最新向量与向量的线性组合ppt课件.ppt

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1、向量与向量的线性组合向量与向量的线性组合（一）（一） 向量及其线性运算向量及其线性运算二维向量二维向量二元有序数组（二元有序数组（x, y）(x,y)0三维向量三维向量三元有序数组（三元有序数组（x, y,z）n维维行行向量向量n元有序数组元有序数组),(21naaa ai 的的第第i个分量个分量n维维列列向量向量 nbbb21 Tnbbb),(21 或或 nTaaa21 1. 定义定义令令 nxxxX21称为满足方程称为满足方程 的一个的一个解向量解向量。bAX 例例 （P.110(113)方程组方程组 2875342622321321321xxxxxxxxx 512 722 141 283

2、61x2x 3x TTTT)28, 3 , 6(,)1 , 4 , 1(,)7 , 2, 2(,)5 , 1 , 2(321 332211xxx若记若记方程组有解方程组有解2, 3, 1321 xxx使得使得 321231（二）（二） 向量组的线性组合向量组的线性组合问题的提出问题的提出：线性方程组可用向量表示为线性方程组可用向量表示为 nnxxx2211方程组是否有解的问题归结为：方程组是否有解的问题归结为：是否存在一组数是否存在一组数nnkxkxkx ,2211使得上式成立。使得上式成立。sskkk 2211 则称则称 是向量组是向量组s ,21的的线性组合线性组合或称或称 可由向量组可由

3、向量组s ,21线性表示（或线性表出）线性表示（或线性表出）定义定义3.5（P.124(128)）对于给定的向量对于给定的向量s ,21若若存在存在一组数一组数skkk,21使得使得可否全为零？可否全为零？1.定义定义如前例如前例例例 （P.124例例3(129例例2)） 零向量是任何向量组的线性组合零向量是任何向量组的线性组合。设任一向量组为设任一向量组为 ，s ，21sO 00021 一些常用结果一些常用结果 , 021skkk则则零向量零向量数零数零n维单位向量组（基本向量）：维单位向量组（基本向量）：),0 , 0 , 1(1 ),0 , 1 , 0(2 )1 , 0 , 0 , 0(

4、 n 例例 （P.124例例2(129例例1)） 任何任何n维向量维向量),(21naaa 都可由都可由n维基本单位向量组线性表示。维基本单位向量组线性表示。nnaaa 2211即即m ，21 例例 （P.125例例4（129例例3） 向量组向量组 中中任任 一向量都可由这个向量组线性表出。一向量都可由这个向量组线性表出。因为因为miiii 0010001121 ), 2 , 1,(niakii )(0, 1(ijkkji 组内向量可由本组向量表示组内向量可由本组向量表示2. 能否表示的判定定理及求组合系数的方法能否表示的判定定理及求组合系数的方法 ssxxx2211对比线性方程组的向量表示：

5、对比线性方程组的向量表示：及线性组合的定义：及线性组合的定义：sskkk 2211 知，知， 是否为向量组是否为向量组s ,21的线性组合，的线性组合，等价于等价于方程组方程组 ssxxx2211有无解，有无解，等价于等价于 r(A| ) 是否等于是否等于 r(A)。,21 mbbb 设设),2,1(21sjaaamjjjj smsA )(21 其中其中定理定理3.3 （P.124（128） 可由向量组可由向量组s ,21线性表示线性表示)()(ArAr smsA )(21 其其中中以向量以向量 j 为列！为列！注意：注意：若若 ， j 是是行向量行向量，则须，则须)(2T1TTsT ssxx

6、x2211组合系数组合系数为方程组为方程组的解。的解。思考题：思考题：若若 可由向量组可由向量组s ,21线性表示，线性表示，问：问：“表示表示”是否唯一？是否唯一？列向量，列向量，行变换！行变换！例例5 P.125 判断向量判断向量)11, 0 , 3 , 4(),11, 1, 3 , 4(21 与与是否各为下列向量组的线性组合。若是，写出表示式。是否各为下列向量组的线性组合。若是，写出表示式。)1 , 1 , 1, 2(),5 , 1, 2 , 1(21 解解 (1)12211 kk设设 1115111312421)(121TTT 000000110201, 2)()(21121 TTTT

7、Trr 线性表示，线性表示，可由可由211, 2112 且且（表示唯一吗？）（表示唯一吗？） 1115011312421)(221TTT 000100110421, 2)(, 3)(21221 TTTTTrr 线性表示。线性表示。不能由不能由212, (2)练习练习 设设R3 中的向量中的向量)9, 8, 7(),6, 5, 4(),3, 2, 1(),9, 5, 1(321 判断判断 能否由能否由 1， 2， 3 线性表示？若能，线性表示？若能，写出一个表示式。写出一个表示式。解解 332211kkk设设 TTTT 321若不需写出若不需写出“表示式表示式”，则不必化行简则不必化行简化阶梯形

8、矩阵。化阶梯形矩阵。 996358521741 000036301741初初等等行行变变换换 000012105101初等行变换初等行变换 TTTTr 321 )3(2321 TTTr 线线性性表表示示可可由由321, （表示式不唯一，（表示式不唯一，为什么？为什么？） 000012105101由由 1253231xxxx得得取取 x3=0,得得 x1=5, x2=-1.于是得线性表示式：于是得线性表示式：215 30 再求一表示式再求一表示式取取 x3=1,得得 x1=6, x2=-3.32136 3231215xxxx即即定义定义 设有两个向量组设有两个向量组 若向量组若向量组(A)的的每

9、个每个向量向量都可由向量组都可由向量组(B)中的向量线中的向量线性表出，性表出，则称则称向量组向量组(A)可由向量组可由向量组(B)线性表出线性表出。三、三、 两个向量组之间的关系两个向量组之间的关系 (P.125 (137)sA ，21 )(tB ，21 )(即即), 2 , 1(2211tikkksisiii ), 2 , 1(2211sjllltjtjjj 若向量组若向量组(A)与向量组与向量组(B)可互相线性表出，则称它可互相线性表出，则称它们们等价等价。(定义定义3.6）线性表出的线性表出的传递性传递性： (A)可由可由(B)线性表出，线性表出，(B)可由可由(C)线性表出，线性表出

10、， (A)可由可由(C)线性表出。线性表出。sA ，21 )(tB ，21 )(设设pC ，21 )(定理定理3.4 （P.126（137定理定理3.8）证略证略例例6 P.126 判断下列向量组是否等价判断下列向量组是否等价TTTTTTTTTCBA)0, 0, 1(,)0, 1, 1(,)0, 0, 0()()1, 1, 1(,)0, 1, 1(,)0, 0, 1()()1, 0, 0(,)0, 1, 0(,)0, 0, 1()(321321321 解解 因为因为321321211, 所以所以(B)可由可由(A)线性表示。线性表示。又又23312211, 所以所以(A)可由可由(B)线性表示

11、。线性表示。 故向量组故向量组(A)与与(B)等价。等价。 (C)可由可由(A)线性表示线性表示:132123211,000 但但 (A)不能由不能由(C)线性表示线性表示: 因因 不能由不能由(C)线性表示线性表示3 故故(A)与与( C) 不等价，不等价， 由此由此(B)与与( C) 也不等价。也不等价。为什么？为什么？练习练习是否等价？是否等价？与与)()()1, 0(),0, 1()();1, 1(),1, 1(),0, 1()(21321BABA 21321211 .21321线线性性表表示示，可可由由，即即 ），），（又因有又因有2321121 .32121线线性性表表示示，可可由由，即即 故两向量组等价。故两向量组等价。注意注意：两等价向量组的向量个数不一定相等：两等价向量组的向量个数不一定相等. 解解 3.23.2 n 维向量空间