最新参数辨识模型幻灯片.ppt

《最新参数辨识模型幻灯片.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新参数辨识模型幻灯片.ppt（51页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、据等等)。如果利用这些信息，连同刻划关键量之间的表达式可以确定未知参数，则实际问题就迎刃而解了。 通常将确定未知参数的过程称为“参数辨识”，而将上述一类问题的数学描述称为参数辨识模型。参数辨识模型应用非常广泛，刻划关键量之间关系的表达式也是多种多样的，既可证实，P的施肥量再多也不会引起产量的明显下降。于是可以认为随着P的施肥量大大增加，生菜产量趋于一个渐近值，称为极限产量。 模型建立模型建立：用y表示生菜产量，P表示P肥的施肥量。我们选取单调增加、有一条水平渐近线的函数作为数学模型。例如双曲线：,PdcaPy显然，当P趋于无穷时，y趋于a，因此参数a即为极限产量。令y=0，得,0PdcaP解得

2、acP 。这表明不施P肥时，土壤中含有的P营养素相当于施加P肥量acP0。从而得,)()(00PPbPPay其中b=dP0。 至此，问题归结为参数a ，b， P0的辨识。用Pj (j=1,2,10)表示实验时采用的十种不同的P肥施肥量， 为对应于施肥量 Pj的生菜实际产量，若参数 a ，b， P0已知，则当施肥量为Pj时，生菜的理论产量为jy(*)()(00PPbPPayjjj。我们可以用使理论产量与实际产量误差的平方和达到最小的原则来确定a , b , P0。引入误差平方和函数10120)(),(jjjyyPbaE101200,)()(jjjjPPbPPay就可以用求多元函数极值的数值方法，

3、如高斯牛顿法或直接搜索法求得最小值点a , b , P0之值即为这些未知参数应取之值。用Mathematica的Find Minimum函数或MATLAB的fmins函数也可求得最小值。利用表中数据，由上述软件可得a30.52,b 189.92, P0 44.34。 若对(*)式取倒数得,1110PPabay令,11a,2ab得02111PPy。由上式可见，若设法测得土壤中原来含有的P营养素相当的肥料量P0，参数1，2可用最小二乘法直接求得，从而得到参数a，b之值。 对于产量与K施肥量的关系，可以类似得到。但对于产量与N施肥量的关系，必须另作讨论，因为N肥过量会导致产量显著下降，用二次函数刻划

4、产量对N施肥量的依赖关系更为合适。3.薄膜渗透率的测定 某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿透它从高浓度的溶液向低浓度溶液扩散的功能，在试制时需测定薄膜被这种分子穿透的能力。测定方法如下：用面积为S的薄膜将容器分成体积分别为VA和VB的两部分，在两部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。此时，该物质分子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液中扩散。通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系数K表征了薄膜被该物质分子穿透的能力，称为渗透率。定时测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度值，以此来确定K的数值。模型假设模型假设： (1)薄膜两侧的溶液始终是均匀的，即在任何时刻膜两侧的每一处溶

5、液的浓度都相同；(2)薄膜是双向同性的，即物质从膜的任何一侧向另一侧渗透的性能是相同的。模型建立模型建立：设t时刻，膜两侧溶液的浓度分别为CA(t)和CB(t) ，初始时刻两侧溶液浓度分别为A和B ，单位均为mg/cm3。又设B侧在tj时刻测得的浓度为Cj (j=1,2,N) 。 考察时段t , t+t薄膜两侧容器中该物质质量的变化。以容器的A侧为例，在该时段物质质量的增量为：VACA(t + t) VACA(t)。另一方面，从B侧渗透至A侧的该物质质量为： SK(CB CA) t。由质量守恒，这二者应该相等，故有VACA(t + t) VACA(t)= SK(CB CA) t。两边除以 t

6、，并令 t0得)(ABAACCVSKdtdC。对B侧类似有)(BABBCCVSKdtdC。连同初始条件，我们得到了薄膜两侧溶液浓度满足的微分方程组的初值问题：BBAABABBABAACCCCVSKdtdCCCVSKdtdC) 0 (,) 0 (),(),(。(*)又注意到整个容器的溶液中含有该物质的质量应该不变，所以VACA(t )+ VBCB(t)=常数= VAA + VBB 。由此解得),()(tCVVVVtCBABABABA代入(*)式中的第二式得),()11(ABBABBABVVSKCVVSKdtdC再利用初始条件CB(0) =B ，即可解得.)()11()(tVVSKBAeVVVVV

7、VVtCBAABABABBAAB 至此，问题归结为利用CB在时刻tj的测量数据Cj(j=1,2,N)来辨识K， A和B 。我们可用CB(tj)与Cj的误差平方和最小的原则来决定。即求函数NjjjBBACtCKE12)(),(的最小值点。参数的辨识参数的辨识：引入,BABBAAVVVVa,)(BAABAVVVb21),()11(jNjCbeabaKEjBAtVVSK辨识问题化为求函数的最小值点(K,a,b)。例如，设VA=VB=100cm3,S=10cm2，对容器的B部分溶液浓度的测试结果如下：tj (s) Cj (10-3 mg/cm2 )100 200 300 400 500 600 700

8、 800 900 10004.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59此时，极小化的函数为101220,),(jjKjCbeabaKE利用MATLAB软件中的fmins函数求得K=0.01012 ，a=0.007，b=0.003 。进一步求得A =0.01(mg/cm3)，B =0.004 (mg/cm3) 。4.用放射性同位素测定局部脑血流量问题的提出问题的提出： 脑血流量是诊断和治疗许多脑血管疾病的主要依据。近年来出现了以放射性同位素作为示踪剂测定人脑局部血流量的方法。测量装置主要由安装多个(8、16或32个)闪烁计数器探头的头盔和安装

9、一个闪烁计数器探头的面罩及将闪烁计数器的计数转换成数字信息并输入计算机的装置。 在测试时，用头盔接触受试者头部的固定位置，令受试者戴上面罩，并让受试者吸入或静脉注射剂量为500至1000毫居里的放射性同位素。从此时起由计算机控制，自动、定时地记录并存储各个探头(包括面罩中的探头)的放射性计数率约十分钟。然后通过计算机处理这些记录数据，得到每个探头附近区域的脑血流量，即局部脑血流量。 一般采用133Xe作为示踪剂，它随血液的流动而流动，对人体的危害极小，并且由于衰变引起的放射性计数率的减少可以忽略不计。 如何从测量头部放射性计数率和面罩中的放射性计数率确定局部脑血流量？模型假设模型假设： 大脑皮

10、层主要由灰质和白质组成。血在灰质和白质中的流量是不同的。实验表明血在灰质中的流量比在白质中的流量大约高5-10倍。 (H1)脑组织由灰质和白质两种成分组成，单位脑组织中灰质与白质的质量比为w1:w2 (未知)；单位质量的灰质组织中容纳体积为1的血液，单位质量的白质组织中容纳体积为2的血液。灰质中的血液不会流入白质组织，白质中的血液也不会流入灰质组织。(H2)血液循环处于一种稳定平衡的状态，流入脑组织中的动脉血和流出脑组织进入静脉的血液量是相等的，不随时间的变化而变化。(H3) 133Xe随着血液的流动而流动，与脑组织相结合而停留在脑组织中的示踪剂十分微少，可以忽略不计；同时在测量过程中，由衰变

11、引起的示踪剂放射性减少也可忽略不计。模型建立模型建立：Fick原理原理：考察单位质量(1克)脑组织中示踪剂的数量。在这部分脑组织中，放射性示踪剂数量的改变等于动脉血输入的示踪剂量与静脉血带走的示踪剂量之差。 现对灰质和白质分别应用Fick原理。设单位质量灰质和白质血流量分别为f1和f2，单位为：毫升/克分。即每分钟从每克脑灰质或脑白质中流出的血液为f1毫升或f2毫升，又设 t 时刻流入脑组织的动脉血中放射性示踪剂的浓度为Ca(t)；时刻t，1克脑组织中灰质血液中的示踪剂含量和白质血液中的示踪剂含量分别为Q1(t)和Q2(t)。 现建立灰质组织中示踪剂的平衡关系，考察时段t , t+t中灰质组织

12、中示踪剂含量的变化，即 Q1= Q1(t+t) Q1(t)。在1克脑组织中，灰质的质量为w1克， t时间流出的血液体积为f 1w1t ，灰质组织容纳的血液中示踪剂的浓度为 Q1(t)/(1w1)。因此，由静脉血从灰质中带走的示踪剂量为VQ1f 1w1t Q1(t)/(1w1)= t Q1(t) f1 /1。由(H2) ，在这段时间内流入灰质的动脉血量等于流出灰质的血液量，为f 1w1t，又由动脉血中示踪剂的浓度为Ca(t) ，于是由动脉血输入的示踪剂量为AQ1f 1w1t Ca(t) 。由Fick原理，有Q1=AQ1,1VQ即Q1(t+t) Q1(t)= f 1w1t Ca(t) t Q1(t

13、) f1 /1。两边除以t ，令t0，得dtdQ1f 1w1Ca(t) Q1(t) f1 /1 (1)同理可得dtdQ2f 2w2Ca(t) Q2(t) f2 /2 (2)令k1=f1 /1， k2=f2 /2 ，(1)，(2)两式可以写成 dtdQiki Qi= f iwiCa(t), ( i=1,2) (3)注意初始时刻灰、白质中示踪剂含量为0：Qi(0)=0,( i=1,2) (4)从(3)，(4)解得 tatkiiidCewftQi0)()()(。时刻t，1克脑组织中示踪剂的含量为Q(t)=Q1(t)+Q2(t)210)()(itatkiidCewfi。 若这单位组织的脑组织正位于某个

14、头部探头的探测范围，探头就可以记下闪烁计数器的计数率，设为N(t)。显然，闪烁计数器的计数率与探测范围中脑组织中的放射性示踪剂的含量成正比，设比例系数为，就有210)()()(itatkiidCewftNi。 (5) 又设面罩中的探头测得受试者呼出气中的放射性计数率为CA(t)。由于动脉血从肺部将示踪剂带到脑部，因此，呼出气中的放射性计数率和动脉中示踪剂含量成正比，比例系数为。因为动脉血从肺部流到脑部需时间0(约为3秒钟)，就有),(1)(0tCtCAa(5)式相应地化为2100)()()(itAtkiidCewftNi， (6)2100)()()(itAtkiidCewftNi其中= / 。

15、引入 Pi= f iwi ( i=1,2),略去小量0 ，(6)式简化为 210)()()(itAtkidCePtNi。 (7)这样，问题归结为：已知N(t)和CA(t)在时间tj(j=1,2,n)的测量值Nj和Cj，要决定(7)式中的Pi和ki。其中 t0=0, tj=jt (j=1,2,n), tn=n t=10分， 而 t为测量的时间间隔。 又由于(7)式中的N(t)可分解为21),()(iitNtN,)()(0)(tAtkiidCePtNi( i=1,2) (8) 它们满足微分方程的初值问题0) 0 (),(iAiiiiNtCPNkdtdN。( i=1,2) (9) 数学模型亦可归结为

16、：已知(9)式中的CA(t)和(9)式解之和N(t)=N1(t)+N2(t)在tj的测量值Cj和Nj(j=1,2,n)，要决定初值问题(9)中方程的系数ki和Pi ( i=1,2)。 这是一个参数辨识问题。由于将脑组织分成灰质和白质两个部分，上述模型亦可称为两房室模型。参数的辨识参数的辨识： 1.非线性规划方法 用理论数据与实测数据误差平方和最小的原则，可辨识ki和Pi ( i=1,2)。即求非线性函数 njjitAtkijjjidCePN02210)()(njjjjtNN02)(),(2121PPkkE的最小值点，其中tj0是开始拟合的时间。这可采用高斯牛顿法或其它方法实现。2.线性化迭代法

17、 设ki*为ki的预测值，令 ki= ki*ki，( i=1,2)将(7)式右端关于ki在ki*附近展开得),()()()(2210)(*iitAtkiiikodCetkPPtNi略去高阶无穷小，得,)()()(210)(*itAtkiiidCetkPPtNi此式关于Pi和Pi ki是线性的。令Qi= Piki ，通过极小化210*2121)(),()(0itAinjjjjjjdCePNQQPPEtkjjjtAjidCetQtk02*)()()(来决定Pi,Qi，再由 ki = Qi / Pi ( i=1,2)解得ki*的修正值ki 。 由于E(P1,P2,Q1,Q2)关于Pi，Qi均为二次的

18、，极小值点可以解关于Pi，Qi的线性方程组00iiQEPE( i=1,2)求得。 再将ki= ki*ki，( i=1,2)作为新的预测值，用同样的方法继续下去，直到修正值ki足够小为止。 3.差分拟合法由于k1一般为k2的5-10倍，因此e-k1t比e-k2t衰减速度快得多。又因CA(t)是一个衰减很快的函数，存呼出气曲线在时间T，当tT时，tAdCeetNktk01, 0)()(11即)()(2tNtN。用差分方程)()(2)()(22222jAjjjtCPtNktttNttN代替N2满足的微分方程，即可用最小二乘法解方程组jjjjCPNktNN22112(j=J,J+1,n-1)求得k2和P2，其中J满足tJ-1T。令,)(02)(2dCePNNjjtAjjtk(j=1,2,J-1)用最小二乘法解方程组,21111jjjjCPNktNN(j=j0, j0+1,J-2)得k1和P1。