匀变速直线运动的推论应用.doc

\ 专题三 匀变速直线运动的推论应用 1．平均速度 做匀变速直线运动的物体在一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半。 推导：设物体的初速度为v0，做匀变速运动的加速度为a，t秒末的速度为v。 由x＝v0t＋at2得 ① 平均速度 ＝＝v0＋at ② 由速度公式v＝v0＋at，当t′＝时 ＝v0＋a ③ 由②③得 ＝ ④ 又v＝＋a ⑤ 由③④⑤解得＝ ⑥ 所以 ＝＝。 2．某段位移的中间位置的速度 推导：设物体的初速度为v0，做匀变速运动的加速度为a， 末的速度为v，中间位移的速度为 针对前半段位移，由v2－v02=2ax得： ① 针对后半段位移，由v2－v02=2ax得： ② 由①②解得： 所以 3．逐差相等 在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2 推导：时间T内的位移x1＝v0T＋aT2 ① 在时间2T内的位移x2＝v02T＋a(2T)2② 则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③ 由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2 此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度． 4．初速度为零的匀加速直线运动的几个比例 （1）1T末、2T末、3T末、……、nT末瞬时速度之比为 v1∶v2∶v3∶……∶vn＝1∶2∶3∶……∶n （2）1T内、2T内、3T内、……、nT内的位移之比 x1∶x2∶x3……∶xn＝1∶22∶32∶……∶n2 （3）第一个T内、第二个T内、第三个T内，……，第n个T内位移之比 xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……∶xn＝1∶3∶5∶……∶(2n－1) （4）通过前x、前2x、前3x……时的速度比 v1∶v2∶v3∶……∶vn＝1∶∶∶……∶ （5）通过前x、前2x、前3x……的位移所用时间的比． t1∶t2∶t3∶……∶tn＝1∶∶∶……∶ （6）通过连续相等的位移所用的时间之比 tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶……∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶……∶(－)。 说明：（1）以上比例成立的前提是物体做初速度为零的匀加速直线运动。 （2）对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化。 类型一 、多个物体问题 【例题】一小球自斜面上的O点由静止开始做匀加速直线运动，如图所示是用频闪照相的方法对正在斜面上滚动的小球拍摄的频闪照片，已知照相的闪光频率为10 Hz，测得AB=20 cm，BC=25 cm，CD=30 cm。 求：（1）小球运动的加速度。 （2）OA两点的距离。 〖解析〗（1）Δx=xBC-xAB=xCD-xBC=5cm，T==0.1s，a==5m/s2。 （2）小球到达B点时速度：vB=m/s=2.25m/s。 小球从O到B运动的时间：tB==0.45s， xOB=a=50.625cm，xOA=xOB-xAB=30.625cm。 〖答案〗（1）5m/s2 (2)30.625cm 变式训练 1．屋檐定时滴出水滴，当第5滴正欲滴下时，第1滴已刚好到达地面，而第3滴与第2滴正分别位于高1m的窗户上、下沿，如图所示，取g=10m/s2，问： （1）此屋檐离地面多少米? （2）滴水的时间间隔是多少? 〖解析〗（1）设每滴水离屋檐的位移分别为x1、x2、x3、…，滴水的时间间隔相等，根据初速度为零的匀加速直线运动的时间等分关系，可得 x1∶x2∶x3∶x4=16∶9∶4∶1 又∵x2-x3=1m 所以屋檐离地面的距离x3=3.2m。 （2）第1滴水刚好落到地面所需时间t==0.8s。 所以滴水的时间间隔t0=t/4=0.2s。 〖答案〗（1）3.2m (2)0.2s 2．如图所示，有若干相同的小钢球从斜面的某一位置每隔0.1s释放一颗，在连续释放若干颗钢球后，对斜面上正在滚动的若干小球摄下照片如图，测得AB=15cm，BC=20cm，试求：（1）拍照时B球的速度。 （2）小球的加速度是多少? （3）A球上面还有几颗正在滚动的小球? （4）能否求A点的速度? 〖解析〗（1）照片中B点是AC段的时间中点，根据结论，时间中点的即时速度等于该段的平均速度可知 vB=m/s=1.75m/s。 （2）因每两个球间时间差相等，可求出此时B球经历的时间即可，根据Δx=aT2，得 a=m/s2=5m/s2 （3）B球已运动时间tB==0.35s 在A球上面正在滚动的球的个数 n=-1=2(颗) （4）由速度公式vB=vA+aT 得vA=1.25m／s。 〖答案〗（1）1.75m/s （2）5m/s2 （3）2 （4）1.25m/s。 类型二 、打点计时器的逐差法 【例题】如图所示，某同学在做“研究匀变速直线运动”实验中，由打点计时器得到表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点的时间间隔为T＝0.10 s，其中x1＝7.05 cm，x2＝7.68 cm，x3＝8.33 cm，x4＝8.95 cm，x5＝9.61 cm、x6＝10.26 cm，则打A点时小车的瞬时速度的大小是_____m/s，小车运动的加速度计算表达式为_____，加速度的大小是_____m/s2（计算结果保留两位有效数字）。 〖点拨〗本题考查对测匀变速直线运动加速度原理的理解及某段时间内的平均速度与中点时刻瞬时速度的相等关系。 〖解析〗根据匀变速直线运动规律有，A点的瞬时速度为 v= m/s≈0.86 m/s 加速度a1=，a2=，a3= 取平均值得a= 所以a=代入数值得a=0.64 m/s2. 点评：本题中注意给出的条件，如果给出四段及以上位移，就用逐差法求解a。取偶数段，中分相减，除以角标相减的周期的平方。如果给出三段及以下位移，任取两段，就用Δx=aT2来算。 〖答案〗0.86 a= 0.64 变式训练 如图所示，小车放在斜面上，车前端拴有不可伸长的细线，跨过固定在斜面边缘的小滑轮与重物相连，小车后面与打点计时器的纸带相连。起初小车停在靠近打点计时器的位置，重物到地面的距离小于小车到滑轮的距离。启动打点计时器，释放重物，小车在重物牵引下，由静止开始沿斜面向上运动，重物落地后，小车会继续向上运动一段距离。打点计时器使用的交流电频率为50 Hz。下图中a、b、c是小车运动纸带上的三段，纸带运动方向如箭头所示。 （1）根据所提供纸带上的数据，计算打c段纸带时小车的加速度大小为_____m/s2。（结果保留两位有效数字） （2）打a段纸带时，小车的加速度是2.5 m/s2。请根据加速度的情况，判断小车运动的最大速度可能出现在b段纸带中的_____。 〖解析〗 （1）由s，再由得 m/s2 m/s2， m/s2， 则加速度 m/s2。 （2）由b段数据可知： cm，而。即速度拐点出现在D4D5间，也就是最大速度出现在D4D5之间。 〖答案〗（1）5.0 m/s2 （2）D4D5区间内 类型三 、相等时间的位移之比 【例题】 质点从静止开始做匀加速直线运动，从开始运动起，通过连续三段位移所用的时间分别为1 s、2 s、3 s，这三段位移之比应是(　　) A．1∶2∶3　　　　　　　　 B．1∶3∶5 C．12∶22∶32 D．13∶23：33 〖解析〗　根据v0＝0的匀加速运动的一个推论：从开始起第1个T内，第2个T内，第3个T内……的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……＝1∶3∶5∶……， 所以，所求位移之比为1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)∶……＝13∶23：33∶……，D对。 〖答案〗　D 变式训练 1．汽车刹车后做匀减速直线运动，经3 s后停止运动，那么，在这连续的3个1 s内汽车通过的位移之比为(　　) A．1∶3∶5　　　　　　 　B．5∶3∶1 C．1∶2∶3 D．3∶2∶1 〖解析〗 末速度为零的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为零的匀加速直线运动处理，初速度为零的匀加速直线运动第1秒内、第2秒内、第3秒内……的位移之比为1∶3∶5∶…… 〖答案〗　B 2．做匀减速运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s内的位移是多少? 〖解析〗将时间反演，则上述的运动可以看成初速度为零的匀加速运动，连续相等时间内位移之比为1∶3∶5∶7……，故物体这4 s内位移之比为14∶10∶6∶2，所以最后1 s内位移为2 m。 〖答案〗2 m 类型四 、相等位移的时间之比 【例题】如右图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为(　　) A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1 B．v1∶v2∶v3＝∶∶1 C．t1∶t2∶t3＝1∶∶ D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1 〖解析〗子弹运动的逆过程可看成初速度为零、末速度为v的匀加速直线运动，子弹通过连续相等位移的时间之比为1∶(－1)∶(－)．则子弹实际运动通过连续相等位移的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，故D正确． 由x＝at2知，子弹运动的逆过程由右向左穿过第1块、前2块、前3块的时间之比t1∶t2∶t3＝1∶∶，再根据v＝at知，子弹由右向左依次“穿出”3个木块的速度之比为1∶∶.则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故B正确． 〖答案〗　BD 点评：解决匀减速运动一般都用逆向分析法，具体步骤如下： 变式训练 1．一物体以一定的初速度从一光滑斜面底端A点上滑，最高可滑到C点，B是AC的中点，如右图所示，已知物块从A至B需时间为t0，问它从B经C再回到B，需要的时间是多少？ 〖解析〗据初速度为零的匀加速直线 运动通过连续相等位移所用时间之比为tCB∶t0=1∶(-1) ∴tCB==(+1)t0 所需时间为t′=2tCB=2(+1)t0 〖答案〗2（+1）t0 2．站台上有一观察者，在火车开动时站在第1节车厢前端附近，第1节车厢在5 s内驶过此人，设火车做匀加速直线运动，求第10节车厢驶过此人需要多少时间？ 〖解析〗：以列车为参考系，则观察者相对列车做初速度为零的匀加速运动，由初速度为零的匀加速运动的规律得：t1∶t2∶t3∶…=1∶(-1)∶(-)∶… 所以t10=5(-3)s=（5-15）s 〖答案〗（5-15）s 1．骑自行车的人沿着直线从静止开始运动，运动后，在第1s、第2s、第3s、第4s内，通过的路程分别为1m、2m、3m、4m。有关其运动的描述正确的是（ ） A． 4s内的平均速度是2.5m/s B．在第3s~4s内的平均速度是3.5m/s C．第3s末的即时速度一定是3m/s D．该运动一定是匀加速直线运动 2．甲、乙两球先后由静止出发，从很长的斜面顶端滚下来，加速度相同，乙迟运动一段时间，相对乙而言，甲做（ ） A．向前的匀速直线运动 B．静止不动 C．向后的匀速直线运动 D．向前的匀加速直线运动 3．汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度为5m/s2，那么开始刹车后2s与开始刹车后6s汽车通过的位移之比为（ ） A．1∶1 B．3∶1 C．3∶4 D．4∶3 4．物体从斜面顶端由静止开始滑下，经秒到达中点，则物体从斜面顶端到底端共用时间为（ ） A．s B．s C．2t s D． s 5．做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点时的速度分别为和，经历的时间为，则（ ） A．前半程速度增加3.5 B．前时间内通过的位移为33/12 C．后时间内通过的位移为33/12 D．后半程速度增加3。 6．一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时 A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶…… B．每节车厢经过观察者所经历的时间之比是1∶∶∶…… C．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…… D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…… 7．一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s.求： （1）第6 s末的速度； （2）前6 s内的位移； （3）第6 s内的位移。 8．一滑块自静止开始，从斜面顶端匀加速下滑，第5 s末的速度是6 m/s，试求 （1）第4 s末的速度； （2）运动后7 s内的位移； （3）第3 s内的位移。 9．某同学在做“研究匀变速直线运动”实验时，从打下的若干纸带中选出了如图所示的一条（每两点间还有4个点没有画出来），图中上部的数字为相邻两个计数点间的距离，打点计时器的电源频率为50 Hz。由这些已知数据计算： ①该匀变速直线运动的加速度a＝_____m/s2。 ②与纸带上D点相对应的瞬时速度v＝_____m/s。（答案均要求保留3位有效数字） 10．(09.1东城期末)某同学用打点计时器测定重力加速度，使用的电源频率为50Hz。 ①打出的纸带如图所示，实验时纸带的 端通过夹子和重物相连接。（选填“甲”或“乙”） ②纸带上1至9各点为计时点，由纸带所示数据可算出实验时的重力加速度为 m/s2。 ③若当地的重力加速度数值为9.8m/s2，请列出测量当地重力加速度的值有差异的一个原因 。 1．一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初3s内的位移为x1 ，最后3s内的位移为x2，已知x2－x1=6 m；x1∶x2=3∶7，求斜面的总长。 2．一列车由等长的车厢连接而成。车厢之间的间隙忽略不计，一人站在站台上与第一节车厢的最前端相齐。当列车由静止开始做匀加速直线运动时开始计时，测量第一节车厢通过他的时间为2s，则从第5节至第16节车厢通过他的时间为多少? 3．已知O、A、B、C为同一直线上的四点、AB间的距离为l1，BC间的距离为l2，一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点，已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等。求O与A的距离。 4．如图所示，在一个倾斜的长冰道上方，一群孩子排成队，每隔1 s有一个小孩往下滑，一游客对着冰道上的孩子拍下一张照片，照片上有甲、乙、丙、丁四个孩子，他根据照片与实物的比例推算出乙与甲和丙孩子间的距离为12.5m和17.5m。请你据此求解下列问题：(g取10m／s2) （1）求小孩下滑的a? （2）拍照时，最下面的小孩丁的速度是多少? （3）拍照时，在小孩甲上面的冰道上下滑的小孩不会超过几个? 5．在火车站站台上有一观察者，在列车开动时恰好站在第一节车厢的最前端，列车起动后做匀加速直线运动；经过4s第一节车厢通过观察者，整个列车经过他历时20s，设每节车厢等长，车厢连接处长度不计，求： (1)这列列车共有多少节车厢； (2)最后9节车厢通过观察者所经历的时间。 6．一个做匀变速直线运动的物体,初速度为0.5 m/s, 在第9 s内的位移比第5 s内的位移多4 m, 求： (1) 物体的加速度； (2) 物体在9 s内通过的位移。 7．(11朝阳二模) 某同学用图甲所示的实验装置研究小车在斜面上的匀变速直线运动。实验步骤如下： a．安装好实验器材，将打点计时器接到频率为50Hz的交流电源上。 b．接通电源后，让拖着纸带的小车沿斜面向下运动，重复几次。选出一条点迹清晰的纸带，舍去开始密集的点迹，从便于测量的点开始，每2个打点间隔取一个计数点，如图乙中0、1、2……8点所示。 c．用最小刻度是毫米的刻度尺测量各计数点的刻度数值，分别记作x0、x1、x2……x8。 d．分别计算出打点计时器打下计数点1、2、3……7时小车的瞬时速度v1、v2、v3……v7。 e．以v为纵坐标、t为横坐标，标出v与对应时间t的坐标点，画出v－t图线。 甲 乙 结合上述实验步骤，请你完成下列任务： 表1记录的是该同学测出计数点的刻度数值，其中x5未测定，请你根据图乙将这个测量值填入表1中。 表1： 符 号 x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 刻度数值/cm 0 1.12 2.75 4.86 7.49 14.19 18.27 22.03 ② 表2记录的是该同学根据各计数点的刻度数值，计算出打点计时器打下各计数点时小车的瞬时速度，请你根据表1中x5和x7计算出v6的值，并填入表2中。 表2： 符 号 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 速度数值/(ms-1) 0.34 0.47 0.59 0.72 0.84 0.98 ③ 该同学在图丙中已标出v1、v2、v3、v4、v5和v7对应的坐标点，请你在图中标出v6对应的坐标点，并画出v－t图线。 丙 ④ 根据v－t图线可计算出小车的加速度a=___________m/s2。（保留两位有效数字） ⑤ 为验证上述结果，该同学将打点计时器打下相邻计数点的时间间隔记为T，并做了以下的计算： ；； ；。 求出其平均值。你认为a和a′哪个更准确，请说明理由。 __________________________________________________________________________ 8．质点以加速度a从静止出发做匀加速直线运动，在时刻t加速度变为2a，时刻2t加速度变为3a……，求质点在开始的nt 时间内通过的总位移。 本专题参考答案 夯实基础巩固部分： 1．AB 2．A 3．C 4．A 5．C 6．AC 7．(1)6 m/s　(2)18 m　(3)5.5 m 解析：由v1＝at1得a＝＝＝1 m/s 所以第1 s内的位移x1＝a12 m＝0.5 m (1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比 v1∶v2＝4∶6＝2∶3 故第6 s末的速度v2＝v1＝6 m/s. (2)第1 s内与前6 s内的位移之比x1∶x6＝12∶62 故前6 s内小球的位移x6＝36x1＝18 m. (3)第1 s内与第6 s内的位移之比 xⅠ∶xⅥ＝1∶(26－1) 故第6 s内的位移xⅥ＝11xⅠ＝5.5 m. 8．（1）4.8m/s （2）29.4m （3）3 m 9．x1、和x6 x1、x2、x3、x4、x5、x6 B 偶然 阻力 交流电频率不稳定等 解析：打点计时器的电源频率为50 Hz，则它的周期为0.02 s，所以相邻两个计数点间的时间间隔T＝0.02 s5＝0.1 s。做匀变速直线运动的物体，某一时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的速度，所以与D点相对应的瞬时速度为CE这段内的平均速度，则。令OA＝x1，AB＝x2，…，EF＝x6，则， 代入数据解之得 m/s2，故匀变速直线运动的加速度a＝2.07 m/s2。 10． 乙； 9.4；纸带和打点计时器间的摩擦阻力、空气阻力； 提升能力培优部分： 1.12.5 m 2．4s 3．l= 解析：设物体的加速度为a，到达A点的速度为v0，通过AB段和BC点所用的时间为则有 l1=v0t+at2 ① l1+l2=2v0t+2at2 ② 联立①②式得 l2-l1=at2 ③ 3l1-l2=2v0t ④ 设O与A的距离为l，则有 l= ⑤ 联立③④⑤式得 l= 4．（1）5m/s2 （2）25m/s （3）2 解析：（1）甲、乙之间的距离x1=12.5 m，乙、丙之间的距离x2=17.5m 由x2-x1=aT2得a=m/s2=5m/s2 （2）v乙=m/s=15m/s v丁=v乙+a2T=(15+521)m/s=25m/s （3）从开始至摄像时乙滑动的时间：t乙==3 s，则甲滑动的时间为2 s，所以甲上面的冰道上下滑的小孩不会超过2个 5．4s 解析：设每节车厢长度为L，则有 L==8a nL==200a 解得：n=25节 前16节车厢经过他的时间为 =16s 故最后9节车厢通过观察者所经历的时间为：20s-16s=4s 6．(1)物体做匀变速直线运动，相邻的两相等时间内的位移差Δx＝aT2，不相邻的两相等时间内的位移差Δx＝naT2(本题中n＝9－5＝4)，故物体的加速度a＝＝ m/s2＝1 m/s2 (2)物体在9 s内的位移x＝v0t＋at2＝(0.59＋192)m＝45 m. 7．① 10.600.02 ② 0.96 ③ 答案见右图 ④ 3.10.1 ⑤ a更准确，因为在计算a′的过程中，没有剔除错误数据。 8． 解析：第一个t时间末，质点的速度和通过的位移为：v1=at 第二个t时间末，质点的速度和通过的位移为：v2 = v1 + 2at = 3at x2=v1t+= 第三个t时间末，质点的速度和通过的位移为：v3 = v2 + 3at = 6at x3 = v2t += 同理：第n个t时间末，质点的速度和通过的位移为： 所以质点在时间nt内通过的总位移为 x = x1+ x 2 + x 3 + …… x n = (1+22+32+……+n2)