2022年空间几何体知识点 .pdf

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1、名师总结优秀知识点空间几何体多面体棱柱棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。棱柱的性质（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形棱锥棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥棱锥的性质：（1） 侧棱交于一点。侧面都是三角形（2） 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方正棱锥正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射

2、影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。正棱锥的性质：（1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。（3） 多个特殊的直角三角形esp ：a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。基本概念公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。公理 3： 过不在同一条直线上的三个点，有

3、且只有一个平面。推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页名师总结优秀知识点异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条

4、直线或既不平行也不相交。异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。两异面直线所成的角：范围为( 0 ，90 ) esp. 空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段 (有且只有一条) esp. 空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点 相交直线；（ 2）没有公共点 平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行直线在平面内 有无数个公共点直线和平面相交 有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。esp. 空间向量法 (找平面的法向量)

5、 规定： a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0 角由此得直线和平面所成角的取值范围为0 ，90 最小角定理 : 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp. 直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a 和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 和平面互相垂直 .直线 a 叫做平面的垂线，平面叫做直线 a 的垂面。直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。直线

6、与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。直线和平面平行 没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。两个平面的位置关系：（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点（2）两个平面的位置关系：两个平面平行-没有公共点；两个平面相交 - 有一条公共直线。a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平

7、面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。b、相交二面角（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。（2） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为0 ，180 （3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。（4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页名师总结优秀知识点（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点

8、为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。esp. 两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。Attention ：二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）空间几何练习题1.1 空间几何体的

9、结构一、选择题1、下列各组几何体中是多面体的一组是（）A 三棱柱四棱台球圆锥B 三棱柱四棱台正方体圆台C 三棱柱四棱台正方体六棱锥D 圆锥圆台球半球2、下列说法正确的是（）A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形3、下面多面体是五面体的是（）A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥4、下列说法错误的是（）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个

10、四棱台可以由两个四棱台拼合而成5、下面多面体中有12 条棱的是（）A 四棱柱B 四棱锥C 五棱锥D 五棱柱6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页名师总结优秀知识点A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个二、填空题7、一个棱柱至少有个面，面数最少的棱柱有个顶点，有个棱。8、一个棱柱有10 个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。图中是一个正方

11、体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面， “程”表示下面。则“祝”“你” “前”分别表示正方体的三、解答题：11、长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB3，BC2，BB11，由 A 到 C1 在长方体表面上的最短距离为多少？12、说出下列几何体的主要结构特征（1）（2）（3）祝你前程似锦A A1 B1 B C C1 D1 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师总结优秀知识点1.2 空间几何体的三视图和直观图一、选择题1、两条相交直线的平行投影是（）A 两条相交直线B 一条直线C

12、一条折线D 两条相交直线或一条直线2、如图中甲、乙、丙所示，下面是三个几何体的三视图，相应的标号是（） 长方体 圆锥 三棱锥 圆柱A B C D 正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图甲乙丙3、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，则这个几何体可能是（）A 长方体或圆柱B 正方体或圆柱C 长方体或圆台D 正方体或四棱锥4、下列说法正确的是（）A 水平放置的正方形的直观图可能是梯形B 两条相交直线的直观图可能是平行直线C 平行四边形的直观图仍然是平行四边形D 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直5、若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A

13、 21倍B 42倍C 2 倍D 2倍6、如图（）所示的一个几何体，在图中是该几何体的俯视图的是（）（）二、选择题7、当圆锥的三视图中的正视图是一个圆时，侧视图与俯视图是两个全等的_三角形。8、三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在_投影下画出来的。9、有下列结论：角的水平放置的直观图一定是角相等的角在直观图中仍然相等相等的线段在直观图中仍然相等若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行其中正确的是_ 。A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页名师总结优秀知识点10、如果一个几何体的三视图是完全相同

14、的，则这个几何体一定是正方体。如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体一定长方体。如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体如果一个几何体的正视图和俯视图都是等腰梯形，则这个几何体一定圆台。其中说法正确的是_ 三、解答题11、根据图中物体的三视图，画出物体的形状正视图侧视图俯视图12、室内有一面积为3 平方米的玻璃窗，一个人站在离窗子4 米的地方向外看，他能看到窗前面一幢楼的面积有多大？（楼间距为20 米）13 空间几何体的表面积和体积(1) 一、选择题1、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A 221B 441C 21D 2412、已

15、知圆锥的母线长为8，底面圆周长为6，则它的体积是( ) A 559B 955C 553D 553精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页名师总结优秀知识点3、若圆台的上下底面半径分别是1 和 3，它的侧面积是两底面面积的2 倍，则圆台的母线长是（）A 2 B 2.5 C 5 D 10 4、若圆锥的侧面展开图是圆心角为1200，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（）A 3：2 B 2：1 C 4：3 D 5：3 5、如图，在棱长为4 的正方体ABCD-A1B1C1D1中， P 是 A1B1 上一点，且 PB1

16、41A1B1 ，则多面体P-BCC1B1 的体积为（）A 38B 316C 4 D 16 6、 两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分，则圆锥被分成的三部分的体积的比是（）A 1：2：3 B 1：7：19 C 3：4：5 D 1： 9：27 二、填空题7、一个棱长为4 的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2，深为 1 的圆柱形的孔，则打孔后几何体的表面积为_ 8、半径为15cm，圆心角为2160 的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的高是_ 9、在三棱锥A-BCD 中，P、Q 分别在棱AC、BD 上，连接 AQ、CQ、BP、PQ，若三棱锥A-BPQ 、B-CPQ 、C-DP

17、Q 的体积分别为6、2、8，则三棱锥A-BCD 的体积为 _- 10、棱长为a，各面均为等边三角形的四面体（正四面体）的表面积为_体积为_ 三、解答题11、直角梯形的一个底角为450，下底长为上底长的1.5 倍，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是,)25(求这个旋转体的体积。12、如图，一个三棱锥，底面ABC 为正三角形，侧棱SASBSC1，030ASB，M、 N 分别为棱C A B D P A1 B1 C1 D1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页名师总结优秀知识点SB 和 SC 上的点，求A

18、MN的周长的最小值。14 空间几何体的表面积和体积(2) 一、选择题1、若三球的表面积之比为1：2： 3，则其体积之比为（）A 3:2:1B 3:2:1C 32:22:1D 7:4:12、 已知长方体一个顶点上三条棱分别是3、 4、 5， 且它的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 （）A 220B 225C 50D 2003、木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地60球表面积的（）A60倍B3060倍C120倍D30120倍、一个四面体的所有棱长为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A3B4C33D6、等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等，它们的表

19、面积的大小关系是（）A 正方体S球S圆柱SB 球S圆柱S正方体SC 圆柱S球S正方体SD 球S正方体S圆柱S6、半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体的表面积的比为（）A65B125M C A B S N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页名师总结优秀知识点C2D以上答案都不对二、填空题7、正方体表面积为2a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是、半径为R 的球放置于倒置的等边圆锥（过轴的截面为正三角形）容器中，再将水注入容器内到水与球面相切为止，则取出球后水面的高度是9、把一个直径为40cm的大铁球熔

20、化后做成直径是8cm的小球，共可做个（不计损耗）。10、三个球的半径之比为：，则最大的球表面积是其余两个球的表面积的倍。三、解答题11、如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋化了，会溢出杯子吗？（半球半径等于圆锥底面半径）12、有三个球和一个边长为的正方体，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比。1.5 空间几何体综合检测一、选择题1、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A 一个圆台，两个圆锥B 两个圆台、一个圆柱C 两个圆台、一个圆柱D 一个圆柱、两个圆锥2、中心

21、角为1350，面积为 B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则 A：B 等于（）A 11：8 B 3：8 C 8：4 D 13：8 3、设正方体的表面积为24，一个球内切于该正方体，则这个球的体积为（）A 6B 332C 38D 34cm4cm12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页名师总结优秀知识点4、若干毫升水倒入底面半径为cm2的圆柱形器皿中，量得水面高度为cm6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，且恰好装满，则水面高度是（）A cm36B cm6C cm3182D cm31235、 64

22、个直径都为4a的球，记它们的体积之和为甲V， 表面积之和为甲S， 一个直径为a的球，记其体积为乙V，表面积为乙S，则（）A 甲V乙V,且甲S乙SB 甲V乙V,且甲S乙SC 甲V乙V,且甲S乙SD 甲V乙V,且甲S乙S6、已知正方体外接球的体积是332，则正方体的棱长为（）A 22B 332C 324D 334二、填空题7、下列有关棱柱的说法：棱柱的所有的面都是平的棱柱的所有棱长都相等棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形棱柱的侧面的个数与底面的边数相等棱柱的上、下底面形状、大小相等，正确的有8、已知棱台两底面面积分别为802cm和 2452cm，截得这个棱台的棱锥高度为35cm，则棱台的体积是9、

23、一个横放的圆柱形水桶，桶内的水占底面周长的41，则当水桶直立时，水的高度与桶的高度的比为10、一个圆台上底半径为5cm，下底半径为10cm，母线 AB 长为 20cm，其中 A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点 M 拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B 点，则这条绳子最短长为三、解答题11、一个三棱柱的三视图如图所示，试求此三棱柱的表面积和体积。322 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页名师总结优秀知识点12、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，用截面截下一个棱锥C-A1DD1 ，求棱锥C-A1DD1 的体积与剩余部分的体积比。A B C D A1B1C1D1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页