勾股定理精彩例题详解A.doc

\ 勾股定理经典例题详解 熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：　 　　①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41． 类型二：勾股定理的构造应用 1、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 　 2.如图，已知：，，于P. 求证：. 3.已知：如图，∠B=∠D=90，∠A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 　 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 4、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 　　（1）求A、C两点之间的距离。　　（2）确定目的地C在营地A的什么方向。 5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ （二）用勾股定理求最短问题 6、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线． 　　　　　　　　　 7.如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 　 类型四：利用勾股定理作长为的线段 8、作长为、、’ 的线段。 9、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。 10.四边形ABCD中，∠B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 　　 11.已知:△ABC的三边分别为m2－n2 , 2mn ,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形. 12.如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且。请问FE与DE是否垂直?请说明。 　　 13、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。 14、如图所示，已知△ABC中，∠C=90，∠A=60，，求、、的值。　　　　　　 　 　　 15.如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 16、矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的长。 17、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求（1）DE的长；（2）EF的长。 18.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 19.如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米， 把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC. A A′ BA B′ OA 第18题图 20、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 21、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长． 22、如图所示，已知在ABC中，AB=AC，BAC=，D是BC上任一点，求证：BD。 答案: 　1.　思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 　　解析：作于D，则因， 　　　　　∴（的两个锐角互余） 　　　　　∴（在中，如果一个锐角等于， 　　　　　那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 　　　　　根据勾股定理，在中， 　　　　　. 　　　　　根据勾股定理，在中， 　　　　　. 　　　　　∴ . 　　总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理. 　2.　思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系. 　　解析：连结BM，根据勾股定理，在中， 　　　　　. 　　　　　而在中，则根据勾股定理有 　　　　　. 　　　　　∴ 　　　　　又∵ （已知）， 　　　　　∴. 　　　　　在中，根据勾股定理有 　　　　　， 　　　　　∴. 　3.　分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 　　解析：延长AD、BC交于E。 　　　　　∵∠A=∠60，∠B=90，∴∠E=30。 　　　　　∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， 　　　　　∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 　　　　　∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 　　　　　∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=ABBE-CDDE= 　　4.思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。 　　解析：（1）过B点作BE//AD 　　　　　　　 ∴∠DAB=∠ABE=60 　　　　　　　 ∵30+∠CBA+∠ABE=180 　　　　　　　 ∴∠CBA=90 　　　　　　　 即△ABC为直角三角形 　　　　　　　 由已知可得：BC=500m，AB= 　　　　　　　 由勾股定理可得： 　　　　　　　 所以 　　　　　（2）在Rt△ABC中， 　　　　　　　 ∵BC=500m，AC=1000m 　　　　　　　 ∴∠CAB=30 　　　　　　　 ∵∠DAB=60 　　　　　　　 ∴∠DAC=30 　　　　　　　 即点C在点A的北偏东30的方向 　　总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。 5.思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 　　解析：作AB⊥MN，垂足为B。 　　　　　在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90，∠APB＝30， AP＝160， 　　　　　∴ AB＝AP＝80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 　　　　　∵点 A到直线MN的距离小于100m, 　　　　　∴这所中学会受到噪声的影响。 　　　　　如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)， 　　　　　由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60。 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m), 　　　　　∴CD＝120(m)。 　　　　　拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s 　　　　　t＝120m5m/s＝24s。 　　答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 6.思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论． 　　解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为 　　　　　AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3 　　　　　图（3）中，在Rt△ABC中 　　　　　　 　　　　　同理 　　　　　∴图（3）中的路线长为　 　　　　　图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH 　　　　　由∠FBH＝　及勾股定理得： 　　　　　EA＝ED＝FB＝FC＝ 　　　　　∴EF＝1－2FH＝1－ 　　　　　∴此图中总线路的长为4EA+EF＝ 　　　　　 3＞2.828>2.732 　　　　　∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线． 　　总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质． 　7.　解： 　　　　　　　　 　　如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，　根据勾股定理得　 　　（提问：勾股定理） 　　∴ AC＝＝ ＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）． 　　答：最短路程约为１０．７７cm． 　8.　思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。 　　作法：如图所示 　　　　　 　　（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边； 　　（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为； 　　（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是 　　　　 、、、。 　　总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。 　　举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 　　解析：可以把看作是直角三角形的斜边，， 　　　　　为了有利于画图让其他两边的长为整数， 　　　　　而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 　　　　　　　　　　　　 　　作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径， 　　　　　以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。 9.思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 　　解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： 　　　　　a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, 　　　　　∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 　　　　　∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。 　　　　　∴ a=3，b=4，c=5。 　　　　　∵ 32+42=52, 　　　　　∴ a2+b2=c2。 　　由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。 　　总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 10.【答案】：连结AC 　　　　　　　∵∠B=90，AB=3，BC=4 　　　　　　　∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） 　　　　　　　∴AC=5 　　　　　　　∵AC2+CD2=169，AD2=169 　　　　　　　∴AC2+CD2=AD2 　　　　　　　∴∠ACD=90（勾股定理逆定理） 　　　　　　　 11.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可 　　证明： 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 所以△ABC是直角三角形. 12【答案】答：DE⊥EF。 　　证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, 　　　　　∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； 　　　　　DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 　　　　　连接DF（如图） 　　　　　DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 　　　　　∴ DF2=EF2+DE2, 　　　　　∴ FE⊥DE。 13思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD． 　　解：连接AD． 　　　　因为∠BAC=90，AB=AC．　又因为AD为△ABC的中线， 　　　　所以AD=DC=DB．AD⊥BC． 　　　　且∠BAD=∠C=45． 　　　　因为∠EDA+∠ADF=90．　又因为∠CDF+∠ADF=90． 　　　　所以∠EDA=∠CDF．　所以△AED≌△CFD（ASA）． 　　　　所以AE=FC=5． 　　　　同理：AF=BE=12． 　　　　在Rt△AEF中，根据勾股定理得： 　　　　，所以EF=13。 　　总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 14　　思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。 　　解：在Rt△ABC中，∠A=60，∠B=90-∠A=30， 　　　　则，由勾股定理，得。 　　　　因为，所以， 　　　　，，。 　　总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 15.　　解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。 　　　　因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90， 　　　　在Rt△ABF中，　AF=AD=BC=10cm，AB=8cm， 　　　　所以。 　所以。 　　　　设，则。 　　　　在Rt△ECF中，，即，解得。 　　　　　即EF的长为5cm。