力学基本模型-轻绳轻杆和轻弹簧综合练习提高.doc

\ 年 级 高一 学 科 物理 编稿老师 张晓春 课程标题 力学基本模型——轻绳、轻杆和轻弹簧 一校 黄楠 二校 林卉 审核 薛海燕 一、考点突破 绳、杆和弹簧是力学部分常见的三种模型，从它们自身特点来讲，其力学特点都非常明显，所以这三种模型的相关试题备受历次考试的关注，特别是弹簧模型的相关试题，更是每年高考必考的。以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒等，此类命题几乎每年的高考试卷均有所见，应引起足够重视。高考考纲中，对轻质弹簧的力学特性的要求为B级，而对其能量特征的要求为A级。本讲将重点针对弹簧模型进行研究。 二、重难点提示 1. 掌握三种模型的特点和区别。 2. 掌握三种模型力的特点，做好这几种模型所对应情景的过程分析。 3. 归纳常见题型的解题方法和步骤。 在中学物理中，经常会遇到绳、杆、弹簧三种典型的模型，现将它们的特点归类，供同学们学习时参考。 1. 轻绳（或细绳） 中学物理中的绳（或线），是理想化的模型，具有以下几个特征： ①轻：即绳（或线）的质量或重力可以视为等于零。由此特点可知，同一根绳（或线）的两端及其中间各点的张力大小相等； ②软：即绳（或线）只能受拉力，不能承受压力。由此特点可知，绳（或线）与其他物体相互间的作用力的方向总是沿着绳子； ③不可伸长：即无论绳（或线）所受拉力多大，绳（或线）的长度不变。由此特点可知：绳（或线）中的张力可以突变。 2. 轻杆 轻杆也是一种理想化的模型，具有以下几个特征： ①轻：即轻杆的质量和重力可以视为等于零。由此特点可知，同一轻杆的两端及其中间各点的张力大小相等； ②硬：轻杆既能承受拉力也能承受压力，但其受力的方向不一定沿着杆的方向； ③轻杆不能伸长或压缩。 3. 轻弹簧 中学物理中的轻弹簧，也是理想化的模型，具有以下几个特征： ①轻：即轻弹簧的质量和重力可以视为等于零。由此特点可知，同一轻弹簧的两端及其中间各点的张力大小相等； ②轻弹簧既能承受拉力也能承受压力，其受力方向与弹簧的形变方向相反； ③轻弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时弹簧的形变相对应。在题目中一般应从弹簧的形变入手分析，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化。 ④因轻弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，则在瞬间内的形变量可以认为不变。因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不发生突变。 能力提升类 例1 如图所示，斜面与水平面间的夹角，物体A和B的质量分别为、。两者之间用质量可以不计的细绳相连。求： （1）如A和B对斜面的动摩擦因数分别为，时，两物体的加速度各为多少？绳的张力为多少？ （2）如果把A和B位置互换，两个物体的加速度及绳的张力各是多少？ （3）如果斜面光滑，则两个物体的加速度及绳的张力又各是多少？ 一点通：解答该题的关键在于对物体进行受力分析，连接物体的绳子中是否存在拉力是分析的难点所在，所以首先必须对物体的运动过程进行分析，判断A、B两物体的运动快慢，当A运动的速度大于B时，则两物体有共同的速度，绳子绷紧且有张力，反之则绳子松弛，绳子中的张力为0。 解答：（1）设绳子的张力为，物体A和B沿斜面下滑的加速度分别为和，根据牛顿第二定律： 对于A有 ① 对于B有 ② 设，即假设绳子中没有张力，联立①②式求解得，因，故 说明物体B运动得比物体A快，绳松弛，所以的假设成立。故有，，因与实际不符，则A静止。 （2）如B与A互换位置，则，即B物体运动得比A快，所以A、B之间有拉力且共速，用整体法可得代入数据求出，用隔离法对B进行分析，可得：，代入数据求出 （3）如斜面光滑不计摩擦，则A和B沿斜面的加速度均为，故两物体间无作用力。 例2 如图所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为，在斜杆下端固定有一质量为m的小球，下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是（ ） A. 小车静止时，，方向沿杆向上 B. 小车静止时，，方向垂直杆向上 C. 小车向右以加速度a运动时，一定有 D. 小车向左以加速度a运动时，，方向 斜向左上方，与竖直方向的夹角为 答案：D 一点通：对物体进行受力分析的过程中，确定杆的弹力的方向是难点，它可以是沿杆的方向，也可以不沿杆方向，所以首先计算出弹力沿着杆的方向时所对应的临界加速度，再来比较运动时间和临界加速度的关系。 解答：小车静止时，由物体的平衡条件知杆对球的作用力方向为竖直向上，且大小等于球的重力mg。 小车向右以加速度a运动，设小球受杆的作用力方向与竖直方向的夹角为，如下图所示，根据牛顿第二定律有：，，两式相除得：。 只有当球的加速度且向右时，杆对球的作用力才沿杆的方向，此时才有。 小车向左以加速度a运动，根据牛顿第二定律知小球所受重力mg和杆对球的作用力F的合力大小为ma，方向水平向左。根据力的合成知，方向斜向左上方，与竖直方向的夹角为：。 例3 如图所示，中的、用轻绳相连系于天花板上；中的、用轻杆相连置于水平面上；中的、用轻弹簧相连置于水平面上；中的、用轻弹簧相连再用轻弹簧系于天花板上，每个物体的质量相同。现在剪断中系于天花板的绳；在、中撤掉支持面；剪断中系于天花板上的弹簧，则在解除外界约束的瞬间，以上四种情况中各个物体的加速度分别为多大？ 一点通：解此类问题的关键是判断轻绳、轻杆、轻弹簧的弹力是发生突变还是发生渐变。只要抓住绳、杆、弹簧的特点就可以准确解题。 解答：在a、b两种情景中，解除外界约束的瞬间，轻绳、轻杆的作用力都突变为零，、、、均做自由落体运动，故有。 在c情景中，解除外界约束的瞬间，弹簧的弹力不能可发生突变，仍为原来的值（这是由于弹簧恢复原状需要时间），受到的合力仍为零，受到的合力为，故，。 在d情景中，解除外界约束的瞬间，受到的向上的弹力突变为零，因而受到的合力为，而系于、之间的弹簧的弹力不可能发生突变，仍为原来的值，则受到的合力仍为零，故，。 综合运用类 例1 用如图所示的装置可以测量汽车在水平路面上运动时的加速度。该装置是在矩形箱子的前、后壁上各安装了一个压力传感器a和b。用两根相同的轻弹簧夹着一个质量m＝2.0kg的滑块，滑块可无摩擦滑动；两弹簧的另一端分别压在a、b上，其压力大小可直接从传感器的液晶显示屏上读出。当弹簧作用在传感器上的力为压力时，示数为正；当弹簧作用在传感器上的力为拉力时，示数为负。现将装置沿汽车运动方向固定在汽车上。汽车静止时，a、b的示数均为10N（取g＝10m/s2）。 ⑴若传感器b的示数为14N，a的示数应该是多少？ ⑵当汽车以什么样的加速度运动时，传感器b的示数为零？ ⑶若传感器b的示数为－5N，汽车的加速度大小和方向如何？ 一点通：该题以压力传感器为栽体，考查涉及到弹簧弹力的牛顿运动定律的计算。 解答：⑴由题意知： Fa0＝Fb0＝kx0＝10N， Fb＝k（x0＋Δx）＝14N 解之得：ΔFb＝kΔx＝4N 代入得：Fa＝k（x0－Δx）＝10N－4N＝6N ⑵传感器b的示数为零时，ΔFb′＝10N 则Fa′＝Fa0＋ΔFb′＝10N＋10N＝20N 对m应用牛顿第二定律得Fa′＝ma 得a＝m/s2＝10m/s2 加速度的方向向左。 ⑶若当Fb′＝ －5N时，ΔFb″＝15N 则Fa″＝Fa0＋ΔFb″＝10N＋15N ＝25N m受到的合力大小为F′＝ Fa″＋＝25N＋5N＝30N， 此时m的加速度为： m/s2＝15m/s2 方向向左。 例2 将金属块用压缩的轻弹簧卡在一个矩形的箱中，如图所示，在箱的上顶板和下底板安有压力传感器，箱可以沿竖直轨道运动，当箱以a＝2.0m/s2的加速度做竖直向上的匀减速运动时，上顶板的传感器显示的压力为6.0N，下底板的传感器显示的压力为10.0N （g＝10m/s2） ⑴若上顶板的传感器的示数是下底板的传感器示数的一半，试判断箱的运动情况。 ⑵要使上顶板传感器的示数为0，箱沿竖直方向的运动可能是怎样的？ 一点通：该题和例1类似，也是涉及到压力传感器的问题，其解题要点仍然在于通过对研究对象的受力分析，应用牛顿运动定律求解其加速度，从而判断箱子的运动情况。 解答：（1）取向下为正方向，设金属块质量为m，由 将a＝2.0m/s2代入 解得 m＝0.5kg 因上、下传感器都有压力，所以弹簧长度不变，弹簧弹力仍为10N，上顶板对金属块压力为 根据 解得a1＝0，即箱子处于静止或做匀速直线运动状态。 （2）要使上顶板无压力，弹簧只能等于或小于目前长度，则下底板压力只能等于或大于10N，即 ，F下≥10N 解得a≥10m/s2。即箱以a≥10m/s2的加速度向上做匀加速运动或向下做匀减速运动，传感器示数为0。 思维拓展类 例1 （全国理综III24）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连的物块A、B，它们的质量分别为，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时，物块A的位移d。 一点通：分析该题的难点在于物体运动过程分析，首先要注意，初始情况下物体静止，则弹簧处于压缩状态，随着B离开挡板则弹簧必定拉长，所以A物体的位移可以通过弹簧的形变进行求解。 解答：B刚离开C时，A、B受力情况如图所示： 对于B有： 对于A有：，解得 刚开始运动时，A的受力情况如图所示 从开始到B离开C，A的位移为 例2 如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都可以不计，盘内放一个物体P处于静止。P的质量为12kg，弹簧的劲度系数k＝800N/m。现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速运动。已知在前0.2s内F是变化的，在0.2s以后F是恒力，则F的最小值是多少，最大值是多少？ 一点通：该题求解时最容易犯的错误在于对题且所叙述的过程不理解。通过运动过程分析找出题目的隐含条件，0.2s是外力变化的转折点，0～0.2s内F是变力，物体做匀加速直线运动，0.2s后F是恒力，物体脱离秤盘，此时拉力为最大值。 解答：以物体P为研究对象。物体P静止时受重力G、秤盘给的支持力N。 因为物体静止，∑F＝0 则N＝G＝0 ① N＝kx0② 设物体向上做匀加速直线运动的加速度为a。 此时物体P受力情况如图所示，其受重力G，拉力F和支持力N′作用 据牛顿第二定律有：F＋N′－G＝ma ③ 当0.2s后物体所受拉力F为恒力，即为P与盘脱离，即弹簧无形变，由0～0.2s内物体的位移为x0。物体由静止开始运动，则 ④ 将式①，②中解得的x0＝ 0.15m代入式④解得a＝7.5m/s2 F的最小值由式③可以看出，即为N′最大时，即初始时刻N′＝N＝kx。 代入③式得 Fmin＝ ma ＋ mg－kx0＝12（7.5＋10）－8000.15＝90（N） F最大值即N＝0时，Fmax＝ma＋mg＝210（N） 强调：本题若秆盘质量不可忽略，在分析中应注意物体P与秆盘分离时，弹簧的形变不为0，物体P的位移就不等于x0，而应等于x0－x（其中x即秆盘对弹簧的压缩量）。 绳、杆和弹簧作为中学物理常见的理想模型，在中学物理习题中经常出现,尤其在曲线运动问题中更是频繁，与此有关的问题较多涉及临界和突变问题，因此易成为学生学习的障碍。究其原因，症结在于：不清楚这三种模型弹力产生的机理及特点；不清楚物理过程，尤其是由一种物理状态突变到另一种物理状态时，突变点的分析；以及临界状态对应的临界条件。对这三种模型的特点可以简单总结为： 一、力的方向有异 1. 轻绳提供的作用力只能沿绳并指向绳收缩的方向； 2. 轻弹簧提供的作用力只能沿弹簧的轴线方向，与弹簧发生形变的方向相反； 3. 轻杆提供的作用力不一定沿杆的方向，可以是任意方向。 二、力的效果有异 1. 轻绳只能提供拉力； 2. 轻杆、轻弹簧既可以提供拉力，又可以提供推力。 三、力的突变性有异 轻绳、轻杆的作用力可以发生突变，轻弹簧的作用力有些情况下不能发生突变。 在这三种模型中，弹簧类问题是高考的难点，因为弹簧本身的特性复杂，在弹力相等的情况下还有伸长和压缩两种情况，与弹簧相连接的物体的受力情况和运动状态的综合性和隐蔽性比较强，再者弹簧压缩和伸长过程中涉及的过程复杂、规律多，因此在解题的时候一定要加以注意。 连接体类问题解题的一般思路和方法是什么？ 我们称两个或两个以上物体组成的系统连接体，处理这一类问题的基本方法是——整体法与隔离法（如能力提升类例1） 整体法：当系统中各物体有相同的加速度时，可以把系统内的物体当做一个整体，当系统受到的外力为F时，可以用牛顿运动定律求解出整体的加速度。 隔离法：从研究方便出发，求解系统内物体间相互作用力的大小，常把某个物体从系统中隔离出来，单独分析其受力情况，再应用牛顿运动定律求解。连接体问题的求解过程经常采用整体法和隔离法交替使用，以快速解题。 （答题时间：60分钟） 1. （全国卷Ⅰ，15）如图所示，轻弹簧上端与一质量为m的木块1相连，下端与另一质量为M的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1、2的加速度大小分别为、。重力加速度大小为g。则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 如图（a）所示，水平面上质量相等的两木块A、B用一轻弹簧相连接，整个系统处于平衡状态。现用一竖直向上的力F拉动木块A，使木块A向上做匀加速直线运动，如图（b）所示。研究从力F刚作用在木块A的瞬间到木块B刚离开地面的瞬间这一过程，并且选定该过程中木块A的起点位置为坐标原点，则图（c）中可以表示为F和木块A的位移x之间关系的是（ ） c *3. 如图所示，质量分别为m1和m2的木块A和B之间用轻弹簧相连，在拉力F作用下，以加速度为g竖直向上做匀加速直线运动，某时刻突然撤去拉力F，此瞬间A和B的加速度为aA和aB，则（ ） A. aA＝aB＝－g B. aA＝g，aB＝－g C. aA＝g, aB＝－g D. aA＝－g，aB＝g *4. 如图所示，质量相同的木块A、B用轻弹簧相连，静止在光滑水平面上。弹簧处于自然状态。现用水平恒力F向右推A，则从开始推A到弹簧第一次被压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是（ ） A. 两木块速度相同时，加速度aA＝ aB B. 两木块速度相同时，加速度aA> aB C. 两木块加速度相同时，速度vA> vB D. 两木块加速度相同时，速度vA< vB *5. （全国8）惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之一是加速度计。加速度计构造原理的示意图如图所示。沿导弹长度方向安装的固定光滑杆上套一质量为m的滑块，滑块两侧分别与劲度系数均为k的弹簧相连；两弹簧的另一端与固定壁相连。滑块原来静止，弹簧处于自然长度，滑块上有指针，可通过标尺测出滑块的位移，然后通过控制系统进行制导。设某段时间内导弹沿水平方向运动，指针向左偏离O点的距离为s，则这段时间内导弹的加速度（ ） A. 方向向左，大小为 B. 方向向右，大小为 C. 方向向左，大小为 D. 方向向右，大小为 *6. 如图所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放一重物，用手将重物向下压到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，则在弹射过程中（重物与弹簧脱离之前）重物的运动情况是 （ ） A. 一直加速运动 B. 匀加速运动 C. 先加速运动后减速运动 D. 先减速运动后加速运动 如图所示，一轻质弹簧竖直放在水平地面上，小球A由弹簧正上方某高度自由落下，与弹簧接触后，开始压缩弹簧，设此过程中弹簧始终服从胡克定律，那么在小球压缩弹簧的过程中，以下说法中正确的是（ ） A. 小球加速度方向始终向上 B. 小球加速度方向始终向下 C. 小球加速度方向先向下后向上 D.小球加速度方向先向上后向下 **8. 如图所示，一轻质弹簧一端系在墙上的O点，自由伸长到B点。今用一小物体m把弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能运动到C点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法正确的是 （ ） A. 物体从A到B速度越来越大，从B到C速度越来越小 B. 物体从A到B速度越来越小，从B到C加速度不变 C. 物体从A到B先加速后减速，从B一直减速运动 D. 物体在B点受到的合外力为零 9. （上海高考）如图所示，一质量为m的物体系于长度分别为L1、L2的两根细线上，L1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L2水平拉直，物体处于平衡状态。现将L2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度。 （1）下面是某同学对该题的一种解法： 解：设L1线上拉力为Tl，L2线上拉力为T2，重力为mg，物体在三力作用下保持平衡，则 Tlcosθ＝mg，Tlsinθ＝T2，T2＝mgtanθ， 剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度。 因为mgtanθ＝ma，所以加速度a＝g tanθ，方向在T2反方向上。你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明理由。 （2）若将图中的细线Ll改为长度相同、质量不计的轻弹簧，其他条件不变，求解的步骤和结果与（1）完全相同，即a＝gtanθ，你认为这个结果正确吗?请说明理由。 *10. （黄冈中学二模）如图所示，在倾角30的光滑斜面上，并排放着质量分别为mA＝10kg和mB＝2kg的A、B两物块。一劲度系数k＝400N/m的轻弹簧一端与物块B相连，另一端与固定挡板相连。整个系统处于静止状态。现对A施加一沿斜面向上的力F使物块A沿斜面向上做匀加速运动。已知力F在前0.2s内为变力，0.2s后为恒力，g＝10m/s2，求F的最大值和最小值。 **11. A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k＝100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g＝10 m/s2）。 求：使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值。  1. C 2. A 3. D 解析：撤去F之前，弹簧弹力为T－m1g＝m1g，T＝2m1g。撤去F瞬间，弹力不变，故aA＝g对B：T＋m2g＝m2aB ∴aB＝g。故D正确。 4. C 解析：在F作用下A做加速度不断减小的加速运动，B做加速度不断增大的加速运动，加速度相等时，速度相等时有 5. D 解析：滑块的运动与导弹的运动完全相同，所以只要研究出滑块的加速度就行了，当指针指在标尺O点左侧s处时，对滑块进行受力分析，由牛顿第二定律可知，选D 6. C 解析：物体运动状态的改变取决于所受合外力的作有。所以，对物体进行准确的受力分析是解决此题的关键，物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用。刚放手时，重物所受弹力大于重力，合力向上，物体向上做加速运动，但随着物体上移，重物所受弹簧形变量变小，重物所受弹力随之变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相等的瞬间，合力为零，加速度为零，此时物体的速度最大；此后，弹力继续减小，物体受到的合力向下，物体做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者分离。 7. C 8. C 解析：物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，则物体由A向B运动的过程中，合力为0的位置必在B点左侧某点，所以由A向这一点运动的过程中物体做加速度减小的加速运动，由该点向右的运动过程中一直做加速度增大的减速运动，综合分析该题选择C项 9. （1）解答：错。因为L2被剪断的瞬间，L1上的张力大小发生了变化。此瞬间有 T2＝mgcosθ， a＝gsinθ （2）解答：正确，因为L2被剪断的瞬间，弹簧L1的长度未发生变化，T1大小和方向都不变。 10. 解析：因为在前0.2s内F是变力，在t＝0.2s以后F是恒力，所以在t＝0.2s时，A与B分离，此时A与B的作用力N为零，由于B的质量mB＝2kg，所以此时弹簧不能处于原长。设在0～0.2s这段时间内A与B向上运动的距离为x，对物体A，由牛顿第二定律可得：， 对于A和B整体应用牛顿第二定律可得： 令N＝0，并由上述两式求得而 所以求得 当A、B开始运动时拉力最小，此时对A和B整体有 当A与B分离时拉力F最大， 11. 解:当F＝0（即不加竖直向上的力F时），设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x，有 kx＝（mA＋mB）g x＝（mA＋mB）g/k ① 对A施加F力，分析A、B受力情况如图所示 对A：F＋N－mAg＝mAa ② 对B：kx′－N－mBg＝mBa′ ③ 可知，当N≠0时，AB有共同加速度a＝a′，由②式知欲使A做匀加速运动，则随N减小，F增大。当N＝0时，F取得了最大值Fmax 即Fmax＝mA（g＋a）＝4.41 N