（整理版）广州育才中学高三数学各类题型综合训练系列2.doc

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1、 抽象函数1. 函数y = f (x)(xR，x0)对任意的非零实数，恒有f()=f()+f(),试判断f(x)的奇偶性。2 定义在-2，2上的偶函数，f (x)在区间0，2上单调递减，假设f (1-m)0.(1)求;(2)求和;(3)判断函数的单调性,并证明.14.函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;.(1)求的值;(2)求证: 在R上是单调减函数;(3)假设且,求证:.15.函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明: 在R上单调递减;(3)设A=,B=,假设=,试确定的取值范围.16.函数是定义在R上的增函数,设F.(1)用函数单调性的定

2、义证明:是R上的增函数;(2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形.17.函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.(1)求的值;(2)证明: 函数是周期函数;(3)假设求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.18函数对于x0有意义，且满足条件减函数。1证明：；2假设成立，求x的取值范围。19设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有1试判断函数的奇偶性；2试求方程=0在闭区间-，上的根的个数，并证明你的结论20. 函数fx对任意实数x，y，均有fxyfxfy，且当x0时，fx0，f12，求fx在区间2，1上的值域。21. 函数fx对任意，满足条件fxfy2 +

3、 fxy，且当x0时，fx2，f35，求不等式的解。22. 设函数fx的定义域是，满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：1f0； 2对任意值x，判断fx值的正负。23. 是否存在函数fx，使以下三个条件：fx0，x N；f24。同时成立？假设存在，求出fx的解析式，如不存在，说明理由。24. 设函数yfx的反函数是ygx。如果fabfafb，那么gabgagb是否正确，试说明理由。25. 己知函数fx的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有；fa1a0，a是定义域中的一个数；当0x2a时，fx0。答案：1. 解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+

4、f (x) 为了求f (-1)的值，令=1，=-1，那么f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。2. 分析：根据函数的定义域，-m，m-2,2，但是1- m和m分别在-2，0和0，2的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，那么f (x)有性质f-x)= f (x)=f ( |x| )，就可防止一场大规模讨论。解：f (x)是偶函数， f (1-m)f(m) 可得，f(x)在0，2上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1m0, 令得,(2)

5、任取任取,那么令,故 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;函数是R上的单调减函数.(3) 由12知，而15. (1)证明:令,那么当时,故,当时,当时,那么(2)证明: 任取,那么,0,故0是R上的增函数;(2)设为函数=的图象上任一点,那么点关于点(的对称点为N(),那么,故把代入F得, =-函数=的图象关于点(成中心对称图形.17.(1)解:为R上的奇函数, 对任意都有,令那么=0(2)证明: 为R上的奇函数, 对任意都有,的图象关于直线对称, 对任意都有, 用代得,即是周期函数,4是其周期.(3)当时，当时，当时，图象如下： y -2 -1 0 1 2 3 4 5

6、 6 x18.(1)证明：令，那么，故2，令，那么， 成立的x的取值范围是。19解:1由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(2)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,上有402个解,在-.0上有400个解,所以函数在-,上有802个解.20. 解：设，当，即，fx为增函数。在条件中，令yx，那么，再令xy0，那么f02 f0， f00，故fxfx，fx为奇函数，f1f12，又f22 f14， fx的值域为4，2。21. 解：设，当，那么， 即，fx为单调增

7、函数。 ， 又f35，f13。， 即，解得不等式的解为1 a 3。22. 解：1令y0代入，那么，。假设fx0，那么对任意，有，这与题设矛盾，fx0，f01。2令yx0，那么，又由1知fx0，f2x0，即fx0，故对任意x，fx0恒成立。23. 分析：由题设可猜测存在，又由f24可得a2故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：1x1时，又x N时，fx0，结论正确。2假设时有，那么xk1时，xk1时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时。24. 解：设fam，fbn，由于gx是fx的反函数，gma，gnb，从而，gmgngmn，以a、b分别代替上式中的m、n即得gabgagb。25. 解：1fx的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有，在定义域中。，fx是奇函数。2设0x1x22a，那么0x2x12a，在0，2a上fx0，fx1，fx2，fx2x1均小于零，进而知中的，于是fx1 fx2，在0，2a上fx是增函数。又，fa1，f2a0，设2ax4a，那么0x2a2a，于是fx0，即在2a，4a上fx0。设2ax1x24a，那么0x2x12a，从而知fx1，fx2均大于零。fx2x10，即fx1fx2，即fx在2a，4a上也是增函数。综上所述，fx在0，4a上是增函数。