定理定理)： 当 f(x)C2n+2a, b时, 则存在(a, b), 使 22( )(1 2 ()()( ),(1.24

45、)( )()( ),0,1,2,iiiiiiiih xl xxxlxg xxx lxin01().niiijjj il xxx提示：对li(x)取对数ln，并注意li(xi)=121(22)22201( )( )( )( )() ()()(1.25)(22)!nnnR xf xHxfxxxxxxn例例1.8 给定 f ( 1)=0, f (1)=4, f ( 1)=2, f (1)=0, 求H3(x), 并计算 f (0.5).解解 x0 = 1, x1 = 1, f(0.5)H3(0.5) = 3.5625.3010110( )( ) 0( ) 4( ) 2( ) 04( )2( ).Hxh

46、 xh xgxg xh xgx 221220( 1)11( )1 2(2)(1) ,1 11 ( 1)411( )( 1)(1)(1) ,1 14xxh xx xxgxxxx 2231( )(2)(1)(1)(1) ,2Hxx xxx例例1.9 给定 f(0) = 1, f(1) = 2, f (0) = 2, 构造二次插值函数。解解 (1) 公式法公式法 设 f (1) = m1，有三次Hermite插值公式得， 令 m1 = 0，得到二次Hermite插值函数 P2(x) = x2 + 2x + 1.3010112222122221311( )( )2( )2( )( )0110122 1

47、21 00 10 11 0102(0)(1)0 11 0(12 )(1)2(32 )2 (1)(1)(1)Hxh xh xgxm g xxxxxxxxm xx xx xx xm xxm xm221.xx (2) 插值基函数法插值基函数法 设节点 x0上的二次基函数为t0(x), g0(x),节点 x1上的二次基函数为t1(x), 它们满足 设 由t0(x0) =1,即 b(0 1)=1, 得 b = 1。 由t0(x0) =0,即 a(0 1) + a0 +b=0, 得 a = 1 。所以 同理可设， 分别由条件 001000011101001000()1()0()0()0()1()0()0(

48、)0()1txt xgxtxt xgxtxt xgx01( )()(),txaxb xx01( )()(),txa xxaxb20( )(1)(1)1,txxxx 210001( )() ,( )()(),t xa xxgxb xxxx22110010()1, ()1( ), ( ).t xgxt xxgxxx 22010( )( )2 ( )2( )21.P xtxt xgxxx (3) 扩展牛顿法扩展牛顿法 写成差商表的形式，将带导数的节点X0及其上的函数值重复一遍，无导数的节点X1不重复，即 x f(x) f (x) x0 0 1 x1 0 1 2 X1 x2 1 2 1 1 20010

49、012012( )(),(),()()12( 1)(0)(0)21.P xf xf xxxxf xx xxxxxxxxxx 121212()()1 2,10 1f xf xf x xxx011201202,2 1,10 1f xxf x xf xx xxx 0X 扩展牛顿法扩展牛顿法用牛顿差商表构造Hermite插值 给定插值点 (xi, f(xi), f (xi), i = 1,2, n, 重新定义插值节点序列： z2i = z2i+1 = xi, i = 0,1,2, n, 即 函数值取相应节点上的函数值, 即 f(z2i) = f(z2i+1) = f(xi), i = 0,1,2, n

50、 ； 对于一阶差商，取 012012345221nxxxxnnzzzzzzzz 221Take ,(), 0,1,2, ,iiif zzfxin以偶数节点开始212212212()()Define , 1,2, .iiiiiif zf zf zzinzz以奇数节点开始 二阶以后的各阶差商，直接按差商公式计算。由此得到差商型差商型Hermite插值公式：插值公式：差商表： z f(z) f zi, zj21210010111( ),()()()(1.26)nnkkkHxf zf zzzxzxzxz0001101022121332314432 () () ,() () , () ,()() ,zf