高中数学重点知识汇总 .docx

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1、精品名师归纳总结高中数学重点学问与结论分类解析河南省信阳市张宜玉一、集合与简易规律1. 集合的元素具有确定性、无序性和互异性2. 对集合 A、B ， AB时，必需留意到 “极端 ”情形： A或 B。求集合的子集时是否留意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集3. 对于含有 n 个元素的有限集合 M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 2n ，2 n1， 2 n2. 2 n1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 “交 的 补 等 于 补 的 并 ， 即CU ABCU

2、 ACU B ”。 “并 的 补 等 于 补 的 交 ， 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CU ABCU ACU B ”5. 判定命题的真假关键是 “抓住 关联字词 ”。留意： “不或即 且，不 且即或”6. “或命题 ”的 真假特点是 “一真即真，要假全假 ”。“且命题 ”的真假特点是 “一假即假，要真全真 ”。 “非命题 ”的真假特点是 “一真一假 ”7. 四种命题 中“逆者交换 也 ”、“否者否认 也”原命题等价于逆否命题， 但原命题与逆命题、 否命题都不等价 反证法分为三步： 假设、推矛、得果留意 ：命题的否认是 “命题的非命题，也就是条件不变，仅否认结论所得命题 ”

3、，但否命题是 “既否认原命题的条件作为条件，又否认原命题的结论作为结论的所得命题” 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 充要条件二、函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m1. 指数式、对数式 ， a nm n am ， a n1log a N，aNma n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abNlogNbaa00, a1, N0 ，log c b ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 ， log a 10， log a a1 ， lg

4、 2lg51 ， log e xln x ，log a blog c a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nloga m bn log b m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2. 1映射 是 “全部射出 加 一箭一雕 。”映射中第一个集合A 中的元素必有像，但其次个集合 B 中的元素不肯定有原像A 中元素的像有且仅有下一个，但B 中元素的原像可能没可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有，也可任意个 。函数是 “非空数集上的映射 ”，其中 “值域是映射中像集 B 的子集 ”2函数图像与x 轴垂线至多一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个

5、3函数图像肯定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不肯定能成为函数图像 3单调性和奇偶性1奇函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，就其单调性完全相同偶函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，就其单调性恰恰相反留意：1确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称确定函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数奇偶性的常用方法有： 定义法、图像法等等 对于偶函数而言有：f xf xf | x | 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设奇函数定义域中有0，就必有f 00 即 0f x 的定义域时，f 00可编辑资料 -

6、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结是 f x 为奇函数的必要非充分条件3确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法取值、作差、鉴定、导数法。在挑选、填空题中仍有：数形结合法图像法、特殊值法等等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4既奇又偶函数有无穷多个f x0 ，定义域是关于原点对称的任意一个数集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性。异性得减，减必异性” 复合函数的奇偶性特点是： “内偶就偶， 内奇同外 ”复合函数要考虑定义域的变化。即复合有意义4对称性与周期性以下结论要消化吸取，不行强记可编辑资料 - - - 欢迎

7、下载精品名师归纳总结1函数 yf x 与函数 yfx 的图像关于直线 x0 y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推广一：假如函数yf x对于一切 xR ，都有 faxfbx 成立，那可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结么 yfx 的图像关于直线 xab 由 “x 和的一半 x 2axbx2确定 ”对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推 广 二 ： 函 数 yaxbx确定对称f ax， yfbx的 图 像 关 于 直 线 xba 由2可编辑资料 - -

8、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2函数 yf x 与函数 yfx 的图像关于直线 y0 x 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3函数 yf x 与函数 yfx 的图像关于坐标原点中心对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推广： 曲线f x,y0 关于直线 yxb 的对称曲线是f yb, xb0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结曲线 f x,y0 关于直线 yxb 的对称曲线是f yb,xb0 可编辑资料

9、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5类比 “三角函数图像 ”得：假设yf x 图像有两条对称轴xa, xbab ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 yf x 必是周期函数，且一周期为T2 | ab | 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 果 yf x是R上 的 周 期 函 数 ， 且 一 个 周 期 为 T， 那 么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xnT f x nZ 可编辑资料 - - - 欢

10、迎下载精品名师归纳总结特 别 ： 假 设f xaf xa0恒 成 立 ， 就 T2a 假 设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xa1a f x0 恒成立，就 T2a 假设f xa1a f x0 恒成立，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T2a 三、数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 数列的通项 、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n 项和公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的关系： anS1, n1必要时请分

11、类争论 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SnSn 1, n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意： aaaaaaa a 。aanan 1a2a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn 1n 1n2211nan 11an 2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 等差数列 an 中：1等差数列公差的取值与等差数列的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 ana1n1damnmd 。pqmnapaqaman 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13 ank

12、 1 m、 kan 也成等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4两等差数列对应项和差组成的新数列仍成等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 a1a2am ,akak 1ak m 1 ,仍成等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 Sna1an ， Snan n12nd ， Sd n2adnn ， aS2n 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nAnf nanBnbn2f 2 nn11 222n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17a pq,aqp pqa p

13、 q0 。Spq, Sqp pqSp q pq 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sm nSmSnmnd 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8“首正 ”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是全部非负项之和。 “首负 ”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是全部非正项之和。9有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必定联系，由数列的总项数是偶数仍是奇数打算假设总项数为偶数，就“偶数项和 ” “奇数项和 ”总项数的一半与其公差的积 。假设总项数为奇数，就“奇数项和 ” “偶数项和 ”此数列的中项10两数的等差中项惟一存在在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关

14、系 ”转化求解11判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式3. 等比数列 an 中：1m1等比数列的符号 特点 全正或全负或一正一负， 等比数列的首项、公比与等比数列的单调性 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 ana qn 1a qn m 。pqmnbpbqbm bn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 |an |、 ank 1 m、 kan 成等比数列。 an、 bn成等比数列 anbn 成等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

15、师归纳总结1比数列4两等比数列对应项积商组成的新数列仍成等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 a1a2am ,akak 1ak m 1 ,成等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 Sna1aa qa 1 q1qn na1 q1aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n1q1q11q1qn1q1q11q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊： anbnab an 1an 2ban3b 2abn 2bn 1 可编辑资料 - - -

16、欢迎下载精品名师归纳总结m nmnnm7 SSqm SSqn S 8“首大于 1”的正值递减等比数列中， 前 n 项积的最大值是全部大于或等于1 的项的积。 “首小于 1”的正值递增等比数列中，前n 项积的最小值是全部小于或等于1 的项的积。9有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必定联系，由数列的总项数是偶数仍是奇数打算假设总项数为偶数，就“偶数项和 ” “奇数项和 ”与“公比 ”的积 。假设总项数为奇数，就 “奇数项和 ” “首项 ”加上 “公比 ”与“偶数项和 ”积的和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10并非任何两数总有等比中项仅当实数a, b 同号时，实数a, b 存

17、在等比中项对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同号两实数 a, b 的等比中项不仅存在，而且有一对Gab 也就是说， 两实数要么没有等比中项非同号时， 假如有，必有一对同号时在遇到三数或四数成等差数列时， 常优先考虑选用 “中项关系 ”转化求解11判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式4. 等差数列与等比数列的联系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1假如数列 an 成等差数列，那么数列Aan Aan 总有意义必成等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

18、欢迎下载精品名师归纳总结2假如数列 an 成等比数列，那么数列loga | an| a0, a1) 必成等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3假如数列 an 既成等差数列又成等比数列，那么数列 an 是非零常数数列。但数列 an 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件4假如两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数假如一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法 ”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数

19、列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：1公共项仅是公共的项，其项数不肯定相同，即争论anbm 但也有少可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数问题中争论anbn ，这时既要求项相同， 也要求项数相同 2三四个数成等差 比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的中项转化和通项转化法5. 数列求和的常用方法：1公式法 ：等差数列求和公式三种形式，2等比数列求和公式三种形式，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 123n1 nn21 ， 12232n21 nn 612 n1 ，可编辑资料 - - - 欢

20、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1352 n1n 2 ， 1352 n1n12 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式 ”中 “同类项 ”先合并在一起，再运用公式法求和3倒序相加法 ：在数列求和中，假设和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结列的通项与组合数相关联，就常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和 这也是等差数列前 n 和公式的推导方法 4错位相减法 ：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错

21、位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解留意：一般错位相减后， 其中 “新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一 5裂项相消法 ：假如数列的通项可“分裂成两项差 ”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有：111，nn1nn111 11 ，nnkknnk特殊声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1 的关系，必要时分类讨论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6通项转换法。四、三角函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 终边与终边相同的终边在终边所在射线上2k kZ 终边与终边共线

22、的终边在终边所在直线上终边与终边关于 x 轴对称2kkZ 终边与终边关于 y 轴对称2kkZ 终边与一般的：终边关于原点对称终边与终边关于角2k的终边对称kZ 22kkZ 与 2 的终边关系由 “两等分各象限、一二三四”确定2. 弧长公式： l| R ，扇形面积公式：S1 lR1 | R2 ， 1 弧度 1rad57.3 223. 三角函数符号特点是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：sin15cos7562 ,sin75cos15462 ，4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan15cot 7523, tan75cot

23、1523 ， sin1851 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 三角函数线的特点是：正弦线 “站在 x 轴上起点在x 轴上 ”、余弦线 “躺在 x 轴上起可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点是原点 ”、正切线 “站在点A1,0处起点是A ”务必重视 “三角函数值的大小与单可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结位圆上相应点的坐标之间的关系，正弦 纵坐标 、余弦 横坐标 、正切 纵坐标除以横坐标之商 。”务必记住 ：单位圆中角终边的变化与sincos值的大小变化的关系为锐角sintan5. 三角函数同角关系中， 平方关系的运用中，务必重视 “依据已知角

24、的范畴和三角函数的取值，精确确定角的范畴，并进行定号”。 6三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限7. 三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数常值的变换，其核心是 “角的变换 ”.角的变换主要有 ：已知角与特殊角的变换、 已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换如，2，2 ，22，222等常值变换主要指 “1的”变换：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1sin 2 xcos2 xsec2 xtan2 xtan xcot xtan4sin2cos0等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三角式变换主要有： 三角函数名互化 切割化弦 、三角

25、函数次数的降升 降次、 升次、运算结构的转化和式与积式的互化解题时本着 “三看 ”的基本原就来进行 : “看角、看函 数、看特点 ”基,本的技巧有 :巧变角 ,公式变形使用 ,化切割为弦 ,用倍角公式将高次降次留意 ：和差 角的函数结构与符号特点。余弦倍角公式的三种形式选用。降次升次公式中的符号特点“正余弦 三兄妹 sinxcosx、sin xcosx 的联系 ”常和三角换元法联可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结系在一起 tsin xcosx2,2,sinx cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结帮助角公式中帮助

26、角的确定： asin xbcosxa2b2 sinx其中角所在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的象限由 a, b 的符号确定，角的值由 tanba确定在求最值、 化简时起着重要作用 尤可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其 是 两 者 系 数 绝 对 值 之 比 为 1或3 的 情 形 Asin xBcosxC 有 实 数 解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A2B 2C 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精

27、品名师归纳总结8. 三角函数性质、图像及其变换：1三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性留意：正切函数、 余切函数的定义域。 肯定值对三角函数周期性的影响：一般说来，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结某一周期函数解析式加肯定值或平方，其周期性是：弦减半、切不变 既为周期函数又是偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的函数自变量加肯定值，其周期性不变。 其他不定 如 ysin2x, ysin x的周期都是,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结但 ysin xcosxysin xcosx的 周

28、 期 为2 ，y=|tanx| 的 周 期 不 变 ， 问 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=cos|x |, ysin x 2 , ysin x , ycosx， y=cos|x|是周期函数吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2三角函数图像及其几何性质：3三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换4三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法 五点横坐标成等差数列和变换法9. 三角形中的三角函数：1内角和定理 ：三角形三角和为，任意两角和 与第三个角总互补， 任意两半角和与第三个角的半角总互余

29、锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2正弦定理 ：abc2R R 为三角形外接圆的半径 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Asin Bsin C留意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，假设运用正弦定理，就务必留意可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结能有两解222b2c2a2bc2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3余弦定理 ： abc常选用余弦定理鉴定三角形的类型2bc cos A,cos A2bc2bc1等，可编辑资料 - - - 欢

30、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4面积公式： S1 aha1 ab sin Cabc 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结224R五、向量1向量运算的几何形式和坐标形式，请留意 ：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 几 个 概 念 ： 零 向 量 、 单 位 向 量 与 AB 共 线 的 单 位 向 量 是ABACABACAB| AB |， 特 别 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 、平行共线向量 无传递性，是由于有0 、相等向量ABACABAC有传递性 、相反向量 、 向

31、量垂直 、以及 一个向量在另一向量方向上的投影a 在 b 上的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结投影是a cosa,ba bR b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 两非零向量平行共线的充要条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a / bab a b2| a |b |2x1x2y1 y20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两个非零向量垂直的充要条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba b0| ab | | ab |x1 x2y1 y20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊：零向量和任何向量共线ab

32、 是向量平行的充分不必要条件.4. 平面对量的基本定理 ：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数1 、 2 ，使 a=1 e12 e2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 三点 A、B、C共线AB、AC共线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量 PA、PB、PC 中三终点 A、B、C 共线存在实数、 使得：PAPBPC且1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 向量的数量积：| a |2a2a a ， a b| a |b | cosx1x2y1y2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

33、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosa b| a | b |x1 x2y1 y2，x2y2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a在b上的投影| a | cosa, ba b| b |x1 x2y1 y2 22xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意 ：a,b为锐角a b0 且 a、b 不同向。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a, b为直角a b0 且a、b0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a, b为钝角a b0 且 a、b 不反向。a b0 是a,b为钝角的必要非充分条件向量运算和实数运算有类似的的方也有区分：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量， 这是题目中的自然条件，要留意运用。对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两边不能约去一个向量。向量的“乘法 ”不满意结合律，即ab . ca . b c ，切记两向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不能相除相约 7 | a