难点基本不等式作为工具的应用问题教学案备战高考数学二轮复习资料2.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -不等式问题始终是高考数学的热点题型之一，而基本不等式法是最为常见、应用非常广泛的方法之一下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例，对高考中考查利用基本不等式解题的基本特点和基本类型作一些分类解析，供参考I 基础学问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（ 1）如a, bR ，就 a 2b 22ab 。（ 2）如 a ,bR ，就 ab22ab （当且仅当 a2b 时取“=”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 1）如 a0,b0 ，

2、就 ab2ab 。（ 2 ）如 a0,b0 ，就 ab2ab（当且仅当ab 时取“=”）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）如 a0,b0，就 ab12a b（当且仅当a2b 时取“ =”）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3如 x0 ，就 x2（当且仅当xx1 时取“ =”）。如 x0 ，就 xx2（当且仅当x1 时取“=”）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 x0 ，就 x1 2 ，即 xx12 或 x x12 （当且仅当a xb 时取“

3、=”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4如 ab0 ，就 abb 2（当且仅当aab 时取“ =”）。如 ab0 ， 就 abba2 ，即 abba2 或 ab2 ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（当且仅当ab 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5如a, bR ，就 骣a +b2a2 +b2（当且仅当ab 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结琪II 拓展桫 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21一个重要的不等式链：aba2b2ab可编辑资料

4、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122abb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2函数fxaxa x0,b0 图象及性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）函数f xaxba、bx0 图象如右图所示：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）函数f xaxb xa、b0 性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值域：,2abU2ab,。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可

5、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调递增区间：,b,b ,。单调递减区间：0,b,b, 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaaa注：（ 1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。（ 2

6、）求最值的条件“一正，二定，三相等”。（ 3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范畴、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用III 基本不等式的应用一、利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时，应留意三个条件：“一正，二定，三相等”，这三个条件中，以定值为本因 为在肯定限制条件下，某些代数式需经过肯定的变式处理，才可利用基本不等式求得最值，而怎样变式，完全取决于定值的作用主要有两种类型：一类是中条件给出定值式，一类是条件中无定值式类型一给出定值例 1【2021 年一般高等学校统一考试天津卷文理科】设 a + b = 2 ， b0， 就当 a =时，1| a |可编辑资料 - -

7、- 欢迎下载精品名师归纳总结取得最小值2 | a |b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路分析：已知条 件中给出了a + b = 2， b0，易于联想易于基本不等式问题的关键是，如何进一步创造应用基本不等式的条件分析1| a | 的结构，尝试进行“ 1的”代换，对1| a | 变形，应用基本不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等式及其等号成立的条件2 | a |b2 | a |b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 1【 2021 年一般高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设正实数x, y, z满意

8、 x23 xy4 y2z0 ，就当xy 取得最大值时，2 zx12的最大值为（）y z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 0B 1C 94D 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 2【2021 年一般高等学校招生全国统一考试（

9、山东卷）文科】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设正实数x, y, z满意 x 23xy4 y 2z 0 ，就当zxy取得最大值时，x2 yz 的最大值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 0B 98C 2D 94可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 3设x, y 是正实数，且xy1 ，就x2x2y的最小值是 2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - -

10、- - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 4【2021 高考上海理科第题】如实数 x， y 满意 xy=1 ，就x 2 + 2 y 2 的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： x22 y 22x22 y222xy22 ，当且仅当x22 y2 时等号成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

11、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 5【 2021 高考上海卷文第6 题】 如实数 x ， y 满意 xy=1 ，就x 2 + 2 y2 的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： x22 y 22x22 y222xy22 ，当且仅当x22 y2 时等号成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型二未知定值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2【2021 高考重庆卷文第9 题】 如 log（4 3a4b）log 2ab ,就ab 的最小值是 可编辑资料 - -

12、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 623B 723C 643D 743可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用基本不等式求函数最值常用技巧有：技巧一：凑项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3已知 x5，求函数y44x214 x5的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路分析：项Q 4x50 ，第一要“调整”符号，又4 x214x5不是常数，对4x2 要进行拆、凑可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - -

13、- - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 【安徽望江中学2021 届高三上期中考试文】当 x1 时，不等式x 21a 恒成立，就实数a 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取值范畴是A ， 0B 0， C 1 ， D ， 1技巧二：凑系数x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4当 0x4 时，求 yx82

14、x的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路分析：由0x 4 知 82x0 ，利用基本不等式求最值，必需和为定值或积为定值，此题为两个式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结子积的形式，但其和不是定值留意到2 x82 x8 为定值，故只需将y x 82x凑上一个系数即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式设 0x3，求函数2y = 4x3 -2 x的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧三

15、：分别x27 x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 求 y x1 的值域x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路分析一：此题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有x +1 的项，再将其分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解析一：，当，即时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2

16、x1459 （当且仅当 x1x =1 时取“”号） 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧四：换元上述例 5 也可以用换元法求解思路分析二：此题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t = x +1，化简原式再分别求最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6已知 a， b 为正实数， 2b aba 30，求函数y 1ab的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性

17、或基本不等式求解，对此题来说，这种途径是可行的。二是直接用基本不等式，对此题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行技巧五：整体代换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 7【金太阳“巴蜀好训练联盟”四川 12 月大联考数学理工类 】已知 x 1， y 0 且满意 x

18、2y 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就12的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8已知 x0, y0 ，且 191 ，求 xy 的最小值xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧六：取平方例 9已知 x， y 为正实 数， 3x2y 10，求函数W3x 2y 的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路分析一：可以利用算术平均与平方平均之间的不等关系aba2b222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析一：3x 2y2（3x ） 2（2y ）2 23x

19、 2y 25 思路分析二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向 “和为定值”条件靠拢解析二： W 0， W2 3x 2y 23x 2y 10 23x 2y 10 3x 22y 2 10 3x 2y 20，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -技巧七：构造可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

20、要求一个目标函数f x, y的最值，我们利用基本不等式构造一个以f x, y 为主元的不等式（一般为二次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式），解之即可得f x, y 的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10【宿迁市 2021 届高三年级摸底考试数学试题】如a2abb21， a ， b 是实数，就ab 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 1【2021 重庆理】已知x0, y0 ， x2

21、 y2 xy8 ，就x2 y 的最小值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结911A 3B4CD22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2变式 2【2021 浙江高考题理16】设x, y 为实数，如4x2y2xy1，就 2 xy 的最大值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2思路分析：利用基本不等式将已知定值式中4xy ,xy 的均转化成含2xy 的不等式，再求2xy 的最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - -

22、 - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 3【2021 浙江高考题文16】如实数x, y 满意 x2y2xy1 ，就 xy 的最大值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路分析： 利用基本不等式将已知定值式中x2y2 ,xy 的均转化成含xy 的不等式， 再求 xy 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

23、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 4如正数a,b 满意 a3b26 ，就 ab 的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧八：添加参数a 2b 2c 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11如已知 a,b, c0 ，就ab2bc的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下

24、载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 1设x, y, z, w 是不全为零的实数，求xy2 yzzw的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y 2z2w 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 2设x, y, z是正实数，求10 x210 y2z的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xyyzzx综上所述，应用均值不等式求最值要留意：一要“正”：各项或各因式必需为正数。二可“定”：必需满意 “和为定值”或“积为定值” ，要凑出 “和为

25、定值” 或“积为定值” 的式子结构， 假如找不出 “定值” 的条件用这个定理，求最值就会出错。三能“等”：要保证等号确能成立，假如等号不能成立，那么求出的仍不是最值应用二：利用基本不等式证明不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结基本不等式ab2aba0 ,b0 具有将“和式”转化为“积式”

26、或将“积式”转化为“和式”的放可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结缩功能， 并且有许多不同的变形，如： a 2+b 2a + ba 2 + b 2常2ab ,222.1 + 1ab , baab. 2 ab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab等，所以利用基本不等式及其变式证明不等式既便利又具有很大的技巧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型一轮换对称型a2b 2c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12设 a0 ,b0 ,c0 , 求证：bcaabc 可编辑资料 - - - 欢迎下载精

27、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路分析：所证不等式是关于a ,b , c 的轮换不等式，易知ab2a ，然后轮换相加即可2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型二用“ 1”代换型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13已知 a0 ,b0 ，且 ab1，求证：11119 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab思路分析：把待证式的左边分子中的“1”用“ ab1”代换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 14已知 a0 ,b0 ,c0 , 且abc1求证：1111118 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

28、师归纳总结abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -思路分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2 ”连乘，又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111abc2bc，可由此变形入手可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 15如 a

29、1 , b1 且 ab1，求证：2 a12b122 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22应用三：基本不等式与恒成立问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 16已知 x0, y0 且 191 ，求使不等式xym 恒成立的实数m 的取值范畴 xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 17如 x2xya xy 对任意的正实数x, y 恒成立，求a 的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： x2xyaxy 对任意的正实数x, y 恒成立，x

30、2xya对任意的正实数x, y 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 xy1k xkxy1kx2kxy ，由取等号条件：12t ，消去k ，可以得到：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t2t10 ，解得：t51 ，因此 a 的最小值为51 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用四：均值定理在比较大小中的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 18如 ab1, Plg alg b , Q1lg a2lg b, Ralg2b ，就P,Q, R 的大小关系是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用五：