解三角形常用知识点归纳与题型总结2.docx

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1、精品名师归纳总结解三角形常用学问点归纳与题型总结1、三角形三角关系：A+B+C=180。 C=180 A+B 。 .角平分线性质定理 :角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 .锐角三角形性质：如ABC 就 60A90 ,0C60.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、三角形三边关系： a+bc; a-bc3、三角形中的基本关系： sin ABsin C,cos ABcos C,tan ABtan C,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin ABcos C ,c

2、os ABsin C , tan ABcot C222222（ 1）和角与差角公式sinsincoscossin;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscoscossinsin;（ 2） 二倍角公式tantantan.1tantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin2 = 2cos. sin 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos 2cos2sin 22cos 2112sin 21tan22.1tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin21cos 2,cos 21cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22

3、（ 3）帮助角公式（化一公式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yasin xb cosxa2b2sin x其中tanba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、正弦定理：在C 中, a 、 b 、 c分别为角、 C 的对边, R 为C 的外接abc圆的半径,就有2R sinsinsin C5、正弦定理的变形公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化角为边：a2 R sin, b2R sin, cab2Rsin C 。c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化边为角： sin, sin2R, sin C。2 R2 R可编辑资料 - - - 欢迎

4、下载精品名师归纳总结 a : b : csin: sin: sin C 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abcabc=2R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinsinsin Csinsinsin C6、两类正弦定懂得三角形的问题：已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.已知两角和其中一边的对角,求其他边角. 对于已知两边和其中一边所对的角的题型要留意解的情形（一解、两解、三解）1112abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、三角形面积公式： SCbc sinab sin Cac sin=2R sinAsinBsinC=可编辑资料 - - -

5、欢迎下载精品名师归纳总结r abc2224R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=p p2a pb pc 海伦公式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、余弦定理：在C 中,有 a2b 2c22bc cos, b2a 2c22ac cos,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c2a 2b22ab cos C 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、余弦定理的推论：cosb 2c2 2bca 2,cosa2c22acb 2,cos Ca 2b2c22a

6、b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化,当题中含有二次项时,常使用余弦定理。在变形中,留意三角形中其他条件的应用：10、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角,求其余的量。已知三边求角11、如何判定三角形的外形：判定三角形外形时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式设 a 、 b 、 c 是C 的角、 C 的对边,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a 2b 2c2 ,就 C90 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a 2b 2如 a

7、2b 2c2 ,就 Cc2 ,就 C90 。90 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12、三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点题型之一 ： 求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角 或二角一边或三边 ,求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线高线、角平分线、中线 及周长等基本问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 （ 15 北京理科）在 ABC中, a4 , b5 , c6 ,就sin 2 Asin C

8、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试题分析：sin2A2 sinA cos A2ab2c2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Csin Cc2bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2425361616256可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.（ 2005 年全国高考湖北卷 在 ABC 中,已知 AB46 ,3cos B6,AC 边上的中线6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD=5 ,求 sinA 的值分析：此题关键是利用余弦定理,求出AC 及 BC,再由正弦定理,

9、即得sinA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 E 为 BC 的中点,连接 DE ,就 DE / AB,且 DE1 AB22 6 ,设 BE x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 BDE 中利用余弦定理可得：BD 2BE 2ED 22 BEED cos BED ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5x 28226336 x ,解得 x61 , x7 （舍去）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

10、纳总结2222822130可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 BC=2 ,从而 ACABBC2AB BCcosB,即 AC又 sin B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结336221故23, sin A70sin A30146在 ABC 中,已知 a 2 ,b 22 , C 15 ,求 A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： BA,且 00A1800, A30 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型之二 ：判定三角形的外形：给出三角形中的三角关系式,判定此三角形的外形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 20

11、05 年北京春季高考题 在 ABC 中,已知2 sinA cos Bsin C,那么ABC 肯定是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 1：由2 sinA cos Bsin C sinA Bsin AcosB cosAsinB,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 sin AcosB cosAsinB 0,得 sin AB 0,得 A B应选 B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 2：由题意,得 cosBsin Cca 2,再由余弦定理,得c

12、osBc2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22sin A2a2ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2c22acb2c2a,即 a2b ,得 a b,应选 B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：判定三角形外形,通常用两种典型方法：统一化为角,再判定如解法 1,统一化为边,再判定 如解法 2题型之三 ：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在ABC 中, sin A积。cos A22, AC2 , AB

13、3,求tanA 的值和ABC 的面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： SABC1 ACAB sin A 212326243 26 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. （ 07 浙江理 18）已知（I）求边 AB 的长。 ABC的周长为21,且 sin Asin B2 sin C 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（II ）如 ABC1的面积为sin C ,求角 C 的度数6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ I）由题意及正弦定理,得ABBCAC21 , BCAC2 AB ,

14、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式相减,得AB1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（II ）由 ABC111的面积BC AC sin Csin C ,得 BC AC,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结263可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由余弦定理,得cos CAC 2BC 2AB2 ACBC 22 AC BCAB 21,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 AC BC2 AC BC2所以 C60 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型之四 ：三角形中求值问题1. 2005 年全国高考天津卷 在 ABC

15、 中,A、B、C 所对的边长分别为a、 b、 c ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 a、b、c 满意条件 b 2c 2bca 2 和 c1b23 ,求A 和tan B 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题给出一些条件式的求值问题,关键仍是运用正、余弦定理b 2c2a 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由余弦定理cos A,因此,A60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2bc2在 ABC 中, C=180 A B=120 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1由已知条件,应用正弦定理3csin Cs

16、in120B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sin 120 cos Bcos120 sin Bbsin B31sin B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Bcot B2, 解得2cot B2, 从而BCtan B. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. ABC 的三个内角为A、B、C并求出这个最大值。,求当 A 为何值时, cos A2cos取得最大值,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由 A+B+C= ,得B+C = A ,所以有B+CA=sin。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222cos22

17、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B+CA2AAA1 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2cosA+2cos2=cosA+2sin2=1 2sin2+ 2sin 2 = 2sin 22 +。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当Asin= 1,即 A= 时, cosA+2cos B+C 取得最大值为 3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 在锐角 ABC中,角 A, B,C所对的边分别为 a, b, c ,已知sin A22 ,（ 1）求3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

18、名师归纳总结tan2 BCsin 2A的值。（ 2）如 a2 , S2 ,求 b 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：（ 1）由于锐角 ABC 中, A B C , sin A就221,所以 cosA ,33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan2BCsin2sin2A BC 2sin 2 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22cos2BC22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 （1 cosA ） 1 co（s BC）11cosA171cos（BC） 21cosA3

19、3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 由于 S 2,又 S 1 bcsin A 1 bc22 ,就 bc 3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABCABC223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 a 2, cosA, c3代入余弦定理：ba bc 2bccos A 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 b46b290 解得 b 3 。点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时, 敏捷逆用公式求得结果即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.

20、在 ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b,c ,已知 c2 , C3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如 ABC的面积等于3 ,求 a, b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如 sin Csin BA2sin 2 A ,求 ABC的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础学问,考查综合应用三角函数有关学问的才能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（）由余弦定理

21、及已知条件得,a 2b 2ab4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于 ABC的面积等于3 ,所以 1 ab sin C23 ,得 ab4 4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联立方程组a2b2ab4,a解得ab4,2 , b2 6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）由题意得sin BAsin BA4sin A cos A ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 sin B cos A2sinAcos A , 8 分可编辑资料

22、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 cos A0 时, A, B, a2643 , b23 ,33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 cos A0 时,得 sin B2sinA ,由正弦定理得 b2a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b2ab4,2343可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联立方程组解得 a, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2a,33可编辑资料 - - - 欢迎

23、下载精品名师归纳总结所以 ABC的面积 S1 ab sin C23 12 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23题型之五（解三角形中的最值问题）1. （ 2022江 西 理 ） 在 ABC中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 已 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos Ccos A3sinA) cos B0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求角 B 的大小。 2 如 ac答案：（ 1） 6021, 1）21 ,求 b 的取值范畴可编辑资料 -

24、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 2022 新课标 ）在内角的对边分别为, 已知. 求; 如, 求面积的最大值 .答案：（ 1）45 22 +1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.2022 新课标 理已知a, b, c 分别为ABC 的三个内角A, B,C 的对边, a =2,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2bsin AsinB) cbsinC ,就 ABC 面积的最大值为3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精

25、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.6.在内角的对边分别为, 且=3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求角 A 的大小(2) 如 a=4,求 3b-c 的最大值答案：（ 1）6028.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7.（2007 全国 1 理） 设锐角三角形ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.（）求 B 的大小。（）求 cosA+sinC 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：（）由 a2bsinA ,依据正弦定理得 sin A2sinB sinA ,所以sin

26、 B1 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 ABC 为锐角三角形得 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（） cos Asin Ccos Asin6Acos AsinA6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos A1 cos A3 sin A3 sinA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 ABC22为锐角三角形知, 0A23,A2265可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得A32所以A,336可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 1 sinA3 由此有3

27、3 sinA33 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结232232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以, cos Asin C 的取值范畴为33,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 22 （ .2.A.-.2 .）.=a-bsinB,三角形外接圆的半径为2(1) 求角 C 的大小(2) 求面积的最大值 .答案：（ 1）60 2 32 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9, ABC 的三个内角为A、B、C并求出这个最大值。,求当 A 为何值时, cos A2

28、cosBC取得最大值,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由 A+B+C= ,得B+C = A ,所以有B+CA=sin。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222cos22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B+CA2AAA1 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2cosA+2cos2=cosA+2sin2=1 2sin2+ 2sin 2 = 2sin 22 +。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当Asin= 1,即 A= 时, cosA+2cos B+C 取得最大值为

29、3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22322题型之六（图形中的解三角形）留意敏捷利用图形来分析2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型之七 ：正余弦定懂得三角形的实际应用利用正余弦定懂得斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的学问,例析如下：（一 .）测量问题1.如图 1 所示,为了测河的宽度,在一岸边选定 A 、B 两点,望对岸标记物C,测得CCAB=30 , CBA=75 , AB=120cm ,求河的宽度。11ADB图 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：求河的宽度,就是求ABC 在 AB 边上

30、的高,而在河的一边,已测出AB 长、CAB 、 CBA ,这个三角形可确定。ACAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由正弦定理得sinCBAsinACB, AC=AB=120m ,又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S ABCABAC sinCABAB CD ,解得 CD=60m 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22点评：虽然此题运算简洁,但是意义重大,属于“不过河求河宽问题”。（二 .）遇险问题2 某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向,此舰艇以30 海里 /小时的速度向正东前进,30分钟后

31、又测得灯塔在它的东30北。如此灯塔四周10 海里内有暗礁,问此舰艇连续向东航 行有无触礁的危急？解析：如图舰艇在 A 点处观测到灯塔 S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在东 15北的方向上。 舰艇航行半小时后到达 B 点,测得 S 在东 30北的方向上。在ABC 中,可知 AB=30 0.5=15,北西1530东可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABS=150 , ASB=15 ,由正弦定理得ABCBS=AB=15 ,过点 S 作 SC直线 AB ,垂足南图 2为 C,就 SC=15sin30=7.5 。这说明航线离灯塔的距离为7.5 海里,而灯塔四周10 海里内

32、有暗礁,故连续航行有触礁的危急。点评：有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是：（ 1）精确懂得题意,分清已知与所求,特别要懂得应用题中的有关名词和术语。（ 2）画出示意图, 并将已知条件在图形中标出。（3）分析与所讨论问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。（三 .）追击问题3 如图 3,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方向,距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南偏西 15方向航行,如甲船以 28n mile/h 的速度航行,应沿什么方向,用多少 h 能尽快追上乙船？解析：设用 t h ,甲船能追上乙船,且在C 处相遇。在 ABC 中, AC=28t , BC=20t , AB=9 , 设 ABC= , BAC= 。 =180 4515=120。依据余弦定理北A45B15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AC2AB 2BC 22 AB BC