选修-空间向量知识点归纳总结.docx

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1、精品名师归纳总结第三章 空间向量与立体几何1. 空间向量的概念 ：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（ 1）向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面对量运算一样, 空间向量的加法、 减法与数乘运算如下（如图）。OBOAABab ; BAOAOBab ; OPaR运算律：加法交换律： abba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加法结合律：数乘安排律：abcabc abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 共线向量。（1） 假如表示空间向量

2、的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量, a 平行于 b ,记作 a / b 。当我们说向量 a 、b 共线（或 a / b ）时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同始终线,也可能是平行直线。（2） 共线向量定理：空间任意两个向量a 、 b （ b 0 ）, a / b 存在实数 ,使a b 。4. 共面对量（1） 定义：一般的,能平移到同一平面内的向量叫做共面对量。说明：空间任意的两向量都是共面的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 共面对量定理：假如两个向量a, b 不共线, p 与向量a,b 共面的条件可编辑资料 - - -

3、欢迎下载精品名师归纳总结是存在实数 x, y 使 pxayb 。5. 空间向量基本定理： 假如三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯独的有序实数组 x, y, z,使 pxaybzc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如三向量a,b,c 不共面,我们把 a,b, c叫做空间的一个基底,a,b, c 叫做基向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设 O, A, B,C 是不共面的四点,就对空间任一点P ,都存在唯独的三个有序实数 x, y, z ,使 OPxOAyOBzOC 。可

4、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 空间两向量的夹角： 已知两个非零向量、 ,在空间任取一点 O,作,（两个向 量的起 点肯定要 相同）, 就叫做向量与 的夹角 ,记作,且。7. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 Oxyz 中,对空间任一点A ,存在唯独的有序实数组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x, y, z ,使 OAxiyizk ,有序实数组 x,y, z叫作向量 A 在空间直角坐标系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Oxyz 中的坐标,记作Ax, y, z, x叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标。

5、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2右手直角坐标系：右手握住 z 轴,当右手的四指从正向 x 轴以 90角度转向正向 y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正向。（3）如空间的一个基底的三个基向量相互垂直, 且长为1,这个基底叫单位正交基底,用 i , j , k 表示。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4）空间向量的直角坐标运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 aa1, a2 , a3 , bb1,b2 ,b3 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1aba1b1, a2 b1

6、, a2b2, a3 b2, a3b3 , b3 , a a1,a2 ,a3R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ba1b1a2b2a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a / bab , ab , ab R 或 a1a2a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112233b1b2b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1b1a2b2a3b30 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A x1, y1, z1 , B x2 , y2 , z2 ,就 ABx2x1

7、, y2y1, z2z1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） 模长公式：如 aa1, a2, a3 , bb1,b2, b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就| a |a aa1a2a3, | b |b bb1b2b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（6） 夹角公式：a bcos a b| a | |b

8、 |a1b1a2b2a3b3。222222aaabbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（7） 两点间的距离公式：如123123A x1, y1, z1 , Bx2 , y2, z2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2就| AB |ABxx 2 yy 2 zz 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212121或dxx 2 yy 2 zz 2A ,B212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 8 ） 空 间 线 段P1 x1 , y1 , z1, P2 x2 , y2 , z2 的 中 点M x, y, z的 坐 标 ：可编辑

9、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2 2, y1y2 , z1z2 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（9）球面方程： x2y2z2R2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 空间向量的数量积。（1） 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b ,在空间任取一点 O ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作 OAa,OBb ,就AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作a, b。且规定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 a,b,明显有a, bb, a。如a, b,就称 a 与b 相互垂直,2可编辑资料 - - - 欢迎

10、下载精品名师归纳总结记作： ab 。（2） 向量的模：设 OAa ,就有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模, 记作： | a |。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 向量的数量积：已知向量积,记作 a b ,即 a b| a| |b | cos（4） 空间向量数量积的性质：a, b ,就| a | | b | cosa,b。a, b叫做 a, b 的数量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a e| a | cosa, e。 aba b0 。 | a |2a a = a2 , a(a) 2可编辑资料 -

11、- - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） 空间向量数量积运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a ba ba b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a bb a （交换律）。 a bca ba c （安排律）。9、空间向量在立体几何证明中的应用：ABa1, a2 , a3, CDb1,b2, b3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） ）证明AB / CD ,即证明AB / CD ,也就是证明 a1b1, a2b2, a3b3 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a2a3b1b2b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

12、归纳总结（2） ）证明 ABCD ,即证明AB CD0,也就是证明a1b1a2b2a3b30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ）证明AB /（平面）（或在面内）,即证明 AB 垂直于平面的法向量或证明 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与平面内的基底共面。（4） ）证明 AB,即证明 AB 平行于平面的法向量或证明 AB 垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量。（5） ）证明两平面/（或两面重合）,即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面。（6） ）证明两平面,即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在另一个面内。10. 运用向量的坐标

13、运算解题的步骤：（1） ）建坐标系,求相关点的坐标（2） ）求相关向量的坐标（3） ）运用向量运算解题11. 用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题：（1） ） 两条直线的夹角：设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ,a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两直线 l , m 所成的角为 0 , cos2= cos a,ba b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 直线与平面的夹角：设直线 l 的方向向量分别为 a ,平面的法向量分别为 u ,a u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 l 与平面所成的角为 0 , sin2= cos

14、 a,u。a u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 二面角：0 方向向量法：法向量法：法向量的方向：一进一出,二面角等于法向量夹角。同进同出,二面角等于法向量夹角的补角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题.（1） ）点与直线的距离：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dAPsin先求cosAP, a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）点到平面的距离： d= | PA n | .|n |如图 A, 空间一点 P 到平面的距离为 d, 已知平面的一个法向量为 n , 且AP 与 n

15、不共线,分析: 过 P 作 PO 于 O,连结 OA.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 d=| PO |= | PA| cosAPO.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PO , n, PO n .cosAPO=|cos PA, n |.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 d=| PA |cosPA, n | = | PA n | .| n |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ）异面直线间的距离：dCDnAB n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 a,b 是异面

16、直线 ,CD 为 a,b 的公垂线 ,线 a,b 上n是直线 CD 的方向向量, A,B 分别在直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dCDn AB n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） ）其它距离问题： 平行线的距离 转化为点到直线的距离） 直线与平面的距离（转化为点到平面的距离） 平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）13. 补充：（1） 三余弦定理设 AC是内的任一条直线, 且 BCAC,垂足为 C,又设 AO与 AB所成的角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 1 , AB 与 AC所成的角

17、为 2 ,AO与 AC所成的角为就 coscos（2） 三射线定理1 cos 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与 二 面 角 的 棱 所 成 的 角 是 , 就 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 2sin2sin2sin 22sin1 sin2 cos;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12| 12|18012 当且仅当90 时等号成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 点Q 到直线 l 距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结hb

18、= PQ .1| a |b |2| a |a b 2 点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量 a= PA ,向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 异面直线上两点距离公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dh2m2n22mncos.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dh2m2n 22mn cosEA, AF.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dh2m2n22 mn cos（EAAF ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 两条异面直线 a、b 所成的角为 ,其公垂线

19、段AA 的长度为 h. 在直线 a、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 上分别取两点 E、F,A Em , AFn , EFd .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） 三个向量和的平方公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22abc2ab2222c2a b2b c2c a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abc2 | a | | b| cosa,b2 |b | | c| cosb,c2 | c | | a | cosc,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6 ）长 度为 l 的线 段在三 条两两 相互 垂直 的直线

20、 上的 射影 长分别 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l1、l2、 l 3,夹角分别为1、2、 3 , 就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l 2l 2l 2l 2cos2cos2cos21sin2sin2sin22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123123.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.（7） 面积射影定理SScos.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 ,它们所在平面所成锐二面角的为 . 平面多边形及其射影的面积分别是SS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

21、名师归纳总结（8） 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是 l , 侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和V斜棱柱 , 它的直截面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的周长和面积分别是c1 和 S1 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S斜棱柱侧c1l .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 V斜棱柱S1l .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（9） ）欧拉定理 欧拉公式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VFE2 简洁多面体的顶点数 V、棱数 E和面数 F.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E =各面多边形边数和的

22、一半 . 特殊的, 如每个面的边数为 n 的多边形,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面数 F 与棱数 E 的关系： E1 nF2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如每个顶点引出的棱数为 m ,就顶点数 V与棱数 E的关系： . E10球的组合体 球与长方体的组合体 :长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. 球与正方体的组合体 :1 mV2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 ,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. 球与正四周体的组合体 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结棱长为 a 的正四周体的内切球的半径为6 a , 外接球的半径为126 a .4可编辑资料 - - - 欢迎下载