（整理版）巧用法向量妙解立体几何题.doc

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1、巧用法向量 妙解立体几何题平面的法向量是空间向量的一个重要概念，它在解决立体几何的许多问题中都有很好的应用.下面举例归纳，以表达用向量法解决立体几何问题的优越性.一、判断直线、平面的位置关系1设为平面的法向量，为直线的方向向量，要证，只需证：，即证；2设为平面的法向量，为直线的方向向量，要证，只需证：，即证：存在一个非零常数，使，即也是平面的一个法向量3设分别为平面的法向量，要证，只需证明，即证：存在一个非零常数，使4设分别为平面的法向量，要证，只需证明，即证明：例1如图1，正三棱柱，是的中点，求证：平面证明：建立如图1所示的空间直角坐标系设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，那么，设平面的一个法

2、向量为，那么所以不妨令，那么由于，得又平面，平面二、求空间角1设为平面的法向量，为直线的方向向量，直线与平面所成的角为，那么2设分别是二面角的两个面的法向量，那么的大小就是所求二面角的平面角或其补角的大小例2如图2，斜三棱柱的侧面与底面垂直，且，且求侧面与底面所成二面角的大小解：如图2，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，那么由条件知面面，且，取平面的一个法向量，设平面的一个法向量，那么所以不妨令，得，故侧面与底面所成二面角的大小为三、求空间距离欲求平面外一点到平面的距离，可设为平面的法向量，那么到平面的距离例3 在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，分别为的中点，求点到平面的距离解：取中点，连结，且平面平面，平面平面，平面，如图3，建立空间直角坐标系，那么，所以，设为平面的一个法向量，那么不妨令，那么，点到平面的距离为