高等代数北大版课程教案-第5章二次型.doc

^` 第五章 二次型 1 二次型的矩阵表示 一 授课内容：1 二次型的矩阵表示 二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同. 三 教学重点：矩阵表示二次型 四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程： 定义：设是一数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式 … (3) 称为数域上的一个元二次型，或者，简称为二次型. 例如： 就是有理数域上的一个3元二次型. 定义1 设，是两组文字，系数在数域中的一组关系式 (4) 称为到的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 ，那么线性替换(4)就称为非退化的. 二次型的矩阵表示： 令 ， 由于 ,那么二次型(3)就可以写为 …+ (5) 把(5)的系数排成一个矩阵 它称为二次型(5)的矩阵.因为，，所以 . 我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的. 令,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来， . 故 . 显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型 且 ，则， 线性替换的矩阵表示 令,,那么，线性替换(4)可以写成， 或者. 显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系. 设 ，， (7) 是一个二次型，作非退化的线性替换 (8) 得到一个的二次型. 现在来看矩阵与矩阵的关系 把(8)代入(7)有 . 容易看出，矩阵也是对称的，事实上， . 由此，即得 . 定义2 数域上矩阵称为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使 . 合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有 (1)反身性 . (2)对称性 由 ，即得. (3)传递性 由，，即得. 因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的. 2 标准形 一 授课内容：2 标准形 二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法. 三 教学重点：化普通的二次型为标准形. 四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示. 五 教学过程： I 导入 可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型 (1) II 讲授新课 定理1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式. 不难看出，二次型(1)的. =. 反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项. 定理2 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定义 二次型经过非退化的线性替换所变成的平方和称为的一个标准形. 例 化二次型 为标准形. 解：作非退化的线性替换 则 再令 或 则. 最后令 或 则 是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换， . 用矩阵的方法来解 例 化二次型 为标准形. 解：的矩阵为. 取,则 . 再取，则 . 再取，则 是对角矩阵，因此令 ， 就有 . 作非退化的线性替换 即得 . 3 唯一性 一 授课内容：3 唯一性 二 教学目的： 通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正(负)惯性指数，符号差. 三 教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别. 四 教学难点：实二次型的唯一性 五 教学过程： 在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的. 例 二次型经过非退化的线性替换 得到标准形 . 而经过非退化的线性替换 就得到另一个标准形 . 这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关. 下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题. 对于复数域的情形 设是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后，变为标准形，不妨设标准形为 ，， (1) 易知，就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我们再作一非退化的线性替换 (2) (1)就变为 (3) (3)称为复二次型的规范形.显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定. 定理3 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的. 定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为 的对角矩阵.从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等. 对于实数域的情形 设是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使变为标准形， (4) ，就是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换 (5) (4)就变为 (6) (6)称为实二次型的规范形.显然，规范形完全被这两个数所决定. 定理4(惯性定理) 任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的. 定义3 在实二次型的规范形中，正平方项的个数称为的正惯性指数，负平方项的个数称为的负惯性指数，它们的差称为的符号差. 惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数. 4 正定二次型 一 授课内容：4 正定二次型 二 教学目的：通过本节的学习，让学生掌握正定(负定，半正定，半负定，不定)二次型或矩阵.(顺序)主子式的定义，掌握各种类型的判别法. 三 教学重点：正定二次型. 四 教学难点：判别方法 五 教学过程： 定义4 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有. 显然，二次型 是正定的，因为只有在时，才为零. 一般的，实二次型 是正定的，当且仅当 . 可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变. 定理5 元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于. 定理5说明，正定二次型的规范形为 (5) 定义5 实对称矩阵称为正定的，如果二次型正定. 因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵，所以一个实对称矩阵是正定的，当且仅当它与单位矩阵合同. 推论 正定矩阵的行列式大于零. 定义6 子式 称为矩阵的顺序主子式. 定理6 实二次型 是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全大于零. 例 判断二次型 是否正定. 解：的矩阵为 它的顺序主子式 ， ， 因之，正定. 与正定性平行，还有下面的概念. 定义7 设是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数，如果都有，那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么就称为不定的. 对于半正定，我们有 定理7 对于实二次型，其中是实对称的，下面条件等价： (1)是半正定的. (2)它的正惯性指数与秩相等. (3)有可逆实矩阵，使 ，其中， . (4)有实矩阵使. (5)的所有主子式皆大于或等于零. 注意：在(5)中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的. 比如， 就是一个反例.