2022年第三章-直线与方程 .pdf
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1、精品资料欢迎下载第三章 直线与方程3.1 倾斜角与斜率基础知识(1)直线的倾斜角直线与x轴平行或重合时, 规定它的倾斜角为倾斜角的范围(2)直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为的直线斜率不存在. 记作tank0(90 )当直线l与x轴平行或重合时, 00,0tan00k当直线l与x轴垂直时 , 090,k不存在 . 经过两点1112212(,),(,)P xyP xyxx()的直线的斜率公式是2121yykxx每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率. (3)求斜率的一般方法:已知直线上两点,根据斜率公式212121()yykxxxx求斜率;已知直线的倾斜角或的某种三角函
2、数根据tank来求斜率;(4)利用斜率证明三点共线的方法:已知112233(,),(,),(,)A x yB xyC xy,若123ABBCxxxkk或,则有 A、B、C三点共线。(5)直线平行与垂直 两条直线平行:对于两条不重合的直线,其斜率分别为,则有2121 / kkll特别地, 当直线的斜率都不存在时,的关系为平行 两条直线垂直:如果两条直线斜率存在,设为,则有1-2121kkll注: 两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;由两直线的斜率之积为-1 ,可以得出两直线垂直;反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1 。如果中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0 时,
3、互相垂直 . 基础题目1下列命题正确的是( A )0000018009012,l l12,kk12,l l12ll与12,l l12,k k12,l l12,l l12ll与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精品资料欢迎下载(A)若直线的斜率存在,则必有倾斜角 与它对应(B)若直线的倾斜角存在,则必有斜率与它对应(C)直线的斜率为k,则这条直线的倾斜角为arctank(D)直线的倾斜角为,则这条直线的斜率为tan 2过点M(2, a), N(a, 4) 的直线的斜率为,则a等于( B )(A)8 (B)10 (C)
4、2 (D)4 3过点A(2, b)和点B(3, 2) 的直线的倾斜角为,则b的值是( A )(A)1 (B)1 (C) 5 (D)5 4如图,若图中直线l1, l2, l3的斜率分别为k1, k2, k3,则( B )(A)k1k2k3(B)k3k1k2 (C)k3k2k1(D)k1k3k25已知三点A(2, 3), B(4, 3), C(5, 2m)在同一直线上,则m的值为 12 . 6 已知y轴上的点B与点A( , 1) 连线所成直线的倾斜角为120,则点B的坐标为(0,-2 ) . 7已知A(2, 3), B(3, 2),过点P(0, 2) 的直线l与线段AB没有公共点,则直线l的斜率的
5、取值范围是(-5/2,5/3) . 3.2 直线的方程基础知识(1)直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式11()yyk xx11(,)x y为直线上一定点,k为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式ykxbk为斜率,b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式是直线在轴上的非零截距,b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线21433112121yyxxyyxx11221212(,),(,)x yxyxxyy经过两点且(,)1xyabax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
6、-第 2 页,共 10 页精品资料欢迎下载一般式0AxByC22(0)AB,A B C为系数无限制,可表示任何位置的直线问题:过两点111222(,),(,)P xyPxy的直线是否一定可用两点式方程表示?【不一定】(1) 若1212xxyy且,直线垂直于x轴, 方程为1xx;(2) 若1212xxyy且,直线垂直于y轴, 方程为12yy;(3) 若1212xxyy且,直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式;利用斜截式求直线方程时,需要先判断斜率存在与否. 用截距式方程表示直线时,要注意以下几点:方程的条件限制为0,0ab,即两个截距均不能为零,因此截距式方
7、程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线;用截距式方程最便于作图,要注意截距是坐标而不是长度. 截距与距离的区别:截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数,不是“距离”,可正可负。xyaykx或(2)线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P Pxyxy若点的坐标分别是,1212122( , )2xxxPPM x yyyy且线段的中点的坐标为3.3 直线的交点坐标与距离(1)两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0lA xB yC, 2222:0lA xB yC两条直线的交点坐标就是方程组11122200AxB yCA xB yC的解。若方程组有唯一解,则这两条直线相交
8、,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行. (2)几种距离两点间的距离:平面上的两点111222(,),(,)P xyPxy间的距离公式22122121|()()PPxxyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精品资料欢迎下载特别地,原点(0,0)O与任一点( ,)P x y的距离22|OPxy点到直线的距离:点00(,)oP xy到直线0AxByC的距离0022|AxByCdAB两条平行线间的距离:两条平行线1200AxByCAxByC与间的距离1222|CCdAB注: 1 求点到直
9、线的距离时,直线方程要化为一般式;2 求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式计算。基础练习1. 直线32yx 1在y轴上的截距是( B )A.2 B.3 C.2 D.3 2. 已知直线l过点M( 1,0) ,并且斜率为 1,则直线l的方程是( B )A.xy10 B.xy10 C.xy10 D.xy10 3. 下面四个直线方程中,可以看作是直线的斜截式方程的是( B )A.x=3 B.y=5 C.2y=x D.x=4y1 4. 直线l过(a,b) 、(b,a)两点,其中a与b不相等,则( D )A.l与x轴垂直 B.l与y轴垂直 C.l过一、二、三象限
10、D.l的倾斜角为435. 若ac0且bc0,直线ax+by+c=0不通过( C )A.第三象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第二象限6. 已知定点A(0,1),点B 在直线x+y=0上运动,当线段AB 最短时,点B 的坐标是)21,21( . 7. 给定三点A(1,0) ,B(-1,0) ,C(1,2) ,那么通过点A 并且与直线BC 垂直的直线方程是_01yx_. 8. 过原点作一条直线,使它与直线x-y+12=0,2x+y+9=0围成的三角形面积为23面积单位,求这条直线的方程 . -所求的直线方程为xyxy212523或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
11、- - - - - - -第 4 页,共 10 页精品资料欢迎下载9. 已知直线l过点p(3,2) ,且与x轴,y轴的正半轴分别交于A、B两点,求AOB面积最小时l的方程 . -直线l的方程为01232yx10. 求经过P(3 -4 ),且横纵截距相等的直线方程.-xy3401yx11. 直线 L经过M(3 -2 )点,且和X轴,Y轴正方向所围成的三角形的面积为4(平方单位),求L的方程.-042yx12. 求过直线 4x2y1=0与直线x2y+5=0的交点且与两点P1(0,4) 、P2(2,0) 距离相等的直线方程. -3x2y+1=0和4x+2y15=0 升级难题【例】 已知,直线l过原点
12、O且与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()A B C D 答案: B 分析:由于直线l与线段 AB有公共点,故直线l的斜率应介于OA ,OB斜率之间解:由题意,由于直线l与线段 AB有公共点,所以直线l的斜率的取值范围是考点:本题主要考查直线的斜率公式,考查直线l与线段 AB有公共点,应注意结合图象理解【例】 在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3, 1)距离为2 的直线共有() A 1条 B 2条 C 3条 D 4条答案: B 分析:由题意,A、B到直线距离是1 和 2,则以 A、B为圆心,以1、2 为半径作圆,两圆的公切线的条数即可解:分别以A、B为圆心,以1、2
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