2022年空间向量 .pdf

《2022年空间向量 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年空间向量 .pdf（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思公式的来源与推导、概念总结例 1 正四棱柱1111DCBAABCD中，底面边长为6，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点（1）求证：平面EFB1平面11BDDB（2）求点1D到平面EFB1的距离d1 概念：什么是点到平面的距离？过该点做已知平面的垂线段，所作垂线段的长度就叫做点到平面的距离（如下图所示）2怎样用向量表示点到平面的距离？如图， PO 于 O，A 是平面 内任意一点，点P到平面 的距离设为d，n为平面 的一个法向量，则有：| POdcos| PA|,cos|nnPAnPA|nnPA3怎样用坐标法求点到平面的距离？解答例 1 第 2 问如图

2、建立空间坐标系，分析：要求点1D到平面EFB1的距离d，由公式：d|11nnBD，只要求出11BD的坐标和平面EFB1的一个法向量n坐标，11BD坐标很好求，因为1D坐标为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（0，0，4） ，1B坐标为（ 6，6，4） ，所以11BD坐标为：（ 6，6，0） ；下面求平面EFB1的一个法向量n坐标分析：如何求平面的一个法向量n坐标？基本思想：初中的数学思想：“设、列、求”。即设平面的一个法向量n坐标为： (x，y，z)，然后列出它们的方程，最后解

3、方程求出x、y、 z 根据法向量的含义，法向量和平面垂直，故法向量和平面内任何一条直线都垂直，根据直线和平面垂直的判定定理，知道只要和两个不共线的向量垂直即可，在本题中可推出法向量nEB1，FBn1，所以01EBn，01FBn，由于1B坐标为（ 6，6，4） ，E 坐标为（3，6，0） ，F 坐标为（ 6，3，0） ，所以EB1的坐标为：（3，0，4） ，FB1的坐标为：（0，3，4） ，利用坐标法，得到：043043zyzx，由于法向量有长有短，方向可以朝上，还可以朝下，所以法向量有无数多个，但法向量不可以是零向量，故z不能取 0，为简单起见，取3z，得：4x，4y，所以法向量n=4(，4，

4、3）代入公式d|11nnBD，得点1D到平面EFB1的距离为：41414841483)4()4(|30)4(6)4(6|222d例 2 直三棱柱111CBAABC中，若90BAC，1AAACAB，则异面直线1BA与1AC所成的角等于（）A.30 B. 45C. 60D. 901 概念：什么是两条异面直线所成的角？如图：a、b是两条异面直线，O 是空间任意一点，过点O 作aa，作bb，a、b是两条相交直线，它们构成四个角，我们把那个不大于 90的角 称为两条异面直线所成的角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页读书之法

5、,在循序而渐进 ,熟读而精思2 怎样用向量表示两条异面直线所成的角？任何直线都有方向向量，设直线a的方向向量为a，直线b的方向向量为b，a、b两条异面直线所成的角为，向量a、b的夹角a，b有可能是锐角，有可能是直角，也有可能是钝角，当a，b为锐角或直角时，a，b，当a，b为钝角时，a，b所以coscos|a，b|baba3怎样用坐标法求两条异面直线所成的角？解答例 2：如图建立空间坐标系，设异面直线1BA与1AC所成的角为，则|cos1111ACBAACBA，设 AB=a，易求点B 坐标： （0，a，)0，点1A坐标：0(，0，a） ，点 A 坐标：（0，0，0） ，点1C坐标：a(，0，a）

6、 ，所以0(1BA，a，a） ，1ACa(，0，a）2120)(0|00|cos22222222aaaaaaaaaa60故选 C 例 3 如图，BCD与MCD都是边长为2 的正三角形， 平面MCD平面BCD，AB平面BCD，2 3AB. （1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思概念讲解1什么是直线和平面所成的角？如图：直线PA 是平面 的一条斜线， PO，O 为垂足， A 为斜足， OA

7、为 PA 在平面 内的射影，我们把斜线与其射影所成的锐角 叫做斜线和平面所成的角。2 怎样用向量表示直线和平面所成的角？见右下图，设直线PA 和平面 所成的角为 ，则APO90，而PAO可看成向量PA和向量PO的夹角，n为平面 的一个法向量，显然n与向量PO共线，故法向量n和向量PA的夹角与向量PA和向量PO的夹角相等或互补，即PA，POPA，n或PA，n，所以)90sin(sinAPOAPOcosPAcos，POcos|PA，n|nPAnPA3怎样用坐标法求直线和平面所成的角？讲解例 3 的第（ 1）问如图建立空间坐标系，设直线AM与平面BCD所成的角的大小为，AB平面BCDBA是平面 BC

8、D 的一个法向量故|sinBAAMBAAM点 A 坐标： （0，0，32）点 B 坐标： （0， 0，0）点 M 坐标：（23，23，3）（注明：先作MOCD 于 O，过点 C 作 CEBD 于 E，CGy 轴于 G，过点 O 作 OFBD于 F， OHy 轴于 H，再利用坐标定义求出点M 坐标）于是AM23(，23，3)，BA（0， 0，32）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思222222)32(00)3()23()23(|323023023|sin126622451.什么是二

9、面角？（理科必考）两个平面相交，构成四个“角”，我们把其中一个移出（见右图），得到的空间图形叫做二面角。2什么是二面角的平面角？在二面角棱l上任取一点O，过 O 在平面 内作 OA l在平面 内作 OBl，则 AOB 就是二面角的平面角3什么是二面角的大小？就是二面角平面角的大小。4怎样用向量表示二面角平面角？如图： PA平面 ，PB平面 ，则 PAl，PBl，所以l平面 PAB ，设平面PAB向四周延展后交l于点 C，并连 CA、CB，则有： CAl，CBl，故 ACB 是二面角平面角；另一方面，四边形PBCA 内角和等于360，而CBPCAP=90 ，所以二面角平面角ACB 与 APB 互

10、补作向量PB，向量 PA，则 APB 等于向量PB、向量PA 的夹角设1n、2n分别是平面 、的法向量，它们的夹角1n，2n与PA，PB相等或互补设二面角平面角的大小为，则 1n，2n或 1n，2n5怎样用坐标法求二面角的大小？解答例 3 的第（ 2）问求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值. 分析：容易知道平面BCD 的一个法向量为1n=（0， 0，1）所以只要求平面ACM 的法向量坐标即可。设平面 ACM 的法向量xn(2，y，z） ，由2nAC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进

11、,熟读而精思2nAM可得2nAC=0，2nAM=0，而 A（0，0，32） ，M（23，23，3） ，C1(，3，0）AM23(，23，3)3(23，1，2 )AC1 (，3，32)所以0323023zyxzyx消x，得zy2取1z，得2y，0 x0(2n，2，1）1cosn，2n5551112000平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值为552。例 4 如图， 四棱锥PABCD中， 底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，2PAAB，点E是棱PB的中点 . （1）证明：AE平面PBC；（2）若1AD，求二面角BECD的平面角的余弦值. 本例试用坐标法和向量工具证明直线和平面垂直（1）证明：

12、如图建立空间坐标系，设ADaA（0，0，0） ，E（0，22，22） ，P（0， 0，2）B（0，2，0） ，C（a，2，0）AE（0，22，22） ，PB（ 0，2，)2，BC（a，0，0）AE PB0)2(2222200精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思AE BC002202200AEPB， AEBC 而 PBBCB AE平面PBC（2）AE平面PBC，AE（ 0，22，22）平面 BEC 的一个法向量0(1n， 1，1）设平面 DEC 的一个法向量xn(2，y，z）E（0，

13、22，22） ，C（1，2，0） ，D（1，0，0）1 (ED，22，22）2(22，1，)10(DC，2， 0）(20，1，0）由2n0ED，2n0DC，得：002yzyxxz2取1x，得2z1(2n， 0，2）1cosn，2n3221011033二面角BECD的平面角为钝角二面角BECD的平面角的余弦值为33。例 5 如图，四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为2 的正方形，平面PAB平面ABCD，PBPA，M为PC上的点，MB平面PAC。（1）求平面ABC与平面PAC夹角的正弦值；（2）求点D到平面PAC的距离。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

14、 - - - -第 7 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解：平面PAB平面ABCD，作 PO AB，则 PO平面ABCD，以 O 为坐标原点建立空间坐标系，见右下图设 POh，PCPM，则 P（0，0，h） ，A（0，1，0） ，B（0，1， 0） ，C（2，1，0） ，0(PB，1，)h，AP（0，1，h） ，2(PC，1，)h，AC（2， 2，0）PM（2，1，)h2(，)hBMPMPB2(，)h0(，1，)h2(，1，)hhMB平面PAC。BM0AC，BM0AP即：0)(1)1(0200)(2) 1(22hhhhh解得：31，1h（1） PO平面ABCD平面 ABC 的一个法向量1n（0，0，1）又MB平面PAC，BM2(，1，)hh32(，32，)32(321，1， 1）平面 PAC 的一个法向量2n（1，1，1）1cosn，2n3331平面ABC与平面PAC夹角的正弦值为36。（2）DC（0， 2，0）点D到平面PAC的距离|22nnDCd3|10)1(210|332精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页