2022年第4节--隐函数及由参数方程确定的函数的导数--相关变化率 .pdf

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1、精品资料欢迎下载第四节隐函数及由参数方程确定的函数的导数相关变化率教学目的 ： 熟悉隐函数的概念;掌握隐函数的求导法则；掌握由参数方程所确定的函数的求导方法 . 教学重点 ：隐函数的导数 ;由参数方程所确定的函数的导;相关变化率 ;对数求导法教学难点 ：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法教学内容 ：一、隐函数的导数显函数形如 y f(x)的函数称为显函数例如 y sin xy ln x +ex隐函数由方程 F(x y) 0 所确定的函数称为隐函数例如方程 x y3 1 0 确定的隐函数为y31 xy如果在方程F(x y) 0 中当 x 取某区间内的任一值时相应地总有满

2、足这方程的唯一的y 值存在那么就说方程F(x y) 0在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例 1求由方程eyxy e 0 所确定的隐函数y 的导数解把方程两边的每一项对x 求导数得(ey)(xy)(e)(0)即eyyy xy0从而yexyy(x ey0)例 2求由方程y52y x 3x70 所确定的隐函数y f(x)在x 0 处的导数y |x 0解把方程两边分别对x 求导数得5y y2y1 21x 60由此得

3、2521146yxy因为当 x 0 时从原方程得y 0 所以21|25211|0460 xxyxy例 3求椭圆191622yx在)323, 2(处的切线方程解把椭圆方程的两边分别对x求导得0928yyx从而yxy169当 x 2 时323y代入上式得所求切线的斜率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页精品资料欢迎下载43|2xyk所求的切线方程为)2(43323xy即03843yx解把椭圆方程的两边分别对x求导得0928yyx将 x 2323y代入上式得03141y于是k y |x 243所求的切线方程为)2(43323

4、xy即03843yx例 4求由方程0sin21yyx所确定的隐函数y 的二阶导数解方程两边对x 求导得0cos211dxdyydxdy于是ydxdycos22上式两边再对x 求导得3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd隐函数求导方法小结：（1）方程两端同时对x求导数，注意把y当作复合函数求导的中间变量来看待. （2）从求导后的方程中解出y来. （3）隐函数求导允许其结果中含有y. 但求某一点的导数时不但要把x值代进去，还要把对应的y值代进去 . 对数求导法这种方法是先在y f(x)的两边取对数然后再求出y 的导数设 y f(x)两边取对数得ln y ln f(

5、x)两边对 x 求导得 )(ln1xfyyyf(x) ln f(x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页精品资料欢迎下载对数求导法适用于求幂指函数y u(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数例 5求 y x sin x(x0)的导数解法一两边取对数得ln y sin x ln x上式两边对x 求导得xxxxyy1sinlncos1于是)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求y x sin xe sin x ln x)sinln(cos)ln(

6、sinsinlnsinxxxxxxxeyxxx例 6求函数)4)(3()2)(1(xxxxy的导数解先在两边取对数(假定 x4)得ln y21ln(x 1) ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)上式两边对x 求导得)41312111(211xxxxyy于是)41312111(2xxxxyy当 x1 时)4)(3()2)(1(xxxxy当 2x3 时)4)(3()2)(1(xxxxy用同样方法可得与上面相同的结果注严格来说本题应分x 4 x 1 2 x 3 三种情况讨论但结果都是一样的二、由参数方程所确定的函数的导数设 y 与 x 的函数关系是由参数方程)()(tytx确定的则称此函数

7、关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数在实际问题中需要计算由参数方程所确定的函数的导数但从参数方程中消去参数t有时会有困难因此我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数设 x(t)具有单调连续反函数t(x)且此反函数能与函数y(t)构成复合函数y(x) 若 x(t)和 y(t)都可导则)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页精品资料欢迎下载即)()(ttdxdy或dtdxdtdydxdy若 x(t)和 y(t)都可导则)()(ttdxdy例 7求椭圆t

8、bytaxsincos在相应于4t点处的切线方程解tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(所求切线的斜率为abdxdyt4切点的坐标为224cos0aax224sin0bby切线方程为)22(22axabby即bx ay2 ab0例 8抛射体运动轨迹的参数方程为22121gttvytvx求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向y v2tg t 2 解先求速度的大小速度的水平分量与铅直分量分别为x(t) v1y (t) v2gt所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为22)()(tytxv2221)(gtvv再求速度的方向设是切线的倾角则轨道的切线方向为12)()(ta

9、nvgtvtxtydxdy已知 x(t), y(t)如何求二阶导数y ? 由 x(t)()(ttdxdydxdtttdtddxdydxddxyd)()()(22)(1)()()()()(2tttttt)()()()()(3ttttt例 9计算由摆线的参数方程)cos1 ()sin(tayttax所确定的函数 y f(x)的二阶导数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页精品资料欢迎下载解)()(txtydxdy)cos1(sin )sin( )cos1(tatattata2cotcos1sinttt(t 2nn 为整数 )

10、dxdttdtddxdydxddxyd)2(cot)(2222)cos1 (1)cos1(12sin21tatat(t 2nn 为整数 )三、相关变化率设 x x(t)及 y y(t)都是可导函数而变量 x 与 y 间存在某种关系从而变化率dtdx与dtdy间也存在一定关系这两个相互依赖的变化率称为相关变化率相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系以便从其中一个变化率求出另一个变化率例 10 一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升其速度为140m/min( 分)当气球高度为 500m 时观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升t(秒)后其高度为 h观察员视线的仰角为则500tanh其中及 h 都是时间t 的函数上式两边对t 求导得dtdhdtd5001sec2已知140dtdh(米/秒)又当 h 500(米)时 tan 1 sec22代入上式得14050012dtd所以14.050070dtd(弧度 /秒)即观察员视线的仰角增加率是每秒0 14 弧度小结 ： 本节讲述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，利用取对数的方法解决了幂指函数的求导问题. 思考 ：对幂指数函数()()( ( )0)v xyu xu x你有几种求导方法？作业 ：见习题册精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页