2022年空间向量与立体几何单元试题 .pdf

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1、空间向量与立体几何单元试题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页2 作者：日期：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页3 空间向量与立体几何习题一、选择题（每小题5 分，共 50 分）1. 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 AC 与 BD 的交点 . 若11BA=a，11DA=b，AA1=c，则下列向量中与MB1相等的向量是A. 21a+21b+c B.21a+21b+cC.21a21b+c D. 21a21b+c2. 下

2、列等式中，使点 M与点 A、B、C一定共面的是A.OCOBOAOM23 B.OCOBOAOM513121C.0OCOBOAOM D.0MCMBMA3. 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点 E、F 分别是 AB、AD 的中点，则DCEF等于A.41 B.41 C.43 D.434. 若)2, 1 (a，)1 , 1,2(b，a与b 的夹角为060，则的值为A.17 或-1 B.-17或 1 C.-1 D.1 5. 设)2, 1 , 1 (OA，)8 ,2 , 3(OB，)0, 1 , 0(OC，则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为A.213 B.253 C.453

3、 D.4536. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是ABCD7. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是正圆三正精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页4 A. 9B. 10C. 11D. 128. 如图， ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是A. BD平面 CB1D1 B. AC1BDC. AC1平面 CB1D1 D. 异面直线 AD 与 CB1所成的角为 609. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则 BC1与平面 BB1D

4、1D所成角的正弦值为A.63B.552C.155D.10510. ABC 的三个顶点分别是)2, 1, 1(A，)2, 6,5(B，)1, 3, 1(C，则 AC边上的高 BD长为A.5 B.41 C.4 D.52二、填空题（每小题5 分，共 20 分）11. 设)3 ,4,(xa，),2,3(yb，且ba/，则 xy . 12. 已知向量) 1 , 1,0(a，)0, 1 , 4(b，29ba且0，则=_. 13. 在直角坐标系xOy中，设 A（-2，3） ，B（3，-2 ） ，沿x轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时112AB，则的大小为14. 如图， PABCD 是正四棱锥，111

5、1ABCDA B C D是正方体，其中2,6ABPA，则1B到平面 P AD 的距离为 . 三、解答题（共80分）俯 视 正 ( 主 )侧 ( 左 )2 3 2 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页5 15.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱 PA的长为 2，且 PA与 AB 、AD的夹角都等于 600， M 是 PC的中点，设cbaAPADAB,（1）试用cba,表示出向量BM；（2）求 BM 的长16.（本小题满分 14 分）如下的三个图中，

6、 上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）. （1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC ，证明：BC 面 EFG. 17.（本小题满分 12 分） 如图，在四面体 ABCD中，CBCDADBD， 点 EF，分别是 ABBD，的中点求证：（1）直线/EF面 ACD ；（2）平面 EFC面 BCD 224侧视图正视图624GEFCBDCABDMPDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11

7、 页6 俯视图侧视图正视图121121EDCBAP18.（本小题满分 14 分） 如图，已知点 P 在正方体DCBAABCD的对角线BD上， PDA=60 .（1）求 DP 与CC 所成角的大小；（2）求 DP 与平面DDAA所成角的大小 .19. （本小题满分 14 分）已知一四棱锥PABCD 的三视图如下， E 是侧棱 PC上的动点（1）求四棱锥 PABCD 的体积；（2）是否不论点 E 在何位置，都有 BDAE？证明你的结论 ;（3）若点 E 为 PC 的中点，求二面角DAEB 的大小20. （本小题满分 14 分）如图，已知四棱锥PABCD ，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD

8、 ，60ABCo， EF，分别是 BCPC，的中点（1）证明： AEPD ；（2）若 H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角 EAFC的余弦值P B E C D F A DCBAPDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页7 练习题参考答案一、选择题1.)(21111BCBAAABMBBMB=c+21(a+b)=21a+21b+c，故选 A. 2.1),(zyxRzyxOCzOByOAxOMCBAM且四点共面、由于MCMBMAMCMBMACBA0由于都不正确、选项.)()

9、()(共面使所以存在MCMBMAMCyMBxMAyx, 1, 1四点共面，、为公共点由于CBAMM故选 D. 3. 的中点分别是ADABFE,BDEFBDEFBDEF21,21/且,41120cos1121,cos21210DCBDDCBDDCBDDCEF故选 B.4.B 5.B 6.D 7. D 8. D 9. D 10. 由于4,cosACACABACABABAD， 所以522ADABBD, 故选 A 二、填空题11. 9 12.3 13. 作 AC x 轴于 C，BD x 轴于 D，则DBCDACABcos6)180cos(,0, 0, 2, 5, 30DBACDBACDBCDCDACD

10、BCDAC000222222222120,1800.21cos),cos600(2253)112()(2)(由于ACDBDBCDCDACDBCDACDBCDACAB14. 以11BA为x轴，11DA为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系设平面 PAD 的法向量是( , )mx y zu r，(0,2,0),(1,1,2)ADAPu uu ru uu rQ，02,0zyxy，取1z得( 2,0,1)mu r，1( 2,0,2)B Au uu rQ，1B到平面 PAD 的距离1655B A mdmuu ur u ru r.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

11、- - - -第 7 页，共 11 页8 三、解答题15. 解： （1） M 是 PC的中点，)(21)(21ABAPADBPBCBMcbaacb212121)(21（2）2, 1,2, 1cbaPAADAB由于160cos12,0,60,00cbcabaPADPABADAB由于),(21cbaBM由于23)110(221141)(241)(4122222222cbcabacbacbaBM2626的长为，BMBM.16. 解： （1）如图（2） 所求多面体体积VVV长方体正三棱锥11446222322284(cm )3（3）证明： 在长方体 ABCDA B C D 中，连结 AD ，则 ADB

12、C因为 EG，分别为 AA ， AD 中点，所以 ADEG，从而 EGBC又 BC平面 EFG ，所以 BC 面 EFG 17. 证明： （1）E,F 分别是 ABBD，的中点，EF 是ABD 的中位线， EFAD，AD 面 ACD ，EF面 ACD ，直线 EF面 ACD ；（2）ADBD ，EFAD，EFBD ，CB=CD，F 是的中点， CFBD 又 EF CF=F,BD面 EFC ，BD面 BCD ，面 EFC面 BCD. A B C D E F G ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页9 18. 解

13、：如图，以 D 为原点， DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz则(10 0)DAu uu r，(0 01)CCuuu u r，连结 BD ， B D 在平面 BBD D 中，延长 DP 交 B D 于 H 设(1)(0)DHmmmu uu u r，由已知60DH DAouu uu r uuu r，由cosDA DHDA DHDA DHu uu r u uu u ru uu r u uu u ru uu r uu uu rg，可得2221mm解得22m，所以22122DHuu uu r，（1）因为22001 1222cos212DH CCuuu u r uuuu r，所以45DH CCouu

14、u u r uu uu r，即 DP 与 CC 所成的角为45o（2）平面 AAD D 的一个法向量是(0 1 0)DCuuu r， ，因为22011 0122cos212DH DCuuu u r u uu r，所以60DH DCouuu u r uuu r，可得 DP 与平面 AAD D 所成的角为30o19. 解： （1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥PABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱 PC底面 ABCD，且 PC=2.1233PABCDABCDVSPCY(2)不论点 E 在何位置，都有BDAE 证明如下：连结 AC，ABCD 是正方形， BDAC PC底面 ABCD 且 BD平

15、面 ABCD BDPC 又 ACPCCIBD平面 PAC 不论点 E 在何位置，都有 AE平面 PAC 不论点 E 在何位置，都有 BDAE (3)解法 1：在平面 DAE 内过点 D 作 DGAE 于 G，连结 BG CD=CB,EC=EC， Rt ECD Rt ECB ，ED=EB AD=AB ， EDAEBA， BGEA DGB 为二面角 DEAB 的平面角BCDE，ADBC，ADDE 在 RADE 中AD DEDGAE=23=BG 在DGB 中，由余弦定理得212cos222BGDGBDBGDGDGBA B C D P ABCDx y z H 精选学习资料 - - - - - - -

16、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页10 zyxEDCBAPDGB =23，二面角 DAEB 的大小为23.解法 2：以点 C 为坐标原点， CD 所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示：则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)DABE,从而( 1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1)DEDABABEuuu ruu u ruu u ruuu r设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为( , , ),( , , )ma b cna b cu rr由法向量的性质可得：0,0acb，0,0abc令1, 1cc，则1

17、, 1ab，(1,0,1),(0,1, 1)mnu rr设二面角 DAEB 的平面角为，则1cos2| |m nmnu r ruu rr23，二面角 DAEB 的大小为23.20.（1）证明：由四边形 ABCD为菱形，60ABCo，可得ABC为正三角形因为 E 为 BC 的中点，所以 AEBC 又 BCAD，因此 AEAD 因为 PA平面 ABCD ， AE平面 ABCD ，所以 PAAE 而 PA平面 PAD ， AD平面 PAD 且 PAADAI，所以 AE平面 PAD 又 PD平面 PAD ，所以 AEPD （2）解：设2AB， H 为 PD 上任意一点，连接AHEH，由（1）知 AE平

18、面 PAD ，则EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角在 RtEAH中，3AE，所以当 AH 最短时，EHA 最大，即当 AHPD时，EHA 最大此时36tan2AEEHAAHAH，因此2AH又2AD，所以45ADHo，所以2PA解法一： 因为 PA平面 ABCD， PA平面 PAC ，所以平面 PAC平面 ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页11 过 E 作 EOAC 于O，则 EO平面 PAC ，过 O作OSAF 于 S，连接 ES，则ESO为二面角 EAFC 的平面角，在 RtAOE中，3sin3

19、02EOAEog，3cos302AOAEog，又 F 是 PC 的中点，在 RtASO中，3 2sin454SOAOog，又223930484SEEOSO，在 RtESO中，3 2154cos5304SOESOSE，即所求二面角的余弦值为155解法二： 由（1）知 AEADAP，两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又EF，分别为 BCPC，的中点，所以(0 0 0)( 31 0)(31 0)(0 2 0)ABCD， ， ，3 1(0 0 2)( 3 0 0)122PEF，所以3 1(30 0)122AEAFuuu ru uu r， ，设平面 AEF 的一法向量为111()xyz， ，m，则00AEAFu uu rgu uu rg，mm因此11113031022xxyz，取11z，则(0 21)，m，因为 BDAC， BDPA ， PAACAI，所以 BD平面 AFC ，故BDu uu r为平面 AFC 的一法向量又(3 3 0)BDu uu r，所以2 315cos5512BDBDBDu uu ruuu rgu uu rg，mmm因为二面角 EAFC 为锐角，所以所求二面角的余弦值为155P B E C D F A y z x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页