线性代数知识点总结8.docx

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1、精品名师归纳总结线性代数复习提纲第一部分 : 基本要求 运算方面 四阶行列式得运算;N 阶特殊行列式得运算如有行与、列与相等;矩阵得运算 包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等得混合运算;求矩阵得秩、逆 两种方法 ; 解矩阵方程 ;含参数得线性方程组解得情形得争论;齐次、非齐次线性方程组得求解 包括唯独、无穷多解;争论一个向量能否用与向量组线性表示;争论或证明向量组得相关性;求向量组得极大无关组,并将余外向量用极大无关组线性表示;将无关组正交化、单位化;求方阵得特点值与特点向量;争论方阵能否对角化,如能 ,要能写出相像变换得矩阵及对角阵;通过正交相像变换正交矩阵 将对称矩阵对角化;写出二次型得矩阵

2、,并将二次型标准化,写出变换矩阵;判定二次型或对称矩阵得正定性。其次部分 :基本学问一、行列式1.行列式得定义用 n2个元素 aij 组成得记号称为n 阶行列式。 1 它表示全部可能得取自不同行不同列得n 个元素乘积得代数与; 2 绽开式共有n. 项,其中符号正负各半;2.行列式得运算一阶 | |= 行列式 , 二、三阶行列式有对角线法就;N 阶 n=3行列式得运算: 降阶法定理 :n 阶行列式得值等于它得任意一行 列得各元素与其对应得代数余子式乘积得与。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法 :选取比较简洁得一行 列, 保保留一个非零元素, 其余元素化为0,利用定理绽开降阶。

3、特殊情形上、下三角形行列式、对角形行列式得值等于主对角线上元素得乘积; 2行列式值为0 得几种情形 :行列式某行 列元素全为0;行列式某行 列得对应元素相同;行列式某行 列得元素对应成比例;奇数阶得反对称行列式。二. 矩阵1 .矩阵得基本概念表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等;2 .矩阵得运算 1加减、数乘、乘法运算得条件、结果; 2关于乘法得几个结论:矩阵乘法一般不满意交换律 如 AB BA,称 A、 B 就是可交换矩阵;矩阵乘法一般不满意消去律、零因式不存在;如 A、B 为同阶方阵 , 就|AB|=|A|*|B|;|kA|=kn|A| 3 .矩阵得秩 1定义非零子式得最大阶

4、数称为矩阵得秩; 2秩得求法一般不用定义求,而用下面结论 :矩阵得初等变换不转变矩阵得秩; 阶梯形矩阵得秩等于非零行得个数每行得第一个非零元所在列 ,从今元开头往下全为0 得矩阵称为行阶梯阵。求秩 : 利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4 .逆矩阵 1 定义 :A、B 为 n 阶方阵 ,如 AB BA I,称 A 可逆 ,B 就是 A 得逆矩阵 满意半边也成立 ; 2 性质 : AB-1=B-1*A-1,A-1=A-1;A B得逆矩阵 ,您懂得 留意次序 3 可逆得条件 :|A| 0;rA=n; A-I;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 4逆得求解相伴矩阵法A-1=1/|A|

5、A*;A*A 得相伴矩阵 初等变换法 A:I-施行初等变换I:A-15.用逆矩阵求解矩阵方程:AX=B, 就 X=A-1B;XB=A, 就 X=BA-1;AXB=C, 就 X=A-1CB-1三、线性方程组1.线性方程组解得判定定理 :(1) rA,b r无A解 ;(2) rA,b=rA=n有唯独解 ;3rA,b=rAn有无穷多组解 ;特殊的 :对齐次线性方程组AX=01rA=n只有零解;2rAn有非零解;再特殊 ,如为方阵 ,1|A|0只有零解2|A|=0有非零解2.齐次线性方程组 1解得情形 :rA=n,或系数行列式D 0只有零解 ;rAn,或系数行列式D 0有无穷多组非零解。可编辑资料 -

6、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2解得结构 :X=c11+c22+Cn -rn-r 。 3求解得方法与步骤:将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵;写出对应同解方程组;移项 ,利用自由未知数表示全部未知数;表示出基础解系;写出通解。3. 非齐次线性方程组1 解得情形 :利用判定定理。 2解得结构 :X=u+c11+c22+Cn-r n-r 。 3无穷多组解得求解方法与步骤:与齐次线性方程组相同。 4唯独解得解法:有克莱姆法就、逆矩阵法、消元法初等变换法 。四、向量组1.N 维向量得定义注: 向量实际上就就是特殊得矩阵行矩阵与列矩阵 。2.向量得运算 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

7、师归纳总结 1 加减、数乘运算与矩阵运算相同; 2 向量内积 =a1b1+a2b2+anbn; 3向量长度| |= = a12+a22+an2 根号 4向量单位化1/| | ; 5向量组得正交化施密特方法 设 1, 2, 线n性无关 ,就 1=1,2=2- 2 1/ 1 * 1,3=3- 3 1/ 1-1* 31 2/ 2 2* 。2,3.线性组合 1定义如 =k1 1+k22+kn n, 就称 就是向量组1, 2,得, 一个n线性组合,或称可以用向量组1, 2,得, 一n个线性表示。 2判别方法将向量组合成矩阵,记 A 1, 2, ,Bn= 1, 2, , n如r A=r B,就 可以用向量

8、组1, 2, 得n一个线性表示;如r A rB, 就 不行以用向量组1, 2, 得n一个线性表示。 3求线性表示表达式得方法:将矩阵 B 施行行初等变换化为最简阶梯阵, 就最终一列元素就就是表示得系数。4. 向量组得线性相关性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 线性相关与线性无关得定义设 k11+k22+knn=0,如 k1,k2,kn 不全为 0 ,称线性相关 ;如 k1,k2,kn 全为 0 ,称线性无关。 2判别方法 : r 1, 2, nn, 线性相关 ;r1, 2,=, n, n线性无关。如有 n 个 n 维向量 ,可用行列式判别:n 阶行列式aij 0,线性相关 0

9、 无关 行列式太不好打了5. 极大无关组与向量组得秩(1) 定义极大无关组所含向量个数称为向量组得秩(2) 求法设 A 1, 2 , , 将n A 化为阶梯阵 ,就 A 得秩即为向量组得秩,而每行得第一个非零元所在列得向量就构成了极大无关组。五、矩阵得特点值与特点向量1. 定义对方阵 A, 如存在非零向量X 与数 使 AX X就, 称 就是矩阵A 得特点值 ,向量 X称为矩阵 A 得对应于特点值得特点向量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 特点值与特点向量得求解:求出特点方程| -IA|=0得根即为特点值, 将特点值代入对应齐次线性方程组 -IAX 0中求出方程组得全部非零

10、解即为特点向量。3. 重 要 结 论 : 1A 可逆得充要条件就是A 得特点值不等于0; 2A 与 A 得转置矩阵A有相同得特点值;(3) 不同特点值对应得特点向量线性无关。六、矩阵得相像1. 定义对同阶方阵A、 B,如存在可逆矩阵P,使 P-1AP=B,就称 A 与 B 相像。2. 求 A 与对角矩阵相像得方法与步骤求 P 与 :求出全部特点值;求出全部特点向量;如所得线性无关特点向量个数与矩阵阶数相同, 就 A 可对角化 否就不能对角化, 将这 n 个线性无关特点向量组成矩阵即为相像变换得矩阵P,依次将对应特点值构成对角阵即为。3. 求通过正交变换Q 与实对称矩阵A 相像得对角阵:方法与步

11、骤与一般矩阵相同,只就是第三歩要将所得特点向量正交化且单位化。七、二次型n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 定义n 元二次多项式fx1,x2,xn= aij xixj 称为二次型 ,如 aij=0i就j称,为二交型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得标准型。i,j=12. 二次型标准化:配方法与正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同, 这就是由于对正交矩阵 Q,Q-1=Q,即正交变换既就是相像变换又就是合同变换。3. 二次型或对称矩阵得正定性:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 定义 略;(2) 正定得充要条件:A 为正定得充要条件就是A 得全部特点值都大于0;A 为正定得充要条件就是A 得全部次序主子式都大于0;可编辑资料 - - - 欢迎下载