高级中学数学-人教A版-必修2-第二章学习知识重点情况总结.doc

.* 年 级 高一 学 科 数学 版 本 人教新课标A版 课程标题 必修2 第二章 第1节 空间点、直线、平面之间的位置关系 编稿老师 一校 二校 审核 一、学习目标： 1. 掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质、作用及公理1-3； 2. 了解空间中两条直线的位置关系；理解异面直线的概念、画法，理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理；异面直线所成角的定义、范围及应用． 3. 了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面的位置关系。 二、重点、难点： 重点：平面的概念及表示；平面的基本性质，公理1-3中的图形语言及符号语言；异面直线的概念；公理4及等角定理；空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系． 难点：平面基本性质的掌握与运用；异面直线所成角的计算；用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系． 三、考点分析： 考纲对这部分知识的要求是：理解空间点、直线和平面的位置关系，掌握平面的基本特性，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。在考试中对点、线、面位置关系的考查经常出现在选择题中，求异面直线所成的角经常出现在选择题和解答题中。 1. 平面的含义、画法及表示 2. 点和面的位置关系 点A在平面α内，记作：A∈α 点B在平面α外，记作：Bα 3. 公理1—3 （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号语言表示为： 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 符号语言表示为：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α． 公理2作用：确定一个平面的依据． 推论1：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：过两条平行直线，有且只有一个平面。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 符号语言表示为：P∈α∩βα∩β=l且P∈l 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 4. 空间中的两条直线的位置关系 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点． 5. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示为：设a、b、c是三条直线 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据． 6. 异面直线所成的角 （1）已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a∥a、b∥b，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）． （2）注意： ① a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置关系来确定，与O点的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 7. 直线与平面的位置关系 （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线与平面平行 —— 没有公共点 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用来表示 a∩α=A a∥α 8. 两个平面的位置关系 （1）两个平面平行——没有公共点 （2）两个平面相交——有且只有一条公共直线 用类比的方法，可使学生快速地理解与掌握新内容，这两种位置关系用图形语言表示为 α∥β α∩β=l 知识点一：确定平面 例1. 空间四点可以确定几个平面？三条直线两两相交可确定几个平面？空间四条平行直线可以确定几个平面？一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定多少个平面？ 思路分析：利用公理2可以解决确定平面的问题 解答过程：1. 空间四点可以确定0个、1个、4个平面。 三点确定一个平面，讨论第四个点是否在平面上。 2. 三条直线两两相交可确定1个或3个平面。 3. 空间四条平行直线可以确定1个、4个、6个平面。 4. 一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定1个、3个、4个平面。 解题后的思考：对于空间中点、线的位置关系要全面分析，不要遗漏。 知识点二：点、线共面 例2. 如图，正方体ABCD——中E、F为、中点。求证：、E、F、B四点共面。 思路分析：利用公理1和2可解决点共面的问题，从而解决确定平面的问题。 解答过程：连接交DA延长线于M ∵ E为中点 ∴ MA=AD 同理，连接交DC延长线于N，CN=CD ∵ 正方体ABCD—— ∴ MA=AB=BC=CN ∴ ，， ∴ ∴ M、B、N三点共线 ∴ ，、确定平面 ∴D1、E、M、B、N、F六点共面，从而D1、E、F、B四点共面 解题后的思考：将几个公理结合起来使用是解决问题的关键 例3. 如图，正方体，E、F、G、H、M、N为各棱中点，求证：EFGHMN为正六边形。 思路分析：要想证明EFGHMN为正六边形，首先应解决这些点共面的问题 解答过程：显然EF=FG=GH=HM=MN=NE E、F为棱AD、AB中点，EF//BD ∴ EF//NG，确定平面 同理，FG//EH， 确定平面 与有三个不在同一条直线上的三点E、F、G ∴ 重合 ∴ E、F、G、H、N五点共面 同理E、F、G、H、M、N六点共面 且EF//MH、FG//NM、EN//GH ∴ EFGHMN是正六边形 解题后的思考：证明共面问题有以下两个方法：（1）先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上（2）先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合 例4. 如图所示，ABCD—A1B1C1D1是正方体，画出图中阴影部分的平面与平面ABCD的交线，并给出证明。 思路分析：确定两个平面的交线，就是找两个平面的两个公共点，本题中已经给出一个公共点，只需利用分别在两个平面内且相交的直线来确定另一个交点。 解答过程：如图，过点E作EN⊥CD于点N，连结NB并延长，交EF的延长线于点M，连结AM，因为直线EN//BF，所以B、N、E、F四点共面。 因此EF与BN相交，交点为M， 因为，且， 而平面AEF，NB平面ABCD， 所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点， 又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点， 所以AM为这两平面的交线。 知识点三：异面直线所成的角 例5. 正方体的棱长为，对角线长为。 求：①异面直线与所成的角。 ②异面直线与所成的角。 ③异面直线与所成的角。 ④M、N为、中点，MN与AC所成角。 ⑤H为BC中点，与所成角的余弦值。 思路分析：利用异面直线的定义，构造三角形利用余弦定理求解 解答过程：① ∴ 与所成锐角即为两条异面直线所成的角。 ②，为等边三角形 ∴与所成的角为 ③延长DC至E使CE=CD， 中，，， 中，DE=，AD= ∴ AE，由余弦定理 ④MN//BD BD ∴所成角为 ⑤F为AD中点，，中， ， ， ∴ 所成角的余弦值为 解题后的思考：“平移找角”，“补形法”是求异面直线所成角的基本方法 例6. 四面体ABCD，棱长均为（正四面体） ①求AC、BD所成的角。 ②E、F为BC、AD中点，求AE、CF所成角的余弦值。 思路分析：利用异面直线的定义，构造三角形利用余弦定理求解 解答过程：①H为CD中点 EH//BD，EH=，FH//AC ，为两条异面直线AC、BD所成角或其补角 ∴ ②K为DE中点，连结FK，FK//AE CF与FK所夹锐角为异面直线AE、CF所成角 ， ∴ 所成角的余弦值为 解题后的思考：在封闭几何体中求异面直线所成角，经常利用中位线的平行关系进行平移找角。 一、预习新知 请同学们预习 必修2 第二章 第2节 直线、平面平行的判定及其性质 二、预习点拨 通过预习，请回答下列问题： 1. 直线与平面平行的判定定理，两个平面平行的判定定理的内容是什么？ 2. 直线与平面平行的性质定理，两个平面平行的性质定理的内容是什么？ （答题时间：50分钟） 一、选择题： 1. 已知为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知棱长为a，则异面直线A1B与B1C所成角的大小为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 3. 设P是异面直线a、b外的一点，则过P点且与a、b都平行的平面（ ） A. 有且只有一个 B. 恰有两个 C. 没有或只有一个 D. 有无数个 4. 若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是（ ） A. 三个平面共线 B. 有两个平面平行且都与第三个平面相交 C. 三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交 D. 三个平面两两相交 二、填空题： 5. 用符号语言表示下列语句： （1）点A在平面内，但在平面外 ； （2）直线a经过平面外一点M ； （3）直线a在平面内，又在平面内，即平面和相交于直线a 。 6. 分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 7. 在四面体A-BCD中，AD=BC，且，E，F分别是AB，CD的中点，则EF与BC所成的角为 三、解答题： 8. 证明：已知，，，，求证：四线共面。 9. 正方体中，E、F为AB、中点，求、所成的角的余弦值。  一、选择题： 1. C 解析：选项A反映的是公理1，选项B反映的是公理3，选项D反映的是两平面重合的条件，选项C中与相交，点A在交线上，故选项C表述错误。 2. C 解析：如图，连接A1D，BD，∵A1D//B1C，∴∠BA1D为所求，在△A1DB中，A1D=BD=A1B，∴∠DA1B=60。 3. C 解析：设点P与直线a确定的平面为，当b平行于a时，过点P且与a、b都平行的平面不存在；当b不平行于a时，过点P且与a、b都平行的平面有且只有一个。 4. C 二、填空题： 5. （1） （2） （3） 6. 相交或异面 7. 解析：如图所示，取BD的中点G，连接EG，GF，则∠EFG为异面直线EF与BC所成的角。因为， EG//AD，GF//BC，所以EGGF，所以△EGF为等腰直角三角形，所以∠EFG=45。 三、解答题： 8. 证明：确定平面 ∴A、B ∴， 确定平面 同理 过两条相交直线、有且仅有一个平面 ∴ 重合 ∴ 四线共面 9. 证明：H在上， M为中点 ∴ ∴HF与所成角等于异面直线、所成的角 设棱长为 中， ∴、所成角的余弦值为 年 级 高一 学 科 数学 版 本 人教新课标A版 课程标题 必修2 第二章 第2节 直线、平面平行的判定及其性质 编稿老师 一校 二校 审核 一、学习目标： 1. 理解并掌握直线与平面平行的判定定理；理解并掌握两平面平行的判定定理． 2. 掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；掌握两个平面平行的性质定理及其应用． 二、重点、难点： 重点：直线与平面平行的判定定理及其应用；两个平面平行的判定；直线与平面平行的性质定理及其应用；两个平面平行的性质定理。 难点：线面平行的判定定理和性质定理的应用。 三、考点分析： 立体几何中的平行关系是一种很重要的关系，在高考中的选择题、填空题几乎每年都考，难度适中。解答题以多面体为载体往往与其他考点考察，以中档题为主。 1. 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 简记为：线线平行，则线面平行． 符号表示： 2. 两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 符号表示： 推论1. 推论2. 3. 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． 简记为：线面平行，则线线平行． 符号表示： 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题． 4. 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号表示： 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。 推论： 知识点一：线面平行的判定 例1. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M是棱DD1的中点。求证：BD1//面MAC。 思路分析：利用线面平行的判定定理“线线平行，则线面平行”进行解答。 解答过程： 证明：设直线AC与BD交于点N，连结MN。 则在△BDD1中，因为M，N分别为边DD1，BD的中点， 所以MN//BD1。 又直线MN面MAC，BD1面MAC，所以BD1//面MAC。 解题后的思考： 要证线面平行，可先证线线平行，这是解决此类问题的基本思想。同时，在使用线面平行的判定定理时，要特别注意一个细节：在说明或证明的过程中务必要体现一个“内”，一个“外”，此点亦是定理的核心所在。 例2. 如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，且AM=FN，求证：MN//面BCE。 思路分析：利用线面平行的判定定理，在平面BCE中找到与MN平行的直线，进而求证。 解答过程：证明：作MG⊥BC于G，NQ⊥BE于Q，连结GQ，则MG//AB，NQ//AB ∴MG//NQ ∴ 而 ∴ ∴MG=NQ ∴四边形MGQN为平行四边形 ∴MN//GQ ∵MN面BCE，GQ面BCE ∴MN//面BCE 解题后的思考：证明线面平行可以通过“过线作面找交线”，“线线平行，则线面平行”的方法、定理来解决。 知识点二：线面平行的性质 例3. 求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行。 思路分析：可以考虑用线面平行的性质定理来证明线线平行。 解答过程： 已知：，，求证： 证明：过作面交面于 ∵ ∴ 同理，过作 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 又面过交于 ∴ ∵ ∴ 解题后的思考：可利用“线面平行，则线线平行”的判定定理来解答。 知识点三：面面平行的判定 例4. 如图所示，点P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，求证： （1）平面A′B′C′//平面ABC。 （2）A′B′=AB。 思路分析： 由三角形重心易联想到三角形的中线交点，且交点分中线的比为2:1，在图中取AB、BC、CA的中点M、N、Q，连结后即可证明。 解答过程： 证明：（1）如上图所示，取AB、BC、CA的中点M、N、Q，连结PM、PN、PQ、MN、NQ、QM，由A′、B′、C′为△PBC、△PCA、△PAB的重心， ∴A′、B′、C′分别在PN、PQ、PM上，且。 在△PMN中， ， 。 ∵A′C′平面ABC，MN平面ABC。 ∴A′C′//平面ABC。 ∴A′C′//MN。 ∵A′C′平面ABC，MN平面ABC。 ∴A′C′//平面ABC。 同理，A′B′//平面ABC。 ∵， ∴平面A′、B′、C′//平面ABC。 （2）由（1）知。 解题后的思考： 利用三角形重心的性质可得线段成比例，从而可以得到线线平行，由线线平行可推得线面平行，从而推得面面平行，要理解并掌握三者之间的紧密联系、相互转化。 例5. 如图1，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB的中点为P，在线段AP上取一点M作与面PB1C平行的截面，此截面可能是平行四边形吗？若是，求出这个平行四边形的面积；若不是，请说明理由。 思路分析：“在线段AP上取一点M作与面PB1C平行的截面”如何作？其实，就是分别作PC与PB1的平行线，这两条线会与DC，A1B1都相交，但过这两条线作平面会是一个什么样的平面呢？并非一目了然，需要同学们有较好的空间想象能力。 解答过程： 固定：取面PB1C。 运动：将面PB1C向后平行移动，显然出现三种情况： （1）当M与P重合时为三角形，如图2。 （2）当M在A，P之间时所作的平面为五边形，如图3。 （3）当M与A重合时，截面AEC1F为平行四边形，如图4。结合勾股定理，易得此平行四边形为菱形，且两对角线长分别为与， 故平行四边形AEC1F的面积为。 解题后的思考：运用运动的观点解决问题，可以加深对问题的理解，对解决问题很有帮助。 知识点四：面面平行的性质 例6. 一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M，N分别是AF，BC的中点），求证：MN//平面CDEF，并且求多面体的体积。 思路分析：证明线面平行可以考虑利用面面平行的性质，过MN作出与面CDEF平行的平面。 解答过程： 由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE—BCF，且AB=BC=BF=2，DE=CF=，且∠CBF=90。 （1）取BF的中点G，由M，N分别为AF，BC的中点可得，NG//CF，MG//EF，所以面MNG//面CDEF，所以MN//平面CDEF。 （2）由分析知，。 解题后的思考： 从高考中出现的试题看，将三视图与传统题目结合起来考查是高考的热点内容之一，其中对三视图的考查有加深的趋势。 例7. 如图，正四棱锥S—ABCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且BP∶PD＝1∶2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长。 思路分析： 要求出PQ的长，一般需设法构造三角形，使PQ为其一边，然后通过解三角形的办法来处理。 解答过程： 作PM∥AD交CD于M，连结QM，∵PM∥平面SAD，PQ∥平面SAD。 ∴平面PQM∥平面SAD，而平面SCD分别与此两平行平面相交于QM，SD。 ∴QM∥SD. ∵BC＝a，SD＝2a. ∴＝. ∴＝＝，MP＝a， ＝＝＝。 ∴MQ＝SD＝a，又∠PMQ＝∠ADS。 ∴cos∠PMQ＝cos∠ADS＝＝。 在ΔPMQ中由余弦定理得 PQ2＝(a)2+(a)2－2aa＝a2。 ∴PQ＝a。 解题后的思考：解答本题的关键是灵活运用面面平行的判定和性质，结合平行线截成线段比例的定理，最后由余弦定理求得结果。本题的综合性较强。 直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系，直线和平面的性质在应用时，要特别注意：“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线的”的错误结论。 一、预习新知 请同学们预习必修2 第二章 第3节 直线、平面垂直的判定及其性质 二、预习点拨 通过预习，请同学们回答下列问题： 1. 直线和平面垂直的定义及判定定理的内容是什么？什么是直线和平面所成角？ 2. “二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念是什么？ 两个平面垂直的判定定理的内容是什么？ （答题时间：40分钟） 一、选择题： 1. 有以下三个命题，其中正确的命题是（ ） ①若直线与平面相交，则内不存在与平行的直线； ②若直线//平面，与直线垂直，则直线不可能与平行； ③直线，满足，且，则平行于经过的任何平面。 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ① 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 平行于同一平面的两条直线平行 B. 同时与两条异面直线平行的平面有无数多个 C. 如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行 D. 直线不在平面内，则 3. 若平面//平面，直线，点，过点B的所有直线中（ ） A. 不一定存在与平行的直线 B. 只有两条与平行的直线 C. 存在无数条与平行的直线 D. 有且只有一条与平行的直线 4. 设，，，C是AB的中点，当A、B分别在平面、内运动时，那么所有的动点C（ ） A. 不共面 B. 当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面 C. 当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D. 不论A、B如何移动，都共面 二、填空题： 5. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AC平行且过正方体三个顶点的截面有_______个。 6. ，，是三条直线，，是两个平面，如果，，，，那么平面与平面的位置关系是____________________。 7. 对于不重合的两个平面与，给定下列条件： ①存在平面，使得、都平行于平面； ②内有不共线的三点到平面的距离相等； ③存在异面直线、，使得。 其中可以判断两个平面与平行的条件有___________。 8. 已知平面，两条直线，分别与平面，，相交于点A，B，C，和D，E，F，已知，则AC=__________。 三、解答题： 9. 长方体中，如下图，点， 求证：MN//平面ABCD。 10. 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面BDC1。  一、选择题： 1. D 解析：①正确，若内存在，且，则，这和与相交矛盾，②错误，与可能平行，③错误，当时，可能在过的平面内，当与不平行时，与过的任何平面都不平行。 2. B 解析：平行于同一平面的两条直线有三种位置关系，故A错；当直线与平面相交时，直线上有无数点在平面外，故C错；直线不在平面内时，可能与平行，也可能相交，故D错。 3. D 4. D 解析：如图，分别是A、B两点在、上运动后的两点，此时AB中点变成中点，连结，取中点E，连结CE、、、。 则CE//，∴CE//。 //，∴//。 又∵，∴//。 ∵，∴平面//平面。 ∴//。所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与、平行的平面上。 二、填空题： 5. 2 解析：∵AC//A1C1，∴AC//面BA1C1，AC//面DA1C1，∴符合题意的平面共2个。 6. 平行或相交 7. ①③ 解析：若与相交，如图，可在内找到A、B、C三个点到平面的距离相等，所以排除②。容易证明①③都是正确的。 8. 15 解析：，。 由，得。 而AB=6，∴BC=9，∴AC=AB+BC=15。 三、解答题： 9. 证明：连结AC，A1C1，因为是长方体，所以 又因为平面，平面 所以AC//平面，又因为AC平面，且平面平面 所以，因为平面ABCD，平面ABCD，所以MN//平面ABCD 10. 证明:∵ABC1D1，C1D1A1B1，∴AD1//BC1∴ABA1B1， ∴四边形ABC1D1为平行四边形，又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，∴BC1//平面AB1D1，同理，BD//平面AB1D1，又BD∩BC1＝B， ∴平面AB1D1//平面BDC1。 年 级 高一 学 科 数学 版 本 人教新课标A版 课程标题 必修2 第二章 第3节 直线、平面垂直的判定及其性质 编稿老师 一校 二校 审核 一、学习目标： 1. 掌握直线和平面垂直的定义及判定定理、性质定理和方法；理解和掌握线面角的概念及求法； 2. 理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念。 3. 掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用。 二、重点、难点： 重点：直线与平面垂直的定义和判定定理，线面角的概念；平面与平面垂直的判定及二面角的求法。 难点：线面垂直判定定理的证明及线面角、二面角的平面角的求法。 三、考点分析： 空间中的垂直关系是立体几何的一种重要关系，历年的高考试题中，这部分内容都是命题热点，尤其求线面角、二面角更是热点中的热点，以考查学生的能力为主，内容上综合直线和平面及简单几何体于一体，考查空间的垂直关系。 1. 线面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 2. 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。直线与平面所成角 规定为 或规定为 与斜交，为与其在平面内射影所夹锐角。 3. 二面角 （1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。 表示方法：二面角或 （2）二面角的平面角：一个平面垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线分别是射线、，为垂足，则叫做二面角的平面角。 （3）二面角的范围是:。 当两个半平面重合时，相交时，共面时。 （4）求二面角大小的关键是作出二面角，以下为作二面角的平面角的方法： 法一：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线。 如图①，为二面角的平面角。 法二：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角。 如图②，为二面角的平面角。 法三：（垂线法）过二面角一个面内的一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角。 如图③，为二面角的平面角。 4. 面面垂直的判定 （1）两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就称这两个平面互相垂直 （2）判定定理： （3）结论： 5. 面面垂直的性质 （1） （2） 知识点一：线面垂直定义的应用 例1：如图所示，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，过作于，过作于。 （1）求证； （2）若平面交于，求证。 思路分析：证明线线垂直，可利用转化思想先证明线面垂直，再利用线面垂直的定义就可证明线线垂直。 解答过程：（1）平面，平面，。 底面是矩形，。 又，平面。 又平面，。 又，，平面。 又平面，。 又，且，平面。 又平面，。 （2）平面，平面，。 又，，平面。 又平面，。 由（1）有平面，又平面，。 又，平面。 又平面，。 解题后的思考：直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质。是判定，指它是判定直线和平面垂直的方法；是性质，指：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任何一条直线。即“，”。这是证明线线垂直的一种方法。 知识点二：线面垂直的判定 例2：如图，已知垂直于矩形所在平面，、分别是、的中点，若。求证：平面。 思路分析：利用线面垂直的判定定理，证明MN与面内两条相交直线垂直 解答过程：方法一： 平面，， 又是的中点， 设为的中点，连结、， 方法二：如图，取的中点，连结、， 分别为、的中点， 。 又， ，即。 四边形为平行四边形。 。 平面且， 为等腰直角三角形。。 ① 又，， 平面。。 ② 由①②知平面，平面。 解题后的思考：证明线面垂直的方法： （1）利用线面垂直的定义：证一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面。 （2）用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，这条直线与平面垂直。 （3）利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。 （4）用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。 （5）用面面平行的性质定理：一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面。 （6）用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面。 知识点三：面面垂直 例3：如图，在正方体中，分别是的中点，求证：平面平面。 思路分析：证明两平面垂直，一般是通过判定定理转化为证明线面垂直，进而转化为一个平面内的一条直线与另一平面的两条相交直线都垂直。 解答过程：为正方体， 。 又，。 取中点，连结， 为中点，。 ，。 。是中点， ≌。 。 ， 即。。 ，面。 又面， 面面。 解题后的思考：在正方体中，作出和延展以后的截面，是证明该题的关键所在。 知识点四：直线和平面所成的角，二面角 例4：如图，在三棱锥中，，，，，点、分别在棱、上，且。 （1）求证：； （2）当为的中点时，求与平面所成角的正弦值的大小； （3）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由。 思路分析：先找到线面角和二面角的平面角再进行计算 解答过程：（1），。 又，， 。 （2）是的中点，， 。 又由（1）知，， ，垂足为点， 是与平面所成的角。 ，。 又，为等腰直角三角形， 。 在中，，， 在中，。 （3），又由（1）知，， 。 又，， ，， 为二面角的平面角。 ，， ， 在棱上存在一点，使得。 这时，， 故存在点使得二面角是直二面角。 解题后的思考：求直线和平面所成的角的关键是确定斜线在平面上的射影，把空间角化成平面角。 例5：如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且平面平面，和交于点。 （1）求与平面所成的角； （2）求二面角的正切值。 思路分析：先利用线面角和二面角的平面角的定义找到这些角，再构造平面图形求解 解答过程：（1）如图，在底面内作于，连结。 平面平面， 平面。 则为与平面所成的角。 四边形是正方形，。 又，。 在中，，。 。 。 即与平面所成的角为。 （2）在平面内过作于，连结。 由（1）知，面， ，， 面，得， 是二面角的平面角。 在中，， ， 解题后的思考：要找到点在面内的射影，可过点找到一个平面和已知平面垂直，只要过该点作两个平面交线的垂线即可证明它垂直于另一个平面。 例6：如图，过正方形的顶点作，设。求平面和平面所成的二面角的大小。 思路分析：本题中的二面角并没作出棱，首先要作出二面角的棱，然后用垂线法或定义法找到二面角的平面角并放在直角三角形中求解。 解答过程：法一：过作， 则， ， ，。 平面平面。 ，， 。 又，。 又，，。 。 ，。 是平面和平面所成的二面角的平面角。 ，， 即平面和平面所成的二面角的大小为。 法二：在中，， ， 由题易知，，， 在中，，， ， 由题意易证：，， 在平面内的射影为， 设平面和平面所成的二面角的大小为， 则。 。 即平面和平面所成的二面角的大小为。 解题后的思考：求无棱二面角的大小，可先找到平面角，也可利用射影法直接求解。 一、预习新知 思考：对于平面直角坐标系内的一条直线（如图），它的位置由哪些条件确定呢？ 请同学们预习必修2 第三章 第1-2节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 二、预习点拨 通过预习，请同学们回答下列问题： 1. 什么是直线的斜率？倾斜角？它们之间有什么关系？ 2. 求直线斜率的方法有哪些？ 3. 直线的方程有哪几种形式？ 空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力及化归的数学思想。空间角的计算步骤：一作、二证、三算。 （答题时间：40分钟） 一、选择题： 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C. 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D. 若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 2. 把正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，，则以为棱，以面与面为面的二面角的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平面，，，与两平面所成的角分别为和。过、分别作两平面交线的垂线，垂足为、，则=（ ） A. 2：1 B. 3：1 C. 3：2 D. 4：3 二、填空题： 5. 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于______________________。 6. 已知是直线，是平面，给出下列说法： ①若，，，则或； ②若，，，则； ③若不垂直于，则不可能垂直于内的无数条直线； ④若，，且，，则且。 其中正确的说法序号是_________________（注：把你认为正确的说法的序号都填上）。 7. 三棱锥的两个侧面与都是边长为的正三角形且。则平面与平面的位置关系是_____________。 8. 将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①；②是等边三角形；③与平面成的角；④与所成的角为。其中真命题的编号是______________（写出所有真命题的编号）。 三、解答题： 9. 如图，为正三角形，，，且，是的中点。求证： （1）； （2）平面平面； （3）平面平面。 10. 在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点。 （1）求证：四边形B′EDF是菱形； （2）求直线A′C与DE所成角的余弦值； （3）求直线AD与平面B′EDF所成角的余弦值； （4）求面B′EDF与面ABCD所成角的正弦值。  一、选择题： 1. 选C 解析：由线面垂直的判定定理，知答案A、B都是错误的。由答案D的条件可推得另一条直线可能在这个平面内，也可能与这个平面平行。故D也是错误的。 2. 选C 解析：当三棱锥体积最大时，面。如图连结，，则。在中，，。 3. 选C 解析：如图，根据已知，，。取中点为，连结，。则，，为所求角。 4. 选A 解析：由已