高级中学函数值域求法全套汇编.doc

.* 函数值域求法小结 一、 基本知识 1． 定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2． 函数值域常见的求解思路： ⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。 ⑵．反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。 ⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数看作是关于自变量的方程，在值域中任取一个值，对应的自变量一定为方程在定义域中的一个解，即方程在定义域内有解；另一方面，若取某值，方程在定义域内有解，则一定为对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围。 特别地，若函数可看成关于的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。 ⑷．可以用函数的单调性求值域。 ⑸．其他。 3． 函数值域的求法 一、观察法（直接法）（从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。） 1、求函数的值域 2、求的值域。 3、求函数的值域。 4、求函数的值域 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数的值域。 2、求函数（）的值域。 三、最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。 1、求函数的值域。 2、已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0，且满足x+y=1，求函数z=xy+3x的值域。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制。 四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。 1、求函数的值域。 2、求函数的值域。 五、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数的值域。 2、求函数的值域。 六、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等） 1、求函数的值域。 2、求函数的值域。 注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。 七、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为(常数)的形式） 1、求函数的值域。 2、求函数的值域。 3、求函数的值域。 注意到分时的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。 八、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数的值域。 2、求函数的值域。 九、有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。 1、求函数的值域。 2、求函数的值域 十、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 1、求函数的值域。 2、求函数在区间上的值域。 3、求函数的值域。 十一、复合函数法：对函数，先求的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法。 1、求函数 的值域 2、求函数的值域。 十二、“平方开方法” 求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题. 1.适合采用“平方开方法”的函数特征 设（）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征： （1）的值总是非负，即对于任意的，恒成立； （2）具有两个函数加和的形式，即（）； （3）的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即 （，为常数）， 其中，新函数（）的值域比较容易求得. 2.“平方开方法”的运算步骤 若函数（）具备了上述的三个特征，则可以将先平方、再开方，从而得到（，为常数）.然后，利用的值域便可轻易地求出的值域.例如，则显然. 1、求函数 的值域 2、求函数（，）的值域.