高级中学数学精彩资料题汇编资料.doc

\\ 高中数学易错易混易忘题分类汇编高中数学易错易混易忘题分类汇编 “会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成 为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要 的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的 66 个 易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、 怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明 确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者 精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已 的理想报负。 【易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例 1、 设，，若，求实数 a 2 |8150Ax xx|10Bx ax ABB 组成的集合的子集有多少个？ 【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的ABBBA 子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的 a 值产生漏解 现象。 解析：集合 A 化简得，由知故（Ⅰ）当时，即 3,5A ABBBAB 方程无解，此时 a=0 符合已知条件（Ⅱ）当时，即方程10ax B 的解为 3 或 5，代入得或。综上满足条件的 a 组成的集合为10ax  1 3 a  1 5 ，故其子集共有个。 1 1 0,, 3 5    3 28 【知识点归类点拔】 （1）在应用条件 A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，要树 立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集 Φ 的情况优先进行讨论． （2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别 是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素 的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间 的转化如：，，其中 22 ,|4Ax yxy   22 2 ,|34Bx yxyr \\ ,若求 r 的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行0r AB 转化就是：集合 A 表示以原点为圆心以 2 的半径的圆，集合 B 表示以（3，4） 为圆心，以 r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径 r 的 取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等 也要注意集合语言的应用。 【练 1】已知集合、，若 2 |40Ax xx 22 |2110Bx xaxa  ，则实数 a 的取值范围是 。答案：或。BA1a 1a   【易错点 2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。 例 2、已知,求的取值范围 2 2 21 4 y x  22 xy 【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x 的函 数最值求解，但极易忽略 x、y 满足这个条件中的两个变量的约 2 2 21 4 y x  束关系而造成定义域范围的扩大。 解析：由于得(x+2)2=1-≤1，∴-3≤x≤-1 从而 x2+y2=-3x2- 2 2 21 4 y x  4 2 y 16x-12= +因此当 x=-1 时 x2+y2有最小值 1, 当 x=-时，x2+y2有最大值。故 3 28 3 8 3 28 x2+y2的取值范围是[1, ] 3 28 【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件 对 x、y 的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则 2 2 21 4 y x  易知-3≤x≤-1，。此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。22y  【练 2】 （05 高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线上变化，则 22 2 1 4 xy b 0b  的最大值为（） 2 2xy \\ （A）（B）（C）（D）   2 4 04 4 24 b b b b          2 4 02 4 22 b b b b        2 4 4 b 2b 答案：A 【易错点 3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。 例 3、是 R 上的奇函数， （1）求 a 的值（2）求的反函数  21 12 x x a f x      1 fx  【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函 数的值域而出错。 解析：（1）利用（或）求得 a=1. 0f xfx 00f （2）由即，设,则由于故1a   21 21 x x f x     yf x211 x yy 1y  ，，而所以 1 2 1 x y y    1 1 2 log y y x     21 21 x x f x     2 11,1 21 x       1 1 1 2 log11 x x fxx      【知识点归类点拔】 （1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值 域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为 R 可省略） 。 （2）应用可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解 1( ) ( )fbaf ab   但应注意其自变量和函数值要互换。 【练 3】（2004 全国理）函数的反函数是（） 1 11f xxx  A、 B、 2 221yxxx 2 221yxxx C、 D、  2 21yxx x 2 21yxx x 答案：B 【易错点 4】求反函数与反函数值错位 例 4、已知函数，函数的图像与的图象关  12 1 x f x x     yg x 1 1yfx   于直线对称，则的解析式为（）yx yg x \\ A、 B、 C、 D、  32x g x x    2 1 x g x x      1 2 x g x x      3 2 g x x   【易错点分析】解答本题时易由与互为反函数，而认为 yg x 1 1yfx   的反函数是则== 1 1yfx  1yf x yg x1f x  而错选 A。   121 32 11 x x xx     解析：由得从而  12 1 x f x x      1 1 2 x fx x     再求的反函数得。    1 11 2 1 211 x x yfx x        1 1yfx    2 1 x g x x    正确答案：B 【知识点分类点拔】函数与函数并不互为反函数，他 1 1yfx  1yf x 只是表示中 x 用 x-1 替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来  1 fx  看：设则，1yf x  1 1fyx   再将 x、y 互换即得的反函数为，故  1 1xfy  1yf x  1 1yfx   的反函数不是，因此在今后求解此题问题时一定要谨1yf x 1 1yfx   慎。 【练 4】 （2004 高考福建卷）已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f-1(x)，则函数 y= f-1(1-x)的图象是（） 答案：B 【易错点 5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于 原点对称。 \\ 例 5、 判断函数的奇偶性。  2 lg 1 ( ) 22 x f x x    【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解： 从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论。    2 lg 1 () 22 x fxf x x     f x 解析：由函数的解析式知 x 满足即函数的定义域为定 2 10 22 x x         1,00,1 义域关于原点对称，在定义域下易证即函数为   2 lg 1x f x x     fxf x  奇函数。 【知识点归类点拔】 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要 但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。 （2）函数具有奇偶性，则是对定义域内 f x f xfx或 f xfx  x 的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。 【练 5】判断下列函数的奇偶性： ①②③  22 44f xxx   1 1 1 x f xx x      1sincos 1sincos xx f x xx    答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数 【易错点 6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过 程繁锁。 例 6、 函数的反函数为，证明是  22 21 2 11 log 22 x x f xxx        或  1 fx    1 fx  奇函数且在其定义域上是增函数。 【思维分析】可求的表达式，再证明。若注意到与具有相同  1 fx    1 fx   f x 的单调性和奇偶性，只需研究原函数的单调性和奇偶性即可。 f x 解析：，故为奇函数从而 212121 212121 222 logloglog xxx xxx fx     f x  f x 为奇函数。又令在和上均为增函数  1 fx  212 1 2121 x t xx     1 , 2      1 , 2     \\ 且为增函数，故在和上分别为增函数。故 2 log t y  f x 1 , 2      1 , 2     分别在和上分别为增函数。  1 fx  0,,0 【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函 数必有反函数。 （2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的 单调性。 （3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。 （4）周期函数不存在 反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即 。 1( ) ( )fbaf ab   【练 6】 （1） （99 全国高考题）已知 ，则如下结论正确的是（）( ) 2 xx ee f x    A、 是奇函数且为增函数 B、 是奇函数且为减函 f x f x 数 C、 是偶函数且为增函数 D、 是偶函数且为减函 f x f x 数 答案：A （2） （2005 天津卷）设是函数的反函数，则使  1 fx    1 1 2 xx f xaaa   成立的 的取值范围为（）A、 B、   1 1fx  x 2 1 (,) 2 a a   2 1 (,) 2 a a   C、 D、 2 1 (, ) 2 a a a  ( ,)a  答案：A （时，单调增函数，所以1a   f x .）      2 11 1 111 2 a fxffxfxf a     【易错点 7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树 立定义域优先的原则。 例 7、试判断函数的单调性并给出证明。 0,0 b f xaxab x  【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。 特别注意定义中的的任意性。 12 ,xD xD     1212 f xf xf xf x 12 ,x x 以及函数的单调区间必是函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。 \\ 解析：由于即函数为奇函数，因此只需判断函数在 fxf x  f x f x 上的单调性即可。设 ， 由于0, 12 0 xx    12 1212 12 ax xb f xf xxx x x   故当 时，此时函数在 12 0 xx 12 ,, b x x a         12 0f xf x f x 上增函数，同理可证函数在上为减函数。又由于函数, b a       f x0, b a     为奇函数，故函数在为减函数，在为增函数。综上所述：,0 b a      , b a       函数在和上分别为增函数，在和 f x, b a       , b a      0, b a     上分别为减函数.,0 b a      【知识归类点拔】 （1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数 的范围、最值等问题中，应引起足够重视。 （2）单调性的定义等价于如下形式：在上是增函数 f x, a b ，在上是减函数，这表明    12 12 0 f xf x xx     f x, a b    12 12 0 f xf x xx    增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两点连线   1122 ,,,xf xxf x 的斜率都大于（小于）零。 （3）是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应 0,0 b f xaxab x  用。但注意本题中不能说在上为增函数，在 f x, b a       , b a      上为减函数,在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间0, b a     ,0 b a      之间添加符号“∪”和“或”， 【练 7】 （1） （潍坊市统考题）（1）用单调性的定义  1 0 x f xaxa ax   \\ 判断函数在上的单调性。 （2）设在的最小值为， f x0, f x01x g a 求的解析式。 yg a 答案：（1）函数在为增函数在为减函数。 （2） 1 , a     1 0, a        1 21 01 a ayg a aa        （2） （2001 天津）设且为 R 上的偶函数。 （1）求 a 的值0a   x x ea f x ae  （2）试判断函数在上的单调性并给出证明。0, 答案：（1）（2）函数在上为增函数（证明略）1a 0, 【易错点 8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误 作充要条件使用，导致错误结论。 例 8、 （2004 全国高考卷）已知函数上是减函数，求 a 的  32 31f xaxxx 取值范围。 【易错点分析】是在内单调递减的充分不必要条 0,fxxa b f x, a b 件，在解题过程中易误作是充要条件，如在 R 上递减，但  3 f xx  。  2 30fxx  解析：求函数的导数（1）当时，是减函数，  2 361fxaxx 0fx f x 则故解得。 （2）当时，  2 3610fxaxxxR  0 0 a     3a  3a   易知此时函数也在 R 上是减函数。 （3）  3 32 18 3313 39 f xxxxx        当时，在 R 上存在一个区间在其上有，所以当时，函数3a   0fx3a   不是减函数，综上，所求 a 的取值范围是。 f x, 3  【知识归类点拔】若函数可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数 f x \\ 为例来说明：①与为增函数的关系:能推出为增函0)(  x f)(xf0)(  x f)(xf 数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴ 3 )(xxf),(0)(  x f 是为增函数的充分不必要条件。②时，与0)(  x f)(xf0)(  x f0)(  x f 为增函数的关系:若将的根作为分界点，因为规定，即)(xf0)(  x f0)(  x f 抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，)(xf0)(  x f0)(  x f 是为增函数的充分必要条件。③与为增函数的关系:0)(  x f)(xf0)(  x f)(xf 为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为)(xf0)(  x f0)(  x f 或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函0)(  x f0)(  x f0)(  x f)(xf 数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。函数的单调0)(  x f)(xf 性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三 个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题， 都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际 应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 因此本题在第一步后再对和进行了讨论，确保其充要性。在解题3a  3a   中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导 致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。 【练 8】 （1） （2003 新课程）函数是是单调函数的充 2 yxbxc0,x 要条件是（） A、 B、 C、 D、0b 0b 0b 0b  答案：A （2）是否存在这样的 K 值，使函数在上  2432 21 2 32 f xk xxkxx1,2 递减，在上递增？2, 答案：。 （提示据题意结合函数的连续性知，但是函数 1 2 k  20 f   20 f   在上递减，在上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由1,22, \\ 求出 K 值后要检验。 ） 20 f   【易错点 9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判 断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。 例 9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。 a 1 b 1 错解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8∴(a+) a 1 b 1 2 1 a 2 1 bab 2 ab ab 1  a 1 2+(b+ )2的最小值是 8 b 1 【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式 a2+b2≥2ab，第一次等 号成立的条件是 a=b=,第二次等号成立的条件 ab=，显然，这两个条 2 1 ab 1 件是不能同时成立的。因此，8 不是最小值。 解析：原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+ [(+) 2 1 a 2 1 b 2 1 a 2 1 ba 1 b 1 2- ]+4=(1-2ab)(1+)+4 由 ab≤()2= 得：1-2ab≥1-= ab 2 22 1 ba2 ba  4 1 2 1 ,且≥16，1+≥17∴原式≥17+4= (当且仅当 a=b=时， 2 1 22 1 ba 22 1 ba2 1 2 25 2 1 等号成立)∴(a+)2+(b+)2的最小值是。 a 1 b 1 2 25 【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺 一不可即“一正、二定、三相等” ，在解题中容易忽略验证取提最值时的使 等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。 【练 9】 （97 全国卷文 22 理 22）甲、乙两地相距 s km , 汽车从甲地匀速行驶 到乙地，速度不得超过 c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由 可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（km/h）的平方成正比，比例系 数为 b;固定部分为 a 元。 （1） 把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（km/h）的函数，并指出这个函数 的定义域； （2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 答案为:（1）（2）使全程运输成本最小，当≤c 2 0 s ybvavc v  b a \\ 时，行驶速度 v=；当＞c 时，行驶速度 v=c。 b a b a 【易错点 10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类 讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。 例 10、是否存在实数 a 使函数在上是增函数？若存在求出  2 log axx a f x  2,4 a 的值，若不存在，说明理由。 【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法， 在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致 a 的范围扩大。 解析：函数是由和复合而成的，根据复合函数的 f x  2 xaxx   log x a y   单调性的判断方法（1）当 a>1 时，若使在上是增函数，则  2 log axx a f x  2,4 在上是增函数且大于零。故有解得  2 xaxx2,4   1 2 2 2420 a a        a>1。 （2）当 a1 使得函数在上是增函数  2 log axx a f x  2,4 【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取 决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴 的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于 1 还是小于 1） ，特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思 想（对数型函数还要注意定义域的限制） 。 【练 10】 （1） （黄岗三月分统考变式题）设，且试求函数0a 1a  的的单调区间。 2 log 43 a yxx 答案：当，函数在上单调递减在上单调递增当函数01a 3 1, 2      3 ,4 2     1a  \\ 在上单调递增在上单调递减。 3 1, 2      3 ,4 2     （2） （2005 高考天津）若函数在区间内单  3 log0,1 a f xxaxaa 1 (,0) 2  调递增，则的取值范围是（）A、 B、 C、a 1 [ ,1) 4 3 [ ,1) 4 D、 9 ( ,) 4  9 (1, ) 4 答案：B.（记，则当时，要使得是增函数，  3 g xxax  2 3gxxa1a  f x 则需有恒成立，所以.矛盾.排除 C、D 当时，要使 0gx  2 13 3 24 a     01a 是函数，则需有恒成立，所以.排除 A） f x 0gx  2 13 3 24 a     【易错点 11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性． 例 11、已知求的最大值 1 sinsin 3 xy 2 sincosyx 【易错点分析】此题学生都能通过条件将问题转化为关于 1 sinsin 3 xy 的函数，进而利用换元的思想令将问题变为关于 t 的二次函数最sin xsintx 值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解， 解析：由已知条件有且（结合 1 sinsin 3 yx 1 sinsin1,1 3 yx  ）得，而==sin1,1x  2 sin1 3 x 2 sincosyx 1 sin 3 x 2 cos x 令则原式=根据二次 2 2 sinsin 3 xx 2 sin1 3 txt     2 22 1 33 ttt      函数配方得：当即时，原式取得最大值。 2 3 t   2 sin 3 x   4 9 【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提 高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综 合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去 代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造 元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的 知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易 处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散 \\ 的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变 为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 【练 11】 （1） （高考变式题）设 a>0，000 求 f(x)＝2a(sinx＋cosx) －sinxcosx－2a 的最大值和最小值。 2 答案：f(x)的最小值为－2a －2a－，最大值为 2 2 1 2 1 2 0 2 2 22 2 1 2 2 2 2 () ()          a aaa （2）不等式>ax＋ 的解集是(4,b)，则 a＝________，b＝_______。x 3 2 答案：（提示令换元原不等式变为关于 t 的一元二次不等式 1 ,36 8 abxt 的解集为）  2, b 【易错点 12】已知求时, 易忽略 n＝１的情况． n S n a 例 12、 （2005 高考北京卷）数列前 n 项和且。 （1）求  n a n s 11 1 1, 3 nn aas   的值及数列的通项公式。 234 ,,a a a  n a 【易错点分析】此题在应用与的关系时误认为对于任意 n 值都 n s n a 1nnn ass   成立，忽略了对 n=1 的情况的验证。易得出数列为等比数列的错误结论。  n a 解析：易求得。由得故 234 1416 ,, 3927 aaa 11 1 1, 3 nn aas   1 1 2 3 nn asn   得又，故该数 11 111 2 333 nnnnn aassan   1 4 2 3 nn aan   1 1a  2 1 3 a  列从第二项开始为等比数列故。   2 11 1 4 2 3 3 n n n a n           【知识点归类点拔】对于数列与之间有如下关系：利 n a n s   1 1 1 2 n nn sn a ssn       用两者之间的关系可以已知求。但注意只有在当适合 n s n a 1 a 时两者才可以合并否则要写分段函数的形式。 1 2 nnn assn   \\ 【练 12】 （2004 全国理）已知数列满足  n a 则数列的通项为  11231 1,2312 nn aaaaanan    n a 。 答案：（将条件右端视为数列的前 n-1 项和利用公式法解答即可） n na   11 ! 2 2 n n a n n       【易错点 13】利用函数知识求解数列的最大项及前 n 项和最大值时易忽略其定 义域限制是正整数集或其子集（从 1 开始） 例 13、等差数列的首项，前 n 项和，当时，。问 n 为  n a 1 0a  n slm ml ss 何值时最大? n s 【易错点分析】等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数，可将问题转化为求 解关于 n 的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个 限制条件。 解析：由题意知=此函数是以 n 为变 n s   2 11 1 222 n n dd f nnadnan      量的二次函数，因为，当时，故即此二次函数开口向下， 1 0a lm ml ss0d  故由得当时取得最大值，但由于，故若  f lf m 2 lm x   f xnN   为偶数，当时，最大。lm 2 lm n   n s 当为奇数时，当时最大。lm 1 2 lm n   n s 【知识点归类点拔】数列的通项公式及前 n 项和公式都可视为定义域为正整数 集或其子集（从 1 开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点 应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数 且没有常数项，反之满足形如所对应的数列也必然是等差数列的 2 n sanbn 前 n 项和。此时由知数列中的点是同一直线上，这也是一个 n s anb n , n s n n    \\ 很重要的结论。此外形如前 n 项和所对应的数列必为一等比数列的 n n scac 前 n 项和。 【练 13】 （2001 全国高考题）设是等差数列，是前 n 项和，且，  n a n s 56 ss ，则下列结论错误的是（）A、B、C、 D、和 678 sss0d  7 0a  95 ss 6 s 均为的最大值。 7 s n s 答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前 n 项和关于 n 的二次函数的对 称轴再结合单调性解答） 【易错点 14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维 受阻或解答过程繁琐。 例 14、已知关于的方程和的四个根组成首项为 2 30 xxa 2 30 xxb 的等差数列，求的值。 3 4 ab 【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性 质明确等差数列中的项是如何排列的。 解析：不妨设是方程的根，由于两方程的两根之和相等故由等 3 4 2 30 xxa 差数列的性质知方程的另一根是此等差数列的第四项，而方程 2 30 xxa 的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数 2 30 xxb 列为：故从而=。 3 5 7 9 ,, 4 4, 4 4 2735 , 1616 abab 31 8 【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面， 有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列 ，若，则；对于等比数列，若  n aqpmn qpmn aaaa  n a ，则；若数列是等比数列，是其前 n 项的和，vumn vumn aaaa  n a n S ，那么，，成等比数列；若数列是等差数列， * Nk  k S kk SS 2kk SS 23   n a 是其前 n 项的和，，那么，，成等差数列等性质 n S * Nk  k S kk SS 2kk SS 23  要熟练和灵活应用。 \\ 【练 14】 （2003 全国理天津理）已知方程和的四 2 20 xxm 2 20 xxn 个根组成一个首项为的等差数列，则=（） A、1 B、 C、 1 4 mn 3 4 1 2 D、 3 8 答案：C 【易错点 15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况 例 15、数列中，，，数列是公比为（）的等}{ n a1 1 a2 2 a}{ 1  nn aaq0q 比数列。 （I）求使成立的的取值范围；（II）求数列的 32211  nnnnnn aaaaaaq}{ n a 前项的和．n2 n S2 【易错点分析】对于等比数列的前 n 项和易忽略公比 q=1 的特殊情况，造成概 念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列是公比为}{ 1  nn aa （）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破q0q 口。使思维受阻。 解：（I）∵数列是公比为的等比数列，∴，}{ 1  nn aaqqaaaa nnnn121  ，由得 2 132 qaaaa nnnn  32211  nnnnnn aaaaaa ，即（） ，解得 22 111 1qqqaaqaaaa nnnnnn   01 2  qq0q ． 2 51 0   q （II）由数列是公比为的等比数列，得，这}{ 1  nn aaqq a a q aa aa n n nn nn    2 1 21 表明数列的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是}{ n a ，又，，∴当时，q1 1 a2 2 a1q n S2 nn aaaaaa 2124321    )()( 2642321nn aaaaaaaa ，当时， q q q qa q qa nnn          1 )1 (3 1 )1 ( 1 )1 ( 21 1q n S2 \\ nn aaaaaa 2124321    )()( 2642321nn aaaaaaaa ．n3)2222() 1111 ( 【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中是解q a a n n  2 题的关键，这种给出数列的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都 成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数 列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为 1 这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的 错误。 【练 15】 （2005 高考全国卷一第一问）设等比数列的公比为 q，前 n 项和  n a （1）求 q 的取值范围。0 n s  答案： 1,00, 【易错点 16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前 n 项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。 例 16、 ． （2003 北京理）已知数列是等差数列，且  n a 1123 2,12aaaa （1）求数列的通项公式（2）令求数列前项和的公式。  n a n nn ba xxR  n b 【思维分析】本题根据条件确定数列的通项公式再由数列的通项公式  n a  n b 分析可知数列是一个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列” ，可用错  n b 项相减的方法求和。 解析：（1）易求得2 n an （2）由（1）得令（Ⅰ）则2 n