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-* 第3讲 导数与微分 高等数学基础课程的主要研究对象是函数，函数是变量之间的对应关系，怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。 3.1 导数的概念 一、函数的变化率 对于函数，我们要研究怎样随变化，进一步我们还要研究变化的速率，可以先看看下面这个图 我们可以看出，对于相同的自变量的改变量，所对应的函数改变量是不同的。可以表示变化的速率，但这是一个平均速率，怎样考虑函数在一点的变化率呢？ 二、导数的概念 根据前面的介绍，我们给出下面的定义。 定义3.1 设函数在点及其某个邻域内有定义，对应于自变量在处的改变量，函数相应的改变量为，如果当时极限 存在，则此极限值称为函数在点处的导数，或在点处函数关于自变量的变化率，记作 ，或 这时，称函数在点处是可导的。 根据导数定义，我们来求一些基本初等函数的导数。 例1 根据导数定义求在点处的导数。 解 根据定义求导数通常分三步： （Ⅰ）求： （Ⅱ）求： （Ⅲ）求： 因此得出。 如果函数在其定义域内每一点都可导，那么我们就得到了一个新的函数，称为的导函数。在点的函数值就是在点的导数。 例2 根据导数定义求在点处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： 因此得出。 例3 根据导数定义求（为自然数）在点处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： 因此得出。 可以看出上例的结果与本例的结果是一致的。 例4 根据导数定义求在点处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： 因此得出。这个结果可以写成。 例5 根据导数定义求在点处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： 因此得出。这个结果可以写成 从这两个例子可以看出公式不仅在为自然数时成立，而且当和时也成立。因此我们不妨认为对任意实数，有。 下面再来看一下利用重要极限求基本初等函数导数的例子，为此先给出第2个重要极限的另一种形式 的另一种形式是 另外，记 称为自然对数。 例6 根据导数定义求在点处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： 注意到，当时有，设，第2个重要极限公式有 且是连续函数，所以有 因此得出。 例7 根据导数定义求在点处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： 注意到，当时有，设，据第1个重要极限公式有 且是连续函数，所以有 因此得出。 下面我们给出基本初等函数的导数公式 三、导数的几何意义 从下面这个图中 我们可以看出，函数在点处的导数，就是函数曲线在过点处的切线的斜率。这样便可得到切线的方程 例8求函数在点处的切线方程。 解 ，所以。由此得切线方程 即。 定理3.1 若函数在点处可导，则在连续。 证 由于 由定理2.1，有 其中是无穷小量。上式可写成 由此得 定理3.1的结论是不可逆的，例如函数在点连续，但在该点不可导。 3.2 求导法 一、导数的四则运算法则 我们可以看出，由定义求导是很复杂的，有了基本导数公式后也并未使求导的范围扩大多少，为此我们给出下面的运算法则： 设函数和在点处可导，则有 上述公式我们称为导数的四则运算法则。根据第3个公式还可以得到，若函数在点处可导，为任意常数，则有 对于导数的四则运算法则，我们仅就加法和乘法法则加以验证： 因为 所以 即 又因为 所以 即 例9求下列函数的导数： ⑴ ⑵ ⑶ 解 利用导数四则运算法则和基本导数公式进行计算： ⑴ ⑵ ⑶ 二、复合函数导求导法则 有了导数四则运算法则以后，可以求导的函数类型被大大地扩充了。但仍有我们无法解决的类型，如，等函数。 定理3.5 设函数，，且在点处可导，在相应的点处可导，则复合函数在点处可导，且 简单验证这个定理。由于 在 点处可导，则在点处连续，因此有。故有 由导数定义得到 称定理3.5为复合函数求导法则，也称为链锁法则。 例10求下列函数的导数： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 解 利用复合函数求导法则进行计算： ⑴设，有 ⑵设，有 ⑶设，有 ⑷设，有 例11设，求。 解 因为 设，有。由复合函数求导法则得 三、隐函数导求导法 在下面的方程中 的值可以随着的值而确定，即是的函数。但无法表示成的表达式，这种函数关系称为隐函数。 例12由方程所确定的函数，求。 解 等式两端同时对自变量求导， 左端： 右端： 由此得 解出，得 例13设，求。 解 由已知条件可得 等式两端同时对自变量求导， 左端： 右端： 由此得 解出，得 例14设，求。 解 由已知条件可得 等式两端同时对自变量求导， 左端： 右端： 由此得 解出，得 例15设，求。 解 由已知条件可得 等式两端同时对自变量求导， 左端： 右端： 由此得 解出，得 3.3 微分 一、微分的概念 在前面的讨论中，对于函数，我们经常遇到函数的改变量，也就是 从上式的右端看函数的改变量是自变量改变量的函数，这种函数关系一般来说是复杂的，能否将这种复杂的关系用简单的关系来近似呢？结论是在可导的情况下是可以的，因为此时有 即 称为函数在点处的微分，记为。即 或 例16求下列函数的微分： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 解 利用微分定义式： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 由⑷的结果得到。因此微分又可记为 或 根据上式，导数的符号又可记为 或 微分的几何意义由下面的图形可以看出 二、微分的运算法则 微分的运算与导数运算关系密切，与导数运算类似，微分也有四则运算法则 及 三、一阶微分形式不变性 如果函数，，且在点处可导，在相应的点处可导，那么对于复合函数在点的微分就有两种表达方式，即 形式上看以上两种表示之间似乎存在区别，进一步看 以上结果称为一阶微分形式不变性。 例17设，求。 解 利用一阶微分形式不变性得 由此得 例18由方程所确定的函数，求。 解 利用微分运算法则和一阶微分形式不变性，等式两端分别求微分得 左端： 右端： 由此得 整理得 得 注意到本例的结果与例12是相同的。 3.4 高阶导数 在本章的开始，我们曾提到如果函数在其定义域内每一点都可导，那么我们就得到了一个新的函数，称为的导函数（或一阶导函数）。若在点处可导，即 存在，则称此极限为在点处的二阶导数，记为 或 或 就是说 仿此我们可以定义函数的阶导数，并记为 或 或 例17设，求。 解 利用基本导数公式得 第4讲 导数应用 在这一讲中，我们要进一步应用导数这一工具来研究函数的性质。 4.1 中值定理 下面介绍的这个定理是第4章中的一个核心定理，本章几乎所有结论都围绕它而产生。 定理4.2 （拉格朗日（Lagrange）定理）设在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得 ， 对拉格朗日定理，我们利用下面的图形加以说明 这里需要指出，定理中的条件是不可缺少的。以下经常将此定理叙述为如下形式：设在开区间内可导，，对任意，则介于与之间至少存在一点，使得 推论1 设函数在区间内可导，且，则在该区间内是一个常值函数： （为常数） 推论2 设函数和在区间内可导，且，则和相差一个常数： 推论2的证明可以借助于辅助函数。 4.3 函数的单调性和极值 在这里我们利用一阶导数讨论函数的单调性。 一、函数的单调性 定理4.5设函数在区间内可导，如果在内，则在该区间内单调上升；如果在内，则在该区间内单调下降。 证 对任意的且时，由拉格朗日定理知存在使得 由已知，所以，即，也就是 因此可知在区间内单调上升。同理可证在区间内单调下降。 例1 求函数的单调区间。 解 观察 可以看出，当时， 当时， 当时， 综上可知的单调上升区间是和；单调下降区间是。 例2 说明函数在区间内的单调性。 解 观察 可以看出，当时， 当时， 所以函数在区间内单调下降；在区间内单调上升。 二、函数的极值 定义4.1设函数在点的一个邻域内有定义，如果当时恒有 则称是的极大值点，称为的极大值。如果当时恒有 则称是的极小值点，称为的极小值。 注意下图，很多结论可以用它来做几何解释。 通过观察我们直接给出下面的结论。 定理4.6（极值点的必要条件）设函数在点的一个邻域内有定义，且是的极值点，如果在可导，则 我们将满足的点称为的驻点。从上图中看到，驻点不一定是极值点（如），极值点也不一定是驻点（如）。定理4.6的意义在于函数的极值点只存在于它的驻点或不可导点当中。 定理4.7（极值点的充分条件）设函数在点及其邻域内可导，且。如果在两侧的符号相同，则不是的极值点，如果在两侧的符号相反，则是的极值点。进而，如果在左侧为正，在右侧为负，则是的极大值点。如果在左侧为负，在右侧为正，则是的极小值点。 求极值点的步骤 ⑴首先求的导数，找出所有驻点和不可导点； ⑵对所有驻点和不可导点进行判断以找出极值点； ⑶进一步确定它们是极大值点还是极小值点。 例3 求函数的极值点。 解 因为 所有令，得，。对，左正右负，所以是的极大值点。对，左负右正，所以是的极小值点。 三、最大值最小值问题 设函数的定义域为，若存在（或），使对任意有 （或） 则称（或）为的最大值点（或最小值点），称（或）为的最大值（或最小值）。 仍由前图看出，最大值点不一定是极大值点（如），极大值点也不一定是最大值点（如）。 求函数最大值点的步骤 ⑴首先求出的所有极大值点； ⑵找出取值最大的极大值点； ⑶将取值最大的极大值点的函数值与定义区间端点的函数值比较，取值最大的点即为最大值点。 求函数最小值点的步骤与上类似。 例4 求函数在区间上的最大值点和最小值点。 解 因为 所有令，得。比较函数值得 ， ， 由此可知是在区间上的最大值点，是最小值点。 例5 求曲线上的点，使其到点的距离最短。 解 曲线上的点到点的距离公式为 与在同一点取到最大值，为计算方便求的最大值点，将代入得 令 求导得 令得．并由此解出，即曲线上的点和点到点的距离最短。 例6圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解 如图所示，圆柱体高与底半径满足 h r l 圆柱体的体积公式为 将代入得 求导得 令得，并由此解出．即当底半径，高时，圆柱体的体积最大。 例7 从面积为的一切矩形中，求周长最小的矩形的边长。 解 设矩形的边长分别为，周长为，则有 由矩形面积公式得 代入面积公式得 令得（舍去），。即当矩形的边长时，矩形的周长最小。 4.5 函数的凹凸 在这里我们利用二阶导数讨论函数的凹凸性。 定义4.2设函数在区间内可导，如果曲线上每一点处的切线都位于该曲线的下方（或上方），则称曲线在区间内是凹（或凸）的。 凹凸的几何意义如下图所示 定理4.9设函数在区间内二阶导数存在，如果在内，则曲线在内是凹的；如果在内，则曲线在内是凸的。 如果曲线上有这样的点，使得曲线在此点的一边为凹，而在其另一边为凸，则称点为曲线的拐点。 拐点的几何意义如下图所示 例8 求曲线的凹凸区间和拐点。 解 因为 所有令，得和。且当时 且当时 所以曲线的凹区间是和；凸区间是。 另外由于函数的二阶导数在点和的两侧的符号发生改变，依定理4.9，曲线在点和的两侧的凹凸性发生改变，在处的函数值为 故点和是曲线的拐点。