高等数学复旦大学出版社课后习题集规范标准答案.doc

| 1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数的定义域是,而函数的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 解: (1)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是. (2)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1). (3)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是. (4)要使函数有意义,必须 即 即或,(k为整数). 也即 (k为整数). 所以函数的定义域是, k为整数. 3.解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当时,可以是不为零的任意实数,此时,可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 4. 解: , 5.解: 6.解: 7. 证:由解得, 故函数的反函数是,这与是同一个函数,所以和互为反函数. 8. 解: (1)由解得, 所以函数的反函数为. (2)由得, 所以,函数的反函数为. (3)由解得 所以,函数的反函数为. (4)由得,又,故. 又由得, 即,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数的反函数为. 9. 解: (1) 是偶函数. (2) 函数是奇函数. 10. 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当时,有,当时,有, 故有.即函数有上界. 又因为函数为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数有界. 又由知,当且时,,而 当且时,. 故函数在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞), 且,使. 取,则有, 所以函数在定义域内是无界的. 又当时,有 故. 即当时,恒有,所以函数在内单调递增. 11. 解: (1)是由复合而成. (2)是由复合而成. (3)是由复合而成. (4)是由复合而成. 12.证: (1)设,则, 有 故为偶函数. (2)设则, 有 故为奇函数. 13.解: 设年销售批数为x, 则准备费为103x; 又每批有产品件,库存数为件,库存费为元. 设总费用为,则. 14. 解: 当x能被20整除,即时,邮资; 当x不能被20整除时,即时,由题意知邮资. 综上所述有 其中,分别表示不超过,的最大整数. 15. 证: (1)由得 解方程得, 因为,所以, 所以的反函数是 (2)由得,得; 又由得, 所以函数的反函数为 16. 解: 从而 . 由得定义域为. 17. 解: 当时,. , 当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于,趋向于0,趋向于. ,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1. 18. 解: ,,要使,只须.取,则当时,必有. 当时,或大于1000的整数. ,,要使 只要即即可. 取,则当时,有. 当时, 或大于108的整数. 19. 证: ,要使,只要.取,则当n>N时,恒有.故. (2) ,要使只要,取,则当n>N时,恒有.故. (3) ,要使,只要,取,则当n>N时,恒有,从而. (4)因为对于所有的正整数n,有,故,不防设,要使只要取则当时,恒有故. 20.证: ,由极限的定义知,,当时,恒有. 而 ,当时,恒有, 由极限的定义知 但这个结论的逆不成立.如但不存在. 21. 解: 而,当时, . (2)记 则有 即 而 故 即 . (3) 即 而 故 . (4) 而 故 . 22. 证: (1),不妨设,则 . 故对所有正整数n有,即数列有上界. 又 显然有,又由得,从而即, 即数列是单调递增的. 由极限的单调有界准则知,数列有极限. 设,则,于是,(不合题意,舍去),. (2) 因为,且, 所以, 即数列有界 又 由知与同号， 从而可推得与同号， 而 故, 即 所以数列单调递增，由单调有界准则知，的极限存在. 设, 则， 解得 (不合题意，舍去). 所以 23. 证：(1),要使 , 只须,取，则当时，必有 , 故. (2),要使 , 只须,取，则当时，必有 , 故. (3) ,要使 , 只要取，则 当时，必有, 故. (4) ,要使 , 只须，取，则 当时，必有 故. (5) ,要使 , 只要取，则 当时，必有, 故 . 24. 解：. 由无穷大与无穷小的关系知， . (7)因为 由已知知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为，于是 且 解得 . 25.解： 而 而 (14)令则当时，. 所以(利用(13)题的结果). (16)令， 则 而 所以 26. 解： ∴当时，是比高阶的无穷小量. 27.解： ∴当时，是与同阶的无穷小. ∴当时，是与等价的无穷小. 28. 解：(1)因为当时， 所以 (4)因为当时，,所以 (5)因为当时，所以 . (7)因为当时，,所以 (8)因为当时，所以 . (9)因为当时，,所以 (10)因为当时，，所以 (11)因为当时，所以 (12)因为当时，所以 (13)因为 而当时， 故 又当x→0进，所以 (14)因为当时， 故 所以 29. 解： (6)令，则当时，. 30. 解：(1)令，则 于是： 即 即 即. (2)令，则 于是 即 即 故 即 . (3)令，则 于是 即 从而 故 即 . (4)令，则 于是： 即 即. 31.解： 因为 所以不存在. (2) 因为不存在，所以不存在. 32. 解：(1)由初等函数的连续性知，在（0，1），（1，2）内连续， 又 而，在处连续， 又，由，知在处右连续， 综上所述，函数在[0，2)内连续. 函数图形如下： 图1-2 (2) 由初等函数的连续性知在内连续，又由 知不存在，于是在处不连续. 又由 及知，从而在x=1处连续， 综上所述，函数在及内连续，在处间断.函数图形如下： 图1-3 (3)∵当x<0时， 当x=0时， 当x>0时， 由初等函数的连续性知在内连续， 又由 知不存在，从而在处间断.综上所述，函数在内连续，在处间断.图形如下： 图1-4 (4)当|x|=1时， 当|x|<1时， 当|x|>1时， 即 由初等函数的连续性知在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由 知不存在，从而在处不连续. 又由 知不存在，从而在处不连续. 综上所述，在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在处间断. 图形如下： 图1-5 33. 解： 是函数的可去间断点.因为函数在x=1处无定义，若补充定义，则函数在x=1处连续；x=2是无穷间断点. 当时，. 为可去间断点，分别补充定义f(0)=1,，可使函数在x=0,及处连续.(); 为无穷间断点 (3)∵当时，呈振荡无极限， ∴x=0是函数的振荡间断点.(第二类间断点). (4) ∴x=1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.) 34. 解： ∴补充定义可使函数在x=0处连续. ∴补充定义可使函数在x=0处连续. ∴补充定义可使函数在x=0处连续. ∴补充定义可使函数在x=0处连续. 35. 解：(1)在上显然连续，而 且, ∴当，即时，在处连续，所以，当时，在上连续. (2)在内显然连续.而 ∴当，即时，在处连续，因而在上连续. 36. 证：令，则在[0,1]上连续，且,由零点定理，使即 即方程有一个小于1的正根. 37.证：令，则在上连续， 且 , 若，则就是方程的根. 若，则由零点定理得. ,使即即，即是方程的根，综上所述，方程至少有一个不超过的正根. 38. 证：令,由在上连续知，在上连续，且 若则都是方程的根， 若，则，由零点定理知，至少,使, 即，即是方程的根， 综上所述，方程在内至少有一根. 39.证：令,则在上连续，且 若，则若,则,若,则,由零点定理，至少存在一点,使即. 综上所述，至少存在一点，使. . . 40证:已知在上连续，则在上有最大值M和最小值m，于是 , 由介值定理知，必有，使 .