知识点典型例题直线平面简单的几何体 .docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学问点典型例题 直线、平面、简洁的几何体1引立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，言既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形 .1. 平面的基本性质:1 公理 1： 假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的全部点都在这个平面内公理 2：假如两个平面有一个公共点, 那么它们仍有其他公共点, 且全部这些公共点的集合是一条直线.平公理 3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面（不共线的三点确定一平面）面推论 1：经过一条

2、直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.及推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面空推论 3。经过两条平行直线有且只有一个平面间直线注： 水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测 画法其规章是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 在已知图形取水平平面，取相互垂直的轴Ox, Oy ，再取 0z 轴，使xOz90 ，且yOz90 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结画直观图时，把它们画成对应的轴O x , O y,O z ， 使x O y45 或 135 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x O z90 , x Oy 所确定的平面表示水平平面。 已知图

3、形中平行于x 轴、 y 轴或 z 轴的线段 , 在直观图中分别画成平行于x 轴、 y 轴或 z 轴的线段。 已知图形中平行于x 轴和 z 轴的线段 , 在直观图中保持长度不变; 平行于 y 轴的线段 , 长度为原先 的一半 运用平面的三个公理及推论，能证明共点、共线、共面一类问题。2. 空间两条直线位置关系有：相交、平行、异面.相交直线共面有且只有一个公共点。平行直线共面没有公共点。公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行;等角定理： 假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等推论： 假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行那么这两组直线所成的锐角 或直角 相等

4、异面直线不同在任一平面内 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 两条异面直线所成的角 或夹角 ：对于两条异面直线a , b ，经过空间任一点O 作直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a a , b b ，就 a 与 b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a 与 b 所成的角 或夹角 如两条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -

5、 - -异面直线所成的角是直角，就称这两条异面直线相互垂直. 异面直线所成的角的范畴是0 ,90 两条异面直线的距离： 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离注：如图 :设异面直线a， b 所成角为就 EF2=m2+n2+d2 2mncos或AB EFdAB证明两条直线是异面直线一般用反证法。平面及空 例 1.“直线 a 经过平面 外一点 P”用符号表示为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结间APa, a /B aPCPA, PDPa , a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直例 2. 对于空间中

6、的三条直线，有以下四个条件：三条直线两两相交。三条直线两线两平行。三条直线共点。两直线相交，第三条平行于其中一条与另个一条相交.其中使这三条直线共面的充分条件有（）个A1B2C3D4例 3. 如图 ABCD A1B1C1D 1 是正方体， O 是 B1D 1 的中点，直线A1C 交平面 AB1D1 于点 M ，就以下结论错误选项(A) A、M 、O 三点共线BM 、O、A1、A 四点共面CA、O、C、M 四点共面DB、B1、O、M 四点共面例 4. 直线 l1与l 2 相互平行的一个充要条件是A l1、l 2 都垂直于同一平面B l1 平行 l2 所在的平面C l1、l 2 与同一平面所成的角

7、相等D l1 ，l 2 都平行于同一平面例 5. a,b 为两异面直线，以下结论正确选项(A) 过不在 a,b 上的任何一点，可作一个平面与a,b 都平行(B) 过不在 a,b 上的任一点，可作始终线与a,b 都相交C过不在 a,b 上任一点，可作始终线与a,b 都平行D过 a 可以并且只可以作一个平面与b 平行例 6.如图，正方体ABCD A 1B1C1D 1 中， E、F 分别是 AB、CC 1 的中点，就异面直线A1C 与 EF 所成角的余弦值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3A 32B31(C)31(D)6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

8、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7. 已知如右图，在,中挑选适当的符号填入各个空格：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB， AAB， A，CD ，A， BD ， D。例 8.已知正ABC 的边长为 23 , 就到三个顶点的距离都为1 的平面有 个.例 9.已知异面直线a 与 b 所成的角是500，空间有肯定点P，就过点 P 与 a，b 所成的角都是 700 的直线有 条.平例 10. 一副三角板ABC 和 ABD 如图摆成直二面角，如BC a，求 AB 和 CD 的夹角的面余弦值。及空间直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - -

9、 - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -线1.直线和平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.注: 直线与平面相交和直线与平面平行统称为直线在平面外(1) 直线在平面内 有很多个公共点; 2 直线与平面相交 有且只有一个公共点;直线和平3直线与平面平行 没有公共点面直线和平面平行的判定定理：假如不在一个平面内的一条直线与平面内的一条直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平平行 , 那么这条直线

10、和这个平面平行.即a行, ba / ba /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与直线和平面平行的性质定理: 假如一条直线与平面平行, 经过这条直线的平面和这个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平平面相交 , 那么这条直线和交线平行.即面和平面平ll / mm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结行2.两个平面的位置关系：平行、相交（垂直是相交的一种特别情形）(1) 两个平面相交 有一条公共直线(2) 两平面平行 没有公共点 两个平面平行的判定定理:假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.即 ababPa /b /推论：假如一个平

11、面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么这两个平面平行. 即 ab, abA, m, n, mnB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a / m , b / n垂直于同一条直线的两个平面相互平行。平行于同一平面的两个平面平行.即l,l;/ 两个平面平行的性质定理：假如两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线平行 .即a,ba / b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注:平行问题常用平行转化的思想:例 11.如直线 ab，且 a平面，就直线b 与平面

12、的位置关系是 AbBbCb或 bD 以上都不对例 12. 如直线 l 与平面的一条平行线平行，就l 和的位置关系是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(A) lB l /(C) l或 l /(D) l 和相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13.直线与平面平行的充要条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -A直线

13、与平面内的一条直线平行B直线与平面内的两条直线不相交C直线与平面内的任始终线都不相交例 14. “平面内不共线的三点到平面D 直线与平行内的很多条直线平行的距离相等”是“”的（）A 充要条件 B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件例 15.夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是。A 两条线段同时与平面垂直B两条线段相互平行C 两条线段相交D两条线段与平面所成的角相等例 16.经过平面外一点可以作个平面平行于这个平面。可以作条直线平行于这个平面.例 17. 如图，直线 AC 、DF 被三个平行平面 、 、 直 所截，已知 AB=2 ， BC=3 ，EF=4，就

14、DF=。线 例 18. 给出以下四组命题：和平pq面直线 l 平面l 上两点到的距离相等平行直线 l 平面l 垂直于内很多条直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与平面平面直线 l，且平面平面内任始终线平行于平面/和满意 p 是 q 的充分且必要条件的序号是 l /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平例 19. 如下列图， ABC 是正三角形， AE 和 CD 都垂直于平面ABC，且 AE AB 2a，面CD a， F 是 BE 的中点，求证：1 DF /平面 ABC。 2 AF BD .平行例 20. 在正方体ABCD A1B1 C1D1 中， E、F、G、H 分

15、别为棱BC、CC 1、C1D 1、AA1 的中点， O 为AC 与 B D 的交点（如图）求证：EG平面 BB 1D 1D 。平面 BDF 平面 B1 D1H。 A1O平面 B DF。平面 B DF平面 AA1C.直线1. 直线和平面垂直:和1 定义 : 假如一条直线l 和一个平面内的任意一条直线都垂直, 那么就说直线l 和平平面相互垂直 . 记作 : l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳

16、 - - - - - - - - - - - -面垂直2判定定理 :假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即m, nlm , mnAlln可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 性质定理： 假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 即aabb2. 三垂线定理 :1 斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影注：垂线段比任何一条斜线段短三垂线定理 : 在平面内的一条直线，假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么可编辑资料 - -

17、 - 欢迎下载精品名师归纳总结它也和这条斜线垂直.即aPAaOPaOA , OA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三垂线定理的逆定理: 在平面内的一条直线，假如它和这个平面的一条斜线垂直，那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它也和这条斜线的射影垂直. 即aPAaOP, O垂足为,OPAaOA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角注: 最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角中

18、最小的角即coscos1 cos2 （1 为最小角，如图）其中1 为斜线OA 与平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所成角， 即为 OAB， 2 为 OA 射影 AB 与内直线 AC 所成的角，为 OAC.明显， 1， 2一条直线垂直于平面，就说它们所成的角是直角。一条直线和平面平行或在平面内，就说它们所成的角是0 的角，可见，直线和平面所成的角的范畴是0 ,90直线与平面所成的角：关键是找直线在平面内的射影.三垂线定理及其逆定理在证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线等特别有用.垂直转化 :例 21. 等腰直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成直二面角B-

19、 AD-C，就 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A2B2C1D323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 22. 命题 :（1）一个平面的两条斜线段中，较长的斜线段有较长的射影;（ 2）两条异面直线在同一平面内的射影是两条相交直线;（ 3）两条平行直线在同一平面内的射影是两条平行直线;（ 4）一个锐角在一个平面内的射影肯定是锐角.以上命题正确的有（）A0 个B1 个C2 个D3 个例 23. 平面内有一四边形ABCD ， P 为外一点， P 点到四边形ABCD 各边的距离相等，就这个四边形（）A 必有外接圆B 必有内切圆C

20、既有内切圆又有外接圆D 必是正方形例 24. 如图，PA O 所在平面， AB 为底面圆的直径， C 为下底面圆周上一点， CAB=， PBA=，CPB= ，就（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A cos ns=isinB sinnsi=sinCcos c=ocsosDcos ns=icos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳

21、 - - - - - - - - - - - -直线和例 25. 如图， PA平面 ABC， ABC 中， ACB=90o. 就图中 Rt的个数为（）平（A）4（B）3（C） 2（D）1面例 26. 以下四个命题 :垂 l m, mn, nl。 l m, m, nln直l m, l ,m。 l, ml m其中错误命题的个数是（） A0 个B1个C2个D3个例 27.以下命题中正确选项（）A 过平面外一点作此平面的垂面是唯独的B 过直线外一点作此直线的垂线是唯独的C过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯独的D 过直线外一点作此直线的平行平面是唯独的例 28.将正方形 AB CD 沿着对角线 B D

22、折成一个四周体ABCD, 在以下给出的四个角度中，30 60 90 120，不行能是AC 与平面 BCD 所成的角是（把你认为正确的序号都填上）例 29. 如图，BAD90的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所在平面相互垂直，E 为 BC的中点，就AE 与平面 BCD 所成角的大小为 .例 30.空间四边形PABC 中， PA、PB、PC 两两相互垂直 , PBA 45, PBC 60， M 为 AB 的中点 .1求 BC 与平面 PAB 所成的角。2 求证： AB 平面 PMC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载