算法设计与分析(详细解析(含源代码)).docx

《算法设计与分析(详细解析(含源代码)).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《算法设计与分析(详细解析(含源代码)).docx（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、算法设计与分析(详细解析(含源代码) 常用算法设计方法 要使计算机能完成人们预定的工作，首先必须为如何完成预定的工作设计一个算法，然后再根据算法编写程序。计算机程序要对问题的每个对象和处理规则给出正确详尽的描述，其中程序的数据结构和变量用来描述问题的对象，程序结构、函数和语句用来描述问题的算法。算法数据结构是程序的两个重要方面。 算法是问题求解过程的精确描述，一个算法由有限条可完全机械地执行的、有确定结果的指令组成。指令正确地描述了要完成的任务和它们被执行的顺序。计算机按算法指令所描述的顺序执行算法的指令能在有限的步骤内终止，或终止于给出问题的解，或终止于指出问题对此输入数据无解。 通常求解一

2、个问题可能会有多种算法可供选择，选择的主要标准是算法的正确性和可靠性，简单性和易理解性。其次是算法所需要的存储空间少和执行更快等。 算法设计是一件非常困难的工作，经常采用的算法设计技术主要有迭代法、穷举搜索法、递推法、贪婪法、回溯法、分治法、动态规划法等等。另外，为了更简洁的形式设计和藐视算法，在算法设计时又常常采用递归技术，用递归描述算法。 一、迭代法 迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行： （1）选一个方程的近似根，赋给变量x0； （2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将

3、结果存于变量x0； （3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。 若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为： 迭代法求方程的根 x0=初始近似根； do x1=x0； x0=g(x1)；/*按特定的方程计算新的近似根*/ while ( fabs(x0-x1)Epsilon)； printf(“方程的近似根是%fn”，x0)； 迭代算法也常用于求方程组的根，令 X=（x0，x1，x n-1） 设方程组为： x i=g i(X) (I=0，1，n-1) 则求方程组根的迭代算法可描述如下

4、： 迭代法求方程组的根 for (i=0;idelta) delta=fabs(yi-xi)； while (deltaEpsilon)； for (i=0;i0;j-) if (*ptj*ptj-1) break; if (j=0) break; for (i=V ARIABLES-1;i=j;i-) if (*pti*pti-1) break; t=*ptj-1;* ptj-1 =* pti; *pti=t; for (i=V ARIABLES-1;ij;i-,j+) t=*ptj; *ptj =* pti; *pti=t; 从上述问题解决的方法中，最重要的因素就是确定某种方法来确定所有的

5、候选解。下面再用一个示例来加以说明。 背包问题 问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。 设n个物品的重量和价值分别存储于数组w 和v 中，限制重量为tw。考虑一个n元组（x0，x1，x n-1），其中x i=0 表示第i个物品没有选取，而x i=1则表示第i个物品被选取。显然这个n元组等价于一个选择方案。用枚举法解决背包问题，需要枚举所有的选取方案，而根据上述方法，我们只要枚举所有的n元组，就可以得到问题的解。 显然，每个分量取值为0或1的n元组的个数共为2n个。而每个n元组其实对应

6、了一个长度为n的二进制数，且这些二进制数的取值范围为02n-1。因此，如果把02n-1分别转化为相应的二进制数，则可以得到我们所需要的2n个n元组。 maxv=0; for (i=0;i0;i-) printf(“%d”,ai); printf(“nn”); void main() int aMAXN,n,k; printf(“Enter the number n: “); scanf(“%d”,&n); a0=1; a1=1; write(a,1); for (k=2;k1时）。 写成递归函数有： int fib(int n) if (n=0) return 0; if (n=1) retu

7、rn 1; if (n1) return fib(n-1)+fib(n-2); 递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，为计算fib(n)，必须先计算fib(n-1)和fib(n-2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中， 当n为1和0的

8、情况。 在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。 在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。 由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第

9、n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。 组合问题 问题描述：找出从自然数1、2、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为：（1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1 （4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1 （7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1 （10）3、2、1 分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的

10、数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a 存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在ak中，当一个组合求出后，才将a 中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 # include # define MAXN 100 int aMAXN; void comb(int m,int k) int i

11、,j; for (i=m;i=k;i-) ak=i; if (k1) comb(i-1,k-1); else for (j=a0;j0;j-) printf(“%4d”,aj); pr intf(“n”); void main() a0=3; comb(5,3); 背包问题 问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。 设n件物品的重量分别为w0、w1、w n-1，物品的价值分别为v0、v1、v n-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于

12、数组option ，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop 。假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品；当前方案已包含的物品的重量之和为tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 对于第i件物品的选择考虑有两种可能： （1）考虑物品i被选择，这种可能

13、性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。 （2）考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 按以上思想写出递归算法如下： try(物品i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值tv) /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ if(包含物品i是可以接受的) 将物品i包含在当前方案中； if (imaxV) if (in-1) find(i+1,tw,tv-ai.value); else for (k=0;kn;k+) optionk=copk; maxv=tv-ai.value; void main

14、() int k; double w,v; printf(“输入物品种数n”); scanf(“%d”,&n); printf(“输入各物品的重量和价值n”); for (totv=0.0,k=0;kn;k+) scanf(“%1f%1f”,&w,&v); ak.weight=w; ak.value=v; totV+=V; printf(“输入限制重量n”); scanf(“%1f”,&limitV); maxv=0.0; for (k=0;kn;k+) copk=0; find(0,0.0,totV); for (k=0;kn;k+) if (optionk) printf(“%4d”,k+1); printf(“n总价值为%.2fn”,maxv); 作为对比，下面以同样的解题思想，考虑非递归的程序解。为了提高找解速度，程序不