2022年第十六讲二次函数与几何综合 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载二次函数与几何综合（讲义）一、知识点睛“二次函数与几何综合”思考流程：整合信息时，下面两点可为我们提供便利：_二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b；_找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息二、精讲精练1.如图，抛物线y=ax2- 5ax+4（a0）经过 ABC 的三个顶点，已知BCx 轴，点 A 在 x 轴上，点C 在 y 轴上，且AC=BC（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使 |MA- MB|最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由BxAyOC2.如图，已知抛物线y=ax2- 2ax-b（a0）与 x 轴交于A、B 两点，点A

2、在点 B的右侧，且点B 的坐标为 (- 1，0) ，与 y 轴的负半轴交于点C，顶点为 D连接 AC、CD， ACD=90（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B、A、F、E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标DCOyAxB3.如图，在平面直角坐标系中，直线3342yx与抛物线214yxbxc交于 A、B 两点，点A 在 x 轴上，点B 的横坐标为 -8（1）求该抛物线的解析式；关键点坐标几何特征转几何图形函数表达式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习好资料欢迎

3、下载（2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点（不与点A、B 重合） ，过点 P 作x 轴的垂线，垂足为C，交直线AB 于点 D，作 PEAB 于点 E设 PDE的周长为l，点 P 的横坐标为x，求 l 关于 x 的函数关系式，并求出l 的最大值yxEPODCBA4.已知，抛物线212yaxaxb经过 A(- 1，0) ，C(2，32) 两点，与x 轴交于另一点B（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，点 P 为线段 OB 上一动点（不与点B 重合） ，点Q 在线段 MB 上移动，且 MPQ=45 ，设线段 OP=x，MQ=222y，求 y2与x 的函数关系式，并直接写出自变

4、量x 的取值范围AQPOMxyB5.已知抛物线2yaxbxc的对称轴为直线2x，且与x 轴交于A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 A( 1，0) ，C( 0，- 3). （1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 在抛物线上运动（点P 异于点 A） ，如图 1，当 PBC 的面积与 ABC 的面积相等时，求点P 的坐标；如图 2，当 PCB =BCA 时，求直线CP 的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习好资料欢迎下载PxBCAOy图 1图 26.抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点为A( m-

5、4，0) 和 B( m，0) ，与直线y=- x+p相交于点A 和点 C( 2m- 4，m- 6). （1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 在抛物线上， 且以点 P 和 A、C 以及另一点Q 为顶点的平行四边形 ACQP 的面积为12，求 P、Q 两点的坐标；（3）在（ 2）的条件下，若点M 是 x 轴下方抛物线上的一动点，当PQM 的面积最大时，请求出PQM 的最大面积及点M 的坐标DxBAyOC二次函数与几何综合（随堂测试）1.已知二次函数822xxy的图象与x 轴的交点分别为A、B(点 A 在点 B左侧 )，点 M 在直线10 xy上，当 MA+MB 最小时， 求直线 AM 的函数解析

6、式 . PyxBOAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习好资料欢迎下载xyOAB2.已知：如图，直线y=3x+3 与 x 轴交于点C，与 y 轴交于点A，点 B 在 x 轴正半轴上，且 OAB 是等腰直角三角形（1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式（2）若点 P 是第一象限内抛物线上的一动点，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时点P 的坐标和 PAB 的最大面积； 若没有，请说明理由CxyOAB二次函数与几何综合（作业）1.将直角边长为6的等腰 Rt AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为

7、坐标原点，点 C、A 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上， 一条抛物线经过点A、C 及点 B( 3，0) （1）求该抛物线的解析式；AyxCOB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习好资料欢迎下载（2）若点 P 是线段 BC 上一动点，过点P 作 AB 的平行线交AC 于点 E，连接 AP，当 APE 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使 AGC 的面积与（ 2）中 APE 的最大面积相等?若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由2.如图，抛物线y=x2-2x+c 的顶点

8、 A 在直线 l：y=x- 5 上（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线与y 轴交于点 B，与 x 轴交于 C、D 两点（点C 在点 D 的左侧） ，试判断 ABD 的形状；（3）在直线 l 上是否存在一点P，使以点P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由yxODCBA3.如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是 ( 0，3) ，以点 C 为顶点的抛物线cbxaxy2恰好经过x轴上的 A、B 两点（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点D， 求平移后抛物

9、线的解析式，并指出平移了多少个单位二次函数每日一题1.如图，已知抛物线y1=- 2x22，直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时， x 对应的函数值分别为y1、 y2 若 y1 y2， 取 y1、 y2中的较小值记为M； 若 y1=y2， 记 M=y1=y2 例如：当 x=1 时， y1=0，y2=4，y1y2，此时 M=0有以下结论：当 x0 时， y1y2；当 x0 时， x 值越大， M 值越小；使得 M 大于 2 的 x 值不存在；使 M=1 的 x 值是12或22其中判断正确的是_2.对于二次函数223yxmx，有下列说法：它的图象与x 轴有两个公共点；如果当 x1时y随 x 的增

10、大而减小， 则 m=1；如果将它的图象向左平移3 个单位后过原点，则1m；y1y2yxOxCEyADOB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习好资料欢迎下载如果当4x时的函数值与2008x时的函数值相等，则当2012x时的函数值为3其中正确的说法是3.若关于x的一元二次方程(2)(3)xxm有实数根12xx、，且12xx，有下列结论：12=2=3xx，；14m；二次函数12()()yxxxxm的图象与x轴交点的坐标为（ 2，0）和（ 3，0） 其中正确的结论是_4.已知二次函数2yxbxc，当 x1时，总有 y0

11、，当 1 x3时，总有 y0 ，那么c的取值范围是（）. A c=3 Bc 3 C1 c 3 Dc 3 5.定义 a， b， c为函数2yaxbxc的特征数， 下面给出特征数为2m， 1 m， 1 m的函数的一些结论：当m= 3 时，函数图象的顶点坐标是(31，38)；当 m0 时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23；当 m41时， y 随 x 的增大而减小；当m 0时，函数图象经过同一个点其中正确的结论有【讲义参考答案】一、知识点睛线段长研究函数表达式关键点坐标转线段长二、精讲精练1.解： （1）令 x=0，则 y=4，点 C 的坐标为（ 0，4），BCx 轴，点 B，C 关于对称轴对称

12、，又抛物线y=ax2- 5ax+4 的对称轴是直线5522axa，即直线52x点 B 的坐标为（ 5，4），AC=BC=5，在 RtACO 中， OA=223ACOC，点 A 的坐标为A（3，0），抛物线 y=ax2- 5ax+4 经过点 A，9a+15a+4=0，解得16a，抛物线的解析式是215466yxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习好资料欢迎下载（2）存在， M（52，223）理由： B，C 关于对称轴对称，MB=MC，MAMBMAMCAC；当点 M 在直线 AC 上时，MAMB值最大，设直线 AC

13、 的解析式为ykxb，则304kbb，解得434kb，443yx令52x，则223y， M（52，223）2.解： （1）抛物线22yaxaxb过点 B（1，0） ，a+2a- b=0， b=3a，223yaxaxa令 y=0，则 x=1或 x=3，A（3，0） ， OA=3，令 x=0，则 y=-3a，C（0，3a） ， OC=3a D 为抛物线223yaxaxa的顶点，D（1，4a）过点 D 作 DMy 轴于点 M，则 AOC=CMD =90 ，又 ACD+MCD =AOC+ 1， ACD = AOC=90 MCD=1 ， AOC CMD ，OAOCCMDM，D（1，4a）， DM =1，

14、OM=4a， CM=a331aa，21a， a0， a=1 抛物线的解析式为：223yxx（2）当 AB 为平行四边形的边时，则 BA EF，并且 EF= BA =4 由于对称轴为直线x=1，点 E的横坐标为1 点 F 的横坐标为5 或者3 将 x=5 代入223yxx得 y=12，F（ 5，12） 将 x=- 3 代入223yxx得 y=12，F（ - 3，12） 当 AB 为平行四边形的对角线时，点 F即为点 D，F（ 1，4） 综上所述，点F 的坐标为（ 5，12） ，（3，12）或（ 1，4） 1MDCOyAxBFEBxAyOCDM1精选学习资料 - - - - - - - - - 名

15、师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习好资料欢迎下载NAQPOMxyB3解：（1）对于3342yx，当 y=0，x=2；当 x=8 时， y=152. A 点坐标为（ 2，0） ，B 点坐标为15( 8)2，由抛物线214yxbxc经过 A、B 两点，得012151682bcbc解得3452bc2135.442yxx（2）设直线3342yx与 y 轴交于点M 当 x=0 时， y=32. OM=32. 点 A 的坐标为（ 2，0） ， OA=2， AM=225.2OAOMOM：OA：AM=3：4： 5. 由题意得，PDE=OMA， AOM=PED=90 ， AOM

16、PED . DE：PE：PD=3：4：5 点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点，PD213533()()44242xxx=213442xx21213(4)542lxx231848555xx23(3)155lx由题意知：82x315.xl最大时，4解： (1) 拋物线y1=ax22ax b 经过 A( 1，0)，C(0，23)两点，2302bbaa，1232ab，拋物线的解析式为y1= 21x2x23（2）解法一：过点M 作 MNAB 交 AB 于点 N，连接 AM由 y1= 21x2x23可知顶点M(1， 2) ，A( 1，0)，B(3， 0)，N(1， 0) AB=4， MN=BN=A

17、N=2，AM=MB=2 2. AMN 和 BMN 为等腰直角三角形. MPA+QPB=MPA +PMA=135 QPB=PMA又 QBP=PAM=45 QPB PMAAPBQAMBP将 AM=2 2，AP=x+1，BP=3x，BQ=222 22y代入，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习好资料欢迎下载NAQPOMxyB图1P3P2EPxBCAOy可得222 2+1232 2yxx，即2215=+22yxx. 点 P 为线段 OB 上一动点（不与点 B 重合）0 x3 则 y2与 x 的函数关系式为y2=21x2x

18、25(0 x3) 解法二：过点 M 作 MNAB 交 AB 于点 N. 由 y1= 21x2x23易得 M(1，2)，N(1，0)，A( 1，0)，B(3，0)，AB=4，MN=BN=2，MB=22，MBN=45 . 根据勾股定理有BM 2BN2=PM2PN2. 22222 22 =1PMx，又MPQ =45 =MBP， MPQ MBP，2PMMQMB=22y222由、得 y2=21x2x25. 0 x3， y2与 x 的函数关系式为y2=21x2x25(0 x3) 5解：（1）由题意，得0322abccba，解得143abc抛物线的解析式为243yxx. （2）令2430 xx，解得1213

19、xx，B（3， 0）则直线 BC 的解析式为3yx当点 P 在 x 轴上方时，如图1，过点 A 作直线 BC 的平行线交抛物线于点 P，设直线 AP 的解析式为yxn，直线 AP 过点 A（1，0） ，直线 AP 的解析式为1yx，交y 轴于点(01)E，. 解 方 程 组2143yxyxx， 得12121201xxyy，点1(2 1)P，当点 P 在 x 轴下方时，如图1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习好资料欢迎下载图2FPyxBOAC根据点(01)E，可知需把直线BC 向下平移2 个单位，此时交抛物线于

20、点23PP、，得直线23P P的解析式为5yx，解方程组2543yxyxx，得12123173172271771722xxyy，23317717317717()()2222PP，综上所述，点P 的坐标为：1(2 1)P，23317717317717()()2222PP，过点 B 作 AB 的垂线，交CP 于点 F. 如图 2，(3 0)(03)BC，OB=OC， OCB=OBC=45 CBF =ABC=45又 PCB= BCA，BC=BC ACB FCBBF=BA=2，则点 F（ 3， 2）又 CP 过点 F，点 C直线 CP 的解析式为133yx. 6解：（1）如图 1，过点 C 作 CEA

21、B，交 AB 于点 E. 点 C(2m- 4，m- 6)，点 E(2m-4，0) EC=6- m，AE=OE+EA=m又直线 AC：y=- x+p EAC=45 ，AE=EC即 6m=m，m=3. A(- 1，0)，B(3，0)，C(2，- 3) 可得抛物线解析式为y=x2-2x-3，直线 AC 解析式为y= - x- 1 （2）如图 2，AC=32，AC 所在直线的解析式为： y=- x- 1， BAC=45平行四边形ACQP 的面积为 12. 平行四边形ACQP 中 AC 边上的高为2312=22过点 D 作 DK AC 与 PQ 所在直线相交于点 K，DK = 22，符合条件的点K 在直

22、线AC 的两侧各有一个，PQ 所在直线可能在直线AC 的两侧各有一条，又 OAD=45 ， DN=4 PQ 的解析式为y=- x+3 或 y=- x- 5 2233yxxyx，解得1130 xy或2225xyEDxBAyONNKKDxBAyOC图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习好资料欢迎下载2235yxxyx方程组无解 . 即 P1(3，0)，P2(- 2，5) ACPQ 是平行四边形， A(- 1， 0) C(2，- 3) 当 P(3，0)时， Q(6，- 3) 当 P(- 2，5)时， Q(1，2

23、) 满足条件的P，Q 点是 P1(3，0)， Q1(6，- 3)或 P2(- 2，5)，Q2(1， 2) （3）如图 3，作直线l 平行于PQ 所在的直线（即BN） ，且使得 l 与抛物线只有一个交点，这个交点即为 M（此时以PQ 为底，高最大，面积最大）设 l 的表达式为yxb，则223yxbyxx，得230 xxb，由 =0，得 b=134，213423yxyxx，解得12154xy， M（21，154）设 l 与 y 轴交点为点G，过 G 作 GHBN 于点 H，易得 NGH =45，则在 RtNGH 中， GH=22NG又 N（0，3） ，G（ 0，134） ， NG=254GH=22

24、5228NGPQ=AC=3 2S=1125 2753 22288PQ GHM（21，154） ，最大面积为857. 【随堂练习参考答案】1、直线 AM 解析式为：1=-12yx2、解： （1） A、C 分别是直线y=3x+3 与 y 轴和 x 轴的交点A（ 0，3） ，C（- 1，0）又 OAB 是等腰直角三角形B（ 3，0）设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为：y=a（ x+1） （x- 3）把 A 点坐标代入表达式得：1ay- x2+2x+3 （2） PAB 有最大面积，当P 点坐标为（23，415）时，最大面积为827理由如下：图3lMNGHDxBAyOC精选学习资料 - - - -

25、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习好资料欢迎下载如图，FPEDCxyOABP 点在抛物线上，P（m，- m2+2m+3）过 P 作 PD x 轴于点 D，交 AB 于点 E，作 AFPD 于点 F，则 E（m，- m+3）SPAB =SAPE+SBPE=111()222AFPEBD PEPE BDAF=2213327(+2+3+3)(3)=() +2228mmmmmm当 m=23时，最大PABS=827，此时 P（23，415）【作业参考答案】1解：（1）如图，由题意得：A（0，6） 、B（- 3， 0） 、C（6， 0）设抛物线表达式

26、为y=a（x+3） （x- 6）把 A 点坐标代入表达式得：13a故此抛物线的解析式为：21+ +63yxx（2）如图，EPBOCxyA设点P的坐标为(m，0)，则PC=6- m，11962722ABCSBCAOPEAB，CEPCAB2()CEPABCSPCSBC，即21(6)3CEPSm11(6)63(6)22APCSPC AOmm22113273(6)(6)()3324APEAPCCEPSSSmmm当32m时，APES有最大面积为274；此时，点P 的坐标为302（，）（3）如图，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 1

27、4 页学习好资料欢迎下载BOCxyAGDEG 点在抛物线上设21(+ +6)3G nnn， 过 G 作 GDx 轴于 D 点，交 AC 于点 E， 则 E （n， - n+6）则 SAGC =SAGE+SCGE=221127(+ +6+6) (6)=6 =234nnnnnnn解得：1239=22nn，故点 G 的坐标为3 2724（，）或9 1524（， ）2解：（1）顶点A 的横坐标为x=1，且顶点A 在 y=x-5 上，当 x=1 时， y=1- 5=- 4， A（1，- 4） 将 A（1，- 4）代入 y=x2- 2x+c，可得c=- 3， y=x2- 2x- 3，（2） ABD 是直角

28、三角形，理由如下：由（ 1）得 B（0，- 3） ，C（- 1，0） ，D（3，0） BD2=OB2+OD2=18，AB2=(4- 3)2+12=2，AD2=(3- 1)2+42=20， BD2+AB2=AD2， ABD=90 ，即 ABD 是直角三角形（ 3）存在由题意知：直线y=x- 5 交 y 轴于点 E（0，- 5） ，交 x 轴于点 F（5，0）OE=OF=5，又 OB=OD=3 OEF 与 OBD 都是等腰直角三角形BDEF，即 PABD则构成平行四边形只能是PADB 或 PABD，如图，则 PA=BD，解得： P1（4，- 1） ，P2（- 2， -7）存在点P1（4， - 1）

29、 ，P2（- 2，- 7）使以点 A、B、D、P 为顶点的四边形是平行四边形3解： （1）A、B、C 的坐标分别为A(10)，B(3 0)，C(23)，（2）23(2)3yx（ 3）设抛物线的解析式为23(2)yxk，代入(03)D，可得5 3k，平移后的抛物线的解析式为23(2)5 3yx平移了5 334 3个单位FEP2P1yxODCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习好资料欢迎下载【每日一题参考答案】12.3.4.B 5.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页