错位相减法求和.ppt

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1、错位相减法求数列前n n项和罗罗 维维l教学目标：利用错位想减法求一类数列前n项的和。 如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成，那么这个数列的前n项和可用此法来求即求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列例2(2014安徽高考)数列an满足 a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)证明：数列ann 是等差数列；(2)设 bn3n an，求数列bn的前 n 项和 Sn.(1)证明：由已知可得an1n1ann1，即an1n1ann1.所以ann 是以a111 为首项，1 为公差的等差数列(2)由(1)得ann1(n1)1n，所以an

2、n2.从而 bnn3n.Sn131232333n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1.得2Sn31323nn3n13（13n）13 n3n1（12n）3n132.所以 Sn（2n1）3n134. 探 究 1若 本 例 (2) 中 的 bn2 an12n，如何求解？解：ann2，bn2n12n，nN*.Tn123225232n12n，12Tn1223232n32n2n12n1.两式相减，得12Tn1222222322n2n12n13212n12n12n1，所以 Tn32n32n.探究 2若本例(2)中的 bn(2n1) an，如何求解？解：ann2，bn(2n1)nn2nn.设 An 1

3、2 222 323 n2n，则 2An122223324n2n1，An222232nn2n12（12n）12n2n12n1n2n12，An(n1)2n12.设 Bn1234n，则 Bnn（n1）2，SnAnBn(n1)2n12n（n1）2.已知an是等差数列，其前 n 项和为Sn，bn是等比数列，且 a1b12，a4b427，S4b410.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记 Tna1b1a2b2anbn，nN*，证明 Tn8an1bn1(nN*，n2)解：(1)设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q.由 a1b12，得 a423d，b42q3，S486d.由条件，得方程组

4、23d2q327，86d2q310，解得d3，q2.所以 an3n1，bn2n，nN*.(2)证明：由(1)，得Tn22522823(3n1)2n，2Tn222523(3n4)2n(3n1)2n1.由，得Tn2232232332n(3n1)2n16（12n）12(3n1)2n12(3n4)2n18，即 Tn8(3n4)2n1.而当 n2 时， an1bn1(3n4)2n1，所以 Tn8an1bn1，nN*，n2.课堂练习：已知数列an满足 a12，an12an(nN*) 设 bn 3log2an2(nN*)，数列cn满足 cnanbn，则数列cn的前 n 项和 Sn_解析：由已知可得，数列an

5、是首项为 2，公比为 2 的等比数列，ana1qn12n，bn3log22n2，bn3n2，cnanbn(3n2)2n，Sn12422723(3n2)2n，2Sn122423724(3n5)2n(3n2)2n1，得Sn1232232332n(3n2)2n1，整理得 Sn10(53n)2n1.答案：10(53n)2n1当堂检测已知 a2， a5是方程 x212x270 的两根，数列an是公差为正数的等差数列，数列bn的前 n 项和为 Tn，且Tn112bn(nN*)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Sn.解：(1)由 a2a512，a2a527，

6、且 d0，得 a23，a59，da5a232，a11，an2n1.在 Tn112bn中，令 n1，得 b123，当 n2 时，Tn112bn，Tn1112bn1，两式相减得 bn12bn112bn，bnbn113(n2)，bn2313n123n(nN*)(2)由(1)得 cn(2n1)23n4n23n，Sn2133325332n13n，13Sn21323332n33n2n13n1，两式相减得23Sn21323223323n2n13n1，可解得 Sn22n23n.课堂小结：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型， 特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表

7、达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时， 若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1和不等于 1 两种情况求解课后作业：已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an1；数列bn满足 bn1bnbnbn1(n2，nN)，b11.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求数列anbn的前 n 项和 Tn.解： (1)由 Sn2an1， 得 S12a11，a11.又 Sn 2an 1 ， Sn1 2an11(n2)，两式相减，得 SnSn12an2an1，an2an2an1.an2an1，n2.数列an是首项为 1， 公比为 2 的等比数列an12n12n1.由 bn1bnbnbn1(n2，nN)，得1bn1bn11.又 b11，数列1bn是首项为 1，公差为 1 的等差数列1bn1(n1)1n.bn1n.(2)Tn120221n2n1，2Tn121222n2n.两式相减得Tn1212n1n2n12n12n2n12nn2n.Tn(n1)2n1.