2022年第五讲幂函数指数函数对数函数 .pdf

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1、y=xy=xNMBOAxy第五讲函数与方程1.幂函数【例 1】手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出其对应的图像， 其中(2,2),(3,22)AB，如图所示 .在作曲线段AB时，该学生想把函数120 1, , yxx的图像作适当变换，得到该段函数的曲线.请写出曲线段AB 在2 3x，上对应的函数解析式_.解：120 1, , yxx单调递增，图象的两端点为(0,0),(1,1), 变换后的端点 (0,0)变为 (2,2),(1,1)变为3 22( ,),则需纵向拉伸和向上平移，所以，设2 3x，时，对应的解析式为：1222()ya x，将3 22( ,)代入，得：122

2、232()a，解得：2a12222yx（）【变式】手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出其对应的图像，其中(2,2)A，如图所示 .在作曲线段AB时，该学生想把函数120 2, , yxx的图像作适当变换，得到该段函数的曲线.请写出曲线段 AB 在2 3x，上对应的函数解析式_. 12222yx（）【例 2】幂函数yx,当取不同的正数时，在区间0 1 , 上它们的图象是一簇美丽的曲线（如图），称这簇曲线为 “幂族曲线” ，设点1 001( , ),B( , )A，连接 AB，线段 AB 恰好被其中的两条幂族曲线yx和yx三等分，即有BMMNNA，那么_。解：由已知得1 2

3、2 13 33 3( ,),(,)MN，因为M 、N 分别在yx和yx的图象上，所以1233122121333333,log,log即123321133loglogxyOAB223xyOAB223精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页【例 3】若2132( )f xxx，则满足( )0f x的x的取值范围是 . 【解析】2132( )0f xxx，结合幂函数图像，如下图，可得x的取值范围是(0,1)【例 4】若函数2234fxxx的零点,1ma a，a为整数，则所以满足条件a的值为。【解】1或22. 指数函数的图象与性

4、质【例 1】若函数2020,( ),xxxfxx则函数( )yffx的值域是 _。解:1 00 1()(, )( , )f x, 设( )tfx, 则111122( ),f t即111122( ),ffx【例 2】已知函数()f x为偶函数 , 且4( )()f xf x, 又235 0122212,( ),xxxxxf xx, 函数12| |( )xg xa, 若( )( )( )F xf xg x恰好有 4 个零点 , 则 a 的取值范围是_. 【答案】1928a【解析】 :由题意可知 ,( )f x是周期为4 的偶函数 , 所以4()( )()fxf xf x因此 , 对称轴为2x, 因

5、为( ), ()f xg x都是偶函数 , 所以( )Fx也是偶函数 , 要使( )F x恰有 4 个零点 , 只需( ),( )yf xyg x在y轴的右侧有两个交点即可, 作出二者的图象可知, 必有1133( )( )( )( )gfgf, 解得 :1928a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页5-1-4-343-22O1xy【例 2】已知实数a, b 满足等式1123,ab下列五个关系式: 0ba；0ab；0ab；0ba；ab。其中不可能成立的有( ) A、 1 个； B、 2个； C、3 个； D、4 个。解

6、：如图，令1211110002323,:,xxabyyabbaabB由得或或故选1abbaOxy【例3】已知函数21( ),( )( )( )xf xabcf af cf b且, 则下列结论中，一定成立的是（）00000022222.,;.,;.;.acacA abCB abcCD解：作出函数21( )xyf x的图象，因为,( )( )( )abcf af cf b且结合图象知，10 01 01( ),;( ),;f aaf cc02112221122121,( ),( )acaaccf af c，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

7、3 页，共 19 页1221222( )( ),acacf af cD选。-11O1xy【例 4】 设函数( ),0,0.xxxfxabccacb其中（1）记集合( , , ), ,Ma b c a b ca不能构成一个三角形的三条边长， 且 =b，则( , , )a b cM所对应的( )f x的零点的取值集合为_。（2）若, ,a b cABC是的三条边长，则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）,1 ,0;xfx,xxxxRxabc使不能构成一个三角形的三条边长；若1,2 ,0.ABCxfx为钝角三角形，则使解：（1） 10( ，acxaccaccaxfabacacxxxxxln2

8、ln2)(0 1)(22)(2,，令由题知 10(ln2ln,0ln2ln2ln2ln02lnln.2，又acxacacac。所以 f(x)的零点集合为 10( ，（2）解：01)()(1)()(),1 ,(, 1, 1,1)()()(11ccbacbcacbcaxcbcacbcacxfxxxxx所以正确。.2, 1, 1,2, 1, 1边长不能构成三角形的三条则令xxxcbacbax所以正确。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页22222201020-;( ),( )ab cfabcfabc若三角形为钝角三角形，则

9、令0)(),2, 1(xfx使。所以正确。【例 4】 设函数的集合211( )log (),0,1;1,0,122Pf xxab ab，平面上点的集合11( , ),0,1;1,0,122Qx y xy，则在同一直角坐标系中，P中函数( )f x的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是（A）4 （B）6 （ C）8 （D）10 解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=21,b=0; a=21,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1 时满足题意，故答案选B，3对数函数的图象与性质21.()(),_.xf xaxaa【例 2】函数有三个不同的零点则实数的取值范围是2222021ln |.( )

10、,ln .ln |()ln,.xxexf xaxaxaxxg xyaaex【解】令即两边取对数再分离参数得故可化归为与的交点问题根据图像易得【例 1】 (2015 高考北京，理7)如图，函数f x的图象为折线ACB ，则不等式2log1fxx的解集是（）ABOxy-122CA| 10 xxB| 11xxC| 11xxD| 12xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页【答案】 C 【解析】如图所示，把函数2logyx 的图象向左平移一个单位得到2log1yx的图象1x时两图象相交，不等式的解为11x，用集合表示解集选C

11、 【例 2】 定义“正对数” ：0011,lnln,xxxx，现有四个命题：若00,ab，则ln ()lnbaba；若00,ab，则ln ()lnlnabab若00,ab，则lnlnlnaabb若00,ab，则2ln ()lnlnlnabab其中的真命题有_.(写出所有真命题的编号) 解：对于：当1,0ab时，1ba，ln ()lnln,lnlnbbaaba baba，所以ln ()lnbaba成立。当01,0ab时，01ba，此时ln ()0,ln0baba，即ln ()lnbaba成立。当1,0ab时，1ba，此时ln ()0,ln0baba，即ln ()lnbaba成立。综上ln ()l

12、nbaba恒成立。对于：当1,ae be时，ln ()ln10,lnln1,ln0abaeb，所以ln ()lnlnabab不成立。对于：01011010111,abababaaaabbbb当时 有或或经验证：lnlnlnaabb成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页1011010111,abababaaabbbba当时 有或或经验证：lnlnlnaabb成立。1,lnlnlnaaabbb当时成立，故正确；对于：分四种情况进行讨论：当11,ab时，不妨令22,ababaab有此时，2ln ()lnlnlnabab

13、成立。同理，10101101 01,ababab当或或时,2ln ()lnlnlnabab成立，故正确。所以正确的命题为。4、函数的图象【例 1】(2013 江西理 10) 如图，半径为 1 的半圆 O与等边三角形ABC夹在两平行线，12,ll之间l/1l,l与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC两边相交于，两点，设弧FG的长为(0)xx，yEBBCCD，若l从1l平行移动到2l，则函数( )yfx的图像大致是解： D ；当x逐渐增大时，y也逐渐增大，故y随x的增大而增大，故排除B项。下面定性分析：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

14、7 页，共 19 页当2x时，弧长所对的圆心角为2FOG，可求得l向上移动的距离为21 1cos142，故此时212 362sin 603BE，又易知12 3sin 603BC，故2 362 36 32 622333yBEBCCDBEBC，因为2 32 36 32 64 33323，所以函数( )f x的图像是凹凸型，故选D。【例 2】10如右图， 已知正四棱锥SABCD所有棱长都为1，点 E 是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记(01),SExx截面下面部分的体积为( ),V x则函数( )yV x的图像大致为解： A （定性法）当102x时，随着x的增大

15、，观察图形可知，V x单调递减，且递减的速度越来越快；当112x时，随着x的增大，观察图形可知，V x单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A 图象符合 .故选 A. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页5、函数与方程2222032430143(),.(1)()( )(),( ),_.(2)(), (),( )( ),_.xxxxexf xg xf xkg xxxxkf xeg xxxf ag bb【例 】已知函数若函数恰有两个不同的零点则实数的取值范围是选已知函数若则 的取值范围是22120

16、202202 0022 2203272.( )( ),( ).()().(),(,),(),(),(, ),(),()().,( ),xg xyfxykxfxxefxxxfxfxxfxf xxexf xkk【解】若函数恰有两个不同的零点等价于函数与有两个不同的交点当时 ,令得当时为减函数当时为增函数 ,故是函数的一个极小值点, 极小值为当时所以或222222 2207312022211432111 143122 22(),(,),;( )(),()(),( )( ),( )(, ,(,).xekkefxeg xxxxf ag bg bbbbU或综上 ,的取值范围是由题可知若有则即解得22021

17、5122204 log,6 .( ), , ,( )( ),( )(),_.xxfxa b c df af bxxxf cf ddcbaabcd【例】 已知函数, 若存在实数满足其中则的取值范围是2222222211451251202211151204624512428162216 24.4loglog,loglog,.,.(,).abccddababxxcdcdxxcdcdabcd【解】由题意知因此令得令得321211223207 .( ),(),( )( )_.fxxaxbxcxxf xxxxfxaf xb【选例】 已知函数有两个极值点若则关于 的方程的不同实数根个数为2212211221

18、23211212132323203.(),0,( )()(),( )().fxxaxbxxxaxbtatbtx txf xxf xxf xxxyxyxf xxaxbxcf x【解】则是的两根；必有两根即,.因为作,与的图像，是极大值 , 所以两直线与函数图像交点共三个,所以方程的根的个数为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页【例 1】 （2015 高考江苏， 13）已知函数()lnf xx，2001421, ( ), xg xxx，则方程1( )()f xg x实根的个数为【答案】 4 【解析】由题意得：求函数( )

19、yf x 与1( )yg x 交点个数以及函数( )yf x 与1( )yg x 交点个数之和，因为221,011( )7,21,12xyg xxxxx，所以函数( )yf x 与1( )yg x有两个交点，又221,011( )5,23,12xyg xxxxx，所以函数( )yf x与1( )yg x 有两个交点，因此共有4 个交点【例 2】20 （本小题满分14 分）已知函数( )sin()(0,0)f xx的周期为，图像的一个对称中心为(,0)4， 将函数( )f x图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍 （纵坐标不变），在将所得图像向右平移2个单位长度后得到函数( )g x的图像（1）

20、求函数( )f x与( )g x的解析式；（2）是否存在0(,)64x，使得0000(),(),() ()f xg xf xg x按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0 x的个数；若不存在，说明理由（3）求实数a与正整数n，使得( )( )( )F xf xag x在(0,)n内恰有 2013 个零点本小题主要考查同角三角函数的基本关系三角恒等变换 三角函数的图像与性质函数函数的导数函数的零点不等式等基础知识，考查运算求解能力抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想化归与转化思想，满分14 分解： （）由函数( )sin()f xx的周期为，0，得2又曲线( )yf x

21、的一个对称中心为(,0)4，(0,)故()sin(2)044f，得2，所以( )cos2f xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页将函数( )f x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） 后可得cosyx的图象，再将cosyx的图象向右平移2个单位长度后得到函数( )sing xx（）当(,)64x时，12sin22x，10cos22x所以sincos2sincos2xxxx问题转化为方程2cos2sinsincos2xxxx在(,)64内是否有解设( )sinsincos22cos 2G xxxxx

22、，(,)64x则( )coscos cos22sin 2 (2sin)G xxxxxx因为(,)64x，所以( )0G x，( )G x在(,)64内单调递增又1()064G，2()042G且函数( )G x的图象连续不断，故可知函数( )G x在(,)64内存在唯一零点0 x，即存在唯一的0(,)64x满足题意（）依题意，( )sincos2F xaxx，令( )sincos20F xaxx当sin0 x，即()xkkZ时，cos21x，从而()xkkZ不是方程( )0F x的解，所以方程( )0F x等价于关于x的方程cos2sinxax，()xkkZ现研究(0,)( ,2)xU时方程解的

23、情况令cos2( )sinxh xx，(0,)( ,2)xU则问题转化为研究直线ya与曲线( )yh x在(0,)( ,2)xU的交点情况22cos (2sin1)( )sinxxh xx，令( )0h x，得2x或32x当x变化时，( )h x和( )h x变化情况如下表精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页333022222220011( ,)(,)(,)(,)()()xhxh x当0 x且x趋近于0时，( )h x趋向于当x且x趋近于时，( )h x趋向于当x且x趋近于时，( )h x趋向于当2x且x趋近于2时

24、，( )h x趋向于故当1a时，直线ya与曲线( )yh x在(0,)内有无交点，在( ,2 )内有2个交点；当1a时，直线ya与曲线( )yh x在(0,)内有2个交点，在( ,2 )内无交点；当11a时，直线ya与曲线( )yh x在(0,)内有2个交点， 在( ,2 )内有2个交点由函数( )h x的周期性，可知当1a时，直线ya与曲线( )yh x在(0,)n内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线ya与曲线( )yh x在(0,)n内恰有2013个交点；当1a时，直线ya与曲线( )yh x在(0,)( ,2)U内有3个交点，由周期性，20133 671，所以671 21342

25、n综上，当1a，1342n时，函数( )( )( )F xf xag x在(0,)n内恰有2013个零点解法二 : 依题意 ,22210 2( )sincossinsin,F xaxxxaxx设22111sin , ( ),tx p ttatt且0101111( ),(),( )ppapa当1a时 ,( )p t有一个零点11 0(, )t( 另一个零点21t舍去 ),( )Fx在0 2,上有两个零点12122,( ,)xxxx且当1a时,( )p t有一个零点10 1( , )t( 另一个零点21t舍去 ),()Fx在0 2,上有两个零点12120,( ,)xxxx且精选学习资料 - - -

26、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页当11a时 ,( )p t有 一 个 零 点11 0(, )t, 另 一 个 零 点20 1( , )t,()Fx在02( ,)( ,)和上分别有有两个零点；由正弦函数的周期性可知，当1a时，函数( )Fx在0( ,)n内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意；当1a时，函数( )p t有一个零点11 0(, )t，另一个零点21t；当1a时，函数( )p t有一个零点11t，另一个零点20 1( , )t；从而当1a或1a时，函数()Fx在0 2,上有 3 个零点。20133 671，依题意得6

27、71 21342n，综上，当1a，1342n时，函数( )( )( )F xf xag x在(0,)n内恰有2013个零点。【例】 定义函数3481221222,(),xxf xxfx,则函数6( )()g xxfx在区间1 8,内所有零点的和为 _. 【解】 当24x时,122x,所以 ,1134822322222()|;xxf xfx当48x时 ,242x,所以 ,1112231622222()|;xxf xfx画出函数6与()yfxyx的图象如图 ,易知 ,两函数的交点的横坐标分别为33 62, ,所以 , 函数6( )()g xxfx在区间1 8,内所有零点的和为32136223612

28、4842O1xy事实上 ,函数()f x图象即是将其在1 2 , 上的图象上的每一个点的横坐标伸长为原来的2倍,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页纵坐标缩小为原来的12即可得 . 2、设a为实常数，( )yf x是定义在R 上的奇函数，当0 x时，2( )97af xxx，若( )1f xa对一切0 x成立，则a的取值范围为 _ 【解】(0)0f，故011aa；当0 x时，2( )971af xxax即6 |8aa，又1a，故87a3、函数2( )log(1)8af xxa x在区间0,1内无零点，则实数a的范围

29、是【解】1,25、函数11fxx x，若函数2g xxax 是偶函数，则 f a【解】 1。6 、设 定 义域 为R的函 数,0,2,0,|lg|)(2xxxxxxf若关 于x的 函数1)(2)(22xbfxfy有8个不同的零点，则实数b的取值范围是_ 【解】 设( )fxt, 要使满足题设, 则必须()f xt有 4 个解 , 且方程22210tbt有两个不相等的实根, 结合图象 , 要使( )fxt有 4 个解 , 则0 1( , )t所以问题转化为: 在0 1( , )上, 方程22210tbt有两个不相等的实根, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

30、- - - - -第 14 页，共 19 页所以 , 解得2,238、若函数21 3( )2xaxaf x是定义域为R的偶函数，则函数( )f x的单调递减区间是【解】(,0- ?9、已知24a，axlg，则x_ 【解】1010、设)(xf是定义在R上的偶函数，对任意Rx，都有)2()2(xfxf，且当0, 2x时，121)(xxf若函数)1)(2(log)()(axxfxga在区间6 ,2恰有 3 个不同的零点，则a的取值范围是。【解】2 ,4311 已知函数)(),(xgxf满足关系)()()(xfxfxg，其中是常数 . 设1( )22xxf x，若)(xg的最小值为6，求常数的值【解】

31、：（ 2）1111( )2222222222xxxxxxxxg x，22111( )2222262222xxg x解得223所以2log2312、已知函数( ),(0),af xxxax为实数 . （1）当1a时，判断函数( )yf x在1,上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a的不同取值，讨论函数( )yfx的最小值 . 【解】 （ 1）由条件：1( )fxxx在1,上单调递增 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页任取12,1,x x且12xx1212121212111()()()(1)f xfxxxxxx

32、xx x211xx，121210,10 xxx x12()()f xf x结论成立（2）当0a时，( )yf x的最小值不存在；当0a时，( )yf x的最小值为0；当0a时，( )2ayfxxax，当且仅当xa时，( )yf x的最小值为2 a；13、已知函数11( )2f xxx，11( )2g xxx（1）求函数( )2h xfxg x的零点；（2）若直线:0, ,l axbyca b c为常数与( )f x的图像交于不同的两点AB、，与( )g x的图像交于不同的两点CD、，求证：ACBD；（3）求函数22*( )nnF xfxg xnN的最小值【解】 （1）由题313( )0223x

33、h xxx，函数( )h x的零点为33x（2）设11223344,A x yB xyC x yD xy20220112axbycab xcxbyxx，则1222cxxab同理由20220112axbycab xcxbyxx，则3422cxxab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页则AB中点与CD中点重合，即ACBD（3）由题222111( )2nnnF xxxxx122326236 2212 222222122222nnnnnnnnnnnCxCxCxCx122223266 22362262122222222212

34、nnnnnnnnnnnnnnnCxxCxxCxxCxx13232122222122222nnnnnnnCCCC1，当且仅当1x时，等号成立所以函数( )F x的最小值为1 14、已知函数( )22()xxf xkkR（ 1）若函数( )f x为奇函数，求k的值；（ 2）若函数( )f x在,2上为减函数，求k的取值范围【解】 （1）( )()(1)(22)0 xxf xfxk对一切的xR成，所以1k（2）若0k，则函数( )f x在,2单调递增（舍）当0k时，令20,4xt，则函数( )kg ttt在0,4上单调递减所以4k，即16k15、设函数yfx的定义域为D，值域为A，如果存在函数xg

35、t，使得函数yfg t的值域仍是A，那么称xg t是函数yfx的一个等值域变换（1） 判断下列函数xg t是不是函数yfx的一个等值域变换？说明你的理由；2log,0fxx x，1,0 xg tttt；21,fxxxxR，2 ,txg ttR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页（2） 设函数yfx的定义域为D， 值域为A， 函数g t的定义域为1D， 值域为1A，那么“1DA”是否为“xg t是yfx的一个等值域变换”的一个必要条件？请说明理由；（ 3 ） 设2logfxx的 定 义 域 为2,8x， 已 知223

36、1mttnxg tt是yfx的一个等值域变换， 且函数yfg t的定义域为R， 求实数mn、的值【解】 （1）不是221331244fxxxx，即 f x 的值域为3,4，当 tR 时，21332244tfg t，即yfg t的值域仍为3,4，所以xg t是 fx 的一个等值域变换. （2）不必要性的反例：2,0,xxDBfR1121,1,tg tDBR此时1BD ，但221tfg t的值域仍为0,B，即21tg txR 是2fxxxR 的一个等值域变换. （反例不唯一）（3）2logfxx定义域为2,8 ，因为 xg t 是 fx 的一个等值域变换，且函数fg t的定义域为R，所以22,13

37、tmtxg tttnR 的值域为2,8 ，22222328213811mttntmttntt，所以，恒有12289422094880mmnmn，解得3 3523 352mn. 例、 函数xbxxf24lg2，其中0b（1）若xf是奇函数，求b的值；（2）在（ 1）的条件下，判别函数xfy的图像是否存在两点A,B ，使得直线AB 平行精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页于x轴，说明理由；解： （1）2244,0 xbxb恒成立，所以函数xbxxf24lg2的定义域是R，关于原点对称xf是奇函数，00f0lg0bf1b（2）假设存在BA,两点，使得AB平行x轴，0ABk222121214lg214lgxxxx221221414122xxxx，两边平方化简得到：01442221xx得到矛盾，xfy的图像上不存在两点，使得所连的直线与x轴平行精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页