高中数学论文巧解外接球的问题 .docx

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1、精品名师归纳总结巧解外接球问题假如一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多 面体，这个球称为多面体的外接球. 有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查 同学的空间想象才能以及化归才能 .讨论多面体的外接球问题， 既要运用多面体的学问， 又要运用球的学问， 并且仍要特殊留意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法 公式法 1、求正方体的外接球的有关问题例 1 2006 年广东高考题假设棱长为3 的正方体的顶点都在同一球面上，就该球的外表积为.27.例 2一个正方体的各

2、顶点均在同一球的球面上，假设该正方体的外表积为24 ，就该球的体积为.解析：要求球的体积，仍是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体外表积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是23 所以球的半径为3 .故该球的体积为 43.2、求长方体的外接球的有关问题例 3 2007 年天津高考题一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为 1,2,3 ，就此球的外表积为.解析：关键是求出球的半径， 由于长方体内接于球， 所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14 ，故球的外表积为 14.例 4、2006 年全国卷 I已知各顶点都在一个球面上的正四棱

3、柱高为4，体积为 16，就这个球的外表积为.A.16B.20C.24D.32解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2， 2， 4，于是等同于例 3，应选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.求多面体的外接球的有关问题例 5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个球面上，且该六棱柱的体积为8 ，底面周长为，就这个球的体积为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

4、纳总结6x3,x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h49322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解设正六棱柱的底面边长为r正六棱柱的底面圆的半径x ，高为 h ，就有812 ，球心究竟面的距离6x h,3d32 .外接球的半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rr 24.d 21V 球3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2小结此题是运用公式 Rr 2d 2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、构造法 补形法 1、构造正方体例 5 2021 年福建高考题假设三棱锥的三条侧棱两两

5、垂直，且侧棱长均为3 ，就其外接球的外表积是.解析： 此题用一般解法， 需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形运算球的半径 .而作为填空题，我们更想使用较为便利的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，立刻构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图 1，就 AC=BC=CD3 ，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求外表积是 9.如图 1例 3假设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3 ，就其外接球的外表积是.解据题意可知， 该三棱锥的三条侧棱两两垂直，把这个三棱锥可以补成一个棱长为3 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.可

6、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2设其外接球的半径为R ，就有 2 R2223339.R294 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故其外接球的外表积S4R29.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结一般的，假设一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c R ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.就有 2Ra2b2c显现“墙角”结构利用补形学问，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点动身的三条棱长分别为，就体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长即【例题】：在四周体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为， 假设该四周

7、体的四个顶点在一个球面上，求这个球的外表积。解：由于：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四周体外接球的直径为的长即：所以球的外表积为例 6 2003 年全国卷一个四周体的全部棱长都为2 ，四个顶点在同一球面上，就此球的外表积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DBCA.3B.4C.3 3D.6图解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再运算球的半径.在此， 由于全部棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再查找棱长相等的四周体，如图2，四周体 ABDE 满意条件，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB=AD=

8、AE=BD=DEBE2 ，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为3 ，从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而外接球的直径也为3 ，所以此球的外表积便可求得，应选A. 如图 2例 72006 年山东高考题 在等腰梯形 ABCD 中， AB=2DC=2 ，DAB=600， E 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB 的中点，将ADE 与 BEC 分布沿 ED 、 EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P ，就三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结43A. 27B.62C.6

9、68D.24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：如图 3 由于 AE=EB=DC=1 ，DAB=CBE=DEA=600，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ADAE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱锥 P-DCE 为正四周体， 至此， 这与例 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就完全相同了，应选C.PDCAEBDCE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8 2021 年浙江高考题已知球O 的面上四点 A 、B、C、 D， DA图

10、 3ABBC ， DA=AB=BC=3 ，就球 O的体积等于.平面 ABC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：此题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结便可找到球的直径，由于DA平面 ABC， ABBC ，联想长方体中的相应线段关系，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结构造如图 4 所示的长方体，又由于DA=AB=BC=3 ，就此长方体为正方体，所以CD 长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3 .故球 O 的体积等于92.如图 4

11、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DOA2、构造长方体可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 92021 年安徽高考题B已知点A 、B 、C、D 在C同一个球面上，AB图 4平面 BCD ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BCDC ，假设 AB6, AC=213,AD=8，就球的体积是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：第一可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径， O 为球心，OB=OC=4 为半径， 要求 B 、C 两点间的球面距离， 只要求出BOC 即可，在 Rt A

12、BC 中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求出 BC=4 ，所以4BOC=60 0 ，A 故 B、 C 两点间的球面距离是3.如图 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBC本文章在给出图形的情形下解决球心位置、半径大小的问题。D图 5三.多面体几何性质法例 2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为 16，就这个球的外表积是A. 16B. 20C. 24D. 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为 R ，就有4x216 ，解得 x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

13、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2R22224226,R6 .这个球的外表积是4R224.选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结此题是运用 “正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法例 4正四棱锥 SABCD 的底面边长和各侧棱长都为2 ，点 S、A、B、C、D 都在同一球面上，就此球的体积为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解设正四棱锥的底面中心为SO1 ，外接球的球心为O，如图 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所示 .由球的截面的性质，可

14、得OO 1平面 ABCD .DCO1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 SO1平面 ABCD，球心 O 必在SO1 所在的直线上 .A图3B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 ASC中，由SASC2， AC2 ，得SA2SC2AC 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ASC是以 AC为斜边的 Rt.AC41 V 球23 .小结依据题意， 我们可以挑选最正确角度找出含有正棱锥特点元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所

15、求的外接球的半径.此题供应的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法， 该方法的实质就是通过查找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来讨论.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.五 .确定球心位置法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5在矩形 ABCD 中， AB4, BC3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BACD ，就四周体 ABCD 的外接球的体积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结125A. 12B.1259C.1256D.1253D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

16、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解设矩形对角线的交点为O ，就由矩形对角线相互平分，可知OAOBOCOD .点 O 到四周体的四个顶点A、B、C、D 的AOC图4BROA5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结距离相等，即点O 为四周体的外接球的球心，如图2 所示 .外接球的半径2 .故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V 球4R312536.选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结显现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，,求球的体积。解：且，,由于所以知所以所以可得图形为：在中斜边为在中斜边为取斜边的中点，在中在中所以在几何体中，即为该四周体的外接球的球心所以该外接球的体积为，【总结】斜边一般为四周体中除了直角顶点以外的两个点连线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四周体是正四周体外接球与内切球的圆心为正四周体高上的一个点，依据勾股定理知，假设正四周体的边长为时，它的外接球半径为 。可编辑资料 - - - 欢迎下载